外部激勵(lì)下行星換向機(jī)構(gòu)的分岔及混沌

馬洪濤 薛殿倫

湖南大學(xué)汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙，410082

0 引言

在汽車(chē)起步工況下，離合器接合壓力逐漸上升，變速器輸入轉(zhuǎn)速和扭矩隨之增大，即外部激勵(lì)處于動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中。該工況對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性存在較大影響，可引起振動(dòng)、噪聲加劇，嚴(yán)重時(shí)將造成斷齒等故障。

近來(lái)，眾多學(xué)者以齒輪間隙非線(xiàn)性理論［1］為基礎(chǔ)，對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的分岔及混沌特性進(jìn)行了大量研究。王三民等［2］研究了齒側(cè)間隙及支撐剛度對(duì)單級(jí)齒輪系統(tǒng)分岔與混沌特性的影響。董海軍等［3］研究了轉(zhuǎn)速激勵(lì)下單級(jí)齒輪拍擊振動(dòng)的分岔特性。文獻(xiàn)［4-5］以復(fù)合行星傳動(dòng)系統(tǒng)為例，分析了激勵(lì)頻率和嚙合阻尼等因素對(duì)系統(tǒng)分岔特性的影響。根據(jù)目前檢索結(jié)果可知，大量文獻(xiàn)多以單級(jí)齒輪副為例進(jìn)行齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的分岔及混沌分析，而對(duì)多級(jí)行星傳動(dòng)系統(tǒng)在外部激勵(lì)下的分岔及混沌特性研究較少。

對(duì)此，本文以汽車(chē)無(wú)級(jí)變速器(CVT)內(nèi)的行星換向機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，綜合考慮時(shí)變嚙合剛度、嚙合誤差、齒側(cè)間隙等因素建立了該系統(tǒng)的非線(xiàn)性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，重點(diǎn)分析了轉(zhuǎn)速和扭矩對(duì)系統(tǒng)分岔及混沌特性的影響。

1 行星換向機(jī)構(gòu)分析模型

行星換向機(jī)構(gòu)用于汽車(chē)倒擋起步及行駛工況，由行星架、太陽(yáng)輪、內(nèi)外行星輪和內(nèi)齒圈組成，各齒輪的基本參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 雙行星換向系統(tǒng)齒輪參數(shù)

工作時(shí)，內(nèi)齒圈在濕式離合器的作用下處于鎖止?fàn)顟B(tài);發(fā)動(dòng)機(jī)扭矩由行星架輸入，在雙排行星輪的作用下完成動(dòng)力的反向傳遞，最后由太陽(yáng)輪輸出?？紤]齒輪軸剛度較大，未計(jì)入齒輪橫向位移。采用的集中質(zhì)量法建立系統(tǒng)計(jì)算模型如圖1所示。圖1中HOV為系統(tǒng)坐標(biāo)系，krp為內(nèi)齒圈 －外行星輪嚙合剛度;kpp為內(nèi)外行星輪嚙合剛度;ksp為太陽(yáng)輪－內(nèi)行星輪嚙合剛度;crp為內(nèi)齒圈－外行星輪嚙合阻尼;cpp為內(nèi)外行星輪嚙合阻尼;csp為太陽(yáng)輪 －內(nèi)行星輪嚙合阻尼。設(shè)rb為齒輪基圓半徑;r1、r2分別為外內(nèi)行星輪分布圓半徑;nc為行星架轉(zhuǎn)速;ns、npw、npn為相應(yīng)齒輪的轉(zhuǎn)速;下標(biāo)r、p、s分別表示內(nèi)齒圈、行星輪、太陽(yáng)輪，下標(biāo)pn、pw分別表示內(nèi)外行星輪。

圖1 系統(tǒng)計(jì)算模型

2 行星換向機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型

2.1 剛度激勵(lì)和誤差激勵(lì)

齒輪時(shí)變嚙合剛度k(t)為周期函數(shù)，可將其分為平均嚙合剛度 ka和變剛度 k(t)，即 k(t)=ka+k(t)，計(jì)算時(shí)，將變剛度部分以嚙合頻率為基頻，展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù):

其中，ki為變剛度的第i階分量，φi為相應(yīng)的初相位，本文計(jì)算時(shí)取其前三階分量，ω為嚙合頻率。

將嚙合誤差處理為嚙合頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù)為

式中，ea為嚙合誤差幅值;φw為嚙合誤差的初相位。

2.2 嚙合力分析

其中，xc為行星架切向微位移，xc=r1θccosα，α 為齒輪端面嚙合角;xpwi為外行星輪沿嚙合線(xiàn)微位移，xpwi=rbpθpwi;xpni為內(nèi)行星輪沿嚙合線(xiàn)微位移，xpni= rbpθpni;xs為太陽(yáng)輪沿嚙合線(xiàn)微位移，xs=rbsθs;erp、epp、esp為相應(yīng)的齒輪副嚙合誤差;θ為齒輪角位移，f(x，b)為間隙非線(xiàn)性函數(shù)，b為齒側(cè)間隙半徑，具體形式如下:

2.3 運(yùn)動(dòng)微分方程

根據(jù)Lagrange方程，可推導(dǎo)出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程如下:

式中，mc，eq為行星架與行星輪總成的等效質(zhì)量;meq為齒輪等效質(zhì)量;Fin、Fout分別為輸入和輸出扭矩的等效嚙合力。

式(6)為二階半正定微分方程組，內(nèi)部含有剛體位移，這將導(dǎo)致不定解。因此，參考前文對(duì)嚙合力的分析，定義如下相對(duì)位移坐標(biāo):

以式(7)定義的9個(gè)自由度對(duì)式(6)進(jìn)行線(xiàn)性變化，可得微分方程組，寫(xiě)成矩陣形式為

式中，M、C、K分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣;X為位移矩陣;F為激振力矩陣。

3 系統(tǒng)響應(yīng)求解及分岔、混沌分析

3.1 最大Lyapunov指數(shù)

根據(jù)相圖和龐加萊截面圖對(duì)混沌狀態(tài)進(jìn)行判定存在一定的誤差，為此，引入基于混沌時(shí)間序列分析方法的最大Lyapunov指數(shù)作為判定依據(jù)。首先從仿真結(jié)果中提取原始時(shí)間序列{x(ti)，(i=1，2，…，N)}，采用C － C算法進(jìn)行相空間重構(gòu)，通過(guò)關(guān)聯(lián)積分計(jì)算，同時(shí)估計(jì)出延遲時(shí)間τ'和時(shí)間窗口τω，并間接計(jì)算嵌入維數(shù)m，最終構(gòu)造出一個(gè)等價(jià)于原系統(tǒng)的m維吸引子:

式中，Nm為時(shí)間序列重構(gòu)軌道的點(diǎn)數(shù)，且滿(mǎn)足條件Nm=N － (m － 1)τ'。

隨后在重構(gòu)的相空間中，尋找每個(gè)點(diǎn)最近的鄰點(diǎn)，并用di(0)表示第 i個(gè)點(diǎn)到其最近鄰點(diǎn)的距離:

式中，X(i)和X(i')為重構(gòu)軌道上的最近鄰點(diǎn)，n為短暫分離步數(shù)。

然后計(jì)算每對(duì)鄰域點(diǎn)在 j個(gè)離散步長(zhǎng)后的距離:

最后，對(duì)于每一個(gè)固定的離散步長(zhǎng)j，計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)為

3.2 系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速的分岔及混沌分析

為分析轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)分岔及混沌特性的影響，根據(jù)變速器實(shí)際工況，在1000～6000r/min的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行求解。最后，選取輸出級(jí)齒輪副的狀態(tài)變量Xsp繪制了系統(tǒng)位移隨轉(zhuǎn)速的分岔圖(圖2)，以此表征系統(tǒng)狀態(tài)的變化歷程。求解時(shí)，系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置如下:間隙半徑b=25μm，扭矩 Tin=60N·m，嚙合誤差幅值 esp=epp=erp=20μm。

圖2 位移隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

首先，從圖2中可以看到，系統(tǒng)在1000～2980r/min和3950～5440r/min兩處較長(zhǎng)范圍內(nèi)維持單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，具有較強(qiáng)的線(xiàn)性特點(diǎn)。系統(tǒng)在各轉(zhuǎn)速激勵(lì)下的響應(yīng)狀態(tài)如圖3～圖10所示。圖3為系統(tǒng)在2000r/min轉(zhuǎn)速激勵(lì)下響應(yīng)狀態(tài)，此時(shí)龐加萊截面圖為單個(gè)離散點(diǎn)，表明系統(tǒng)處于穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。另外，在5400r/min轉(zhuǎn)速激勵(lì)下，如圖8所示，雖然此時(shí)因共振導(dǎo)致振動(dòng)幅值較大而引起雙邊沖擊，但結(jié)合龐加萊截面圖可知，系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖3 轉(zhuǎn)速nc=2000r/min時(shí)的響應(yīng)狀態(tài)

圖4 轉(zhuǎn)速nc=3030r/min時(shí)的響應(yīng)狀態(tài)

圖5 轉(zhuǎn)速nc=3240r/min時(shí)的響應(yīng)狀態(tài)

圖6 轉(zhuǎn)速nc=3290r/min時(shí)的響應(yīng)狀態(tài)

圖7 轉(zhuǎn)速nc=3350r/min時(shí)的響應(yīng)狀態(tài)

圖8 轉(zhuǎn)速nc=5400r/min時(shí)的響應(yīng)狀態(tài)

圖9 轉(zhuǎn)速nc=5440r/min時(shí)的響應(yīng)狀態(tài)

圖10 轉(zhuǎn)速nc=5920r/min時(shí)的響應(yīng)狀態(tài)

其次，在 2980～3370r/min和 3670～3950r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，如圖2b和圖2c所示，系統(tǒng)出現(xiàn)小幅共振并引起齒面沖擊，進(jìn)而導(dǎo)致了頻繁的倍周期分岔行為，結(jié)合圖4～圖7可知，系統(tǒng)對(duì)該頻域內(nèi)的轉(zhuǎn)速激勵(lì)較為敏感，產(chǎn)生了倍周期和擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及狀態(tài)之間的交替現(xiàn)象。

最后，當(dāng)轉(zhuǎn)速升至5440r/min時(shí)，如圖9所示，此時(shí)龐加萊截面圖為分布稠密的點(diǎn)集，另外求得λ1=0.0694，可判定系統(tǒng)此時(shí)突變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)，且此后系統(tǒng)狀態(tài)基本保持不變(圖2a)?；煦鐓^(qū)域內(nèi)存在短暫的周期窗口，如圖10中轉(zhuǎn)速為5920r/min時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)7倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，分析可知，此現(xiàn)象是由混沌吸引子的切分岔造成的。

系統(tǒng)響應(yīng)在3040，3670，5440r/min時(shí)均出現(xiàn)振幅跳躍現(xiàn)象(圖 2)。可以看到，系統(tǒng)在3040r/min前后維持單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變，而系統(tǒng)狀態(tài)在3670r/min和5440r/min前后均產(chǎn)生狀態(tài)突變，如系統(tǒng)在5440r/min轉(zhuǎn)速下隨振幅跳躍由單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)突變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)。據(jù)分析，振幅跳躍和狀態(tài)突變是由齒側(cè)間隙及嚙合沖擊引起的。

另外，系統(tǒng)響應(yīng)在5440r/min附近出現(xiàn)較大的共振峰值(圖2)，并且在轉(zhuǎn)速爬升至共振頻率的過(guò)程中，齒輪撞擊速度和相對(duì)位移均大幅增加(圖8)，此仿真結(jié)果與變速器在該轉(zhuǎn)速附近進(jìn)行疲勞試驗(yàn)時(shí)振動(dòng)、噪聲加劇的事實(shí)相符，從而在一定程度上證明了本文所建數(shù)學(xué)模型的正確性。

整體而言，隨著轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)在較長(zhǎng)范圍內(nèi)維持在穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，表現(xiàn)出較強(qiáng)的線(xiàn)性特征，僅在共振頻域附近因嚙合沖擊的出現(xiàn)，而產(chǎn)生頻繁的倍周期分岔行為、振幅跳躍及狀態(tài)突變等非線(xiàn)性特征。另外，在一定的扭矩作用下，隨著轉(zhuǎn)速的增大，以誤差激勵(lì)為代表的交變載荷逐漸增大，引起齒面沖擊和雙邊沖擊現(xiàn)象，但在越過(guò)共振區(qū)后，系統(tǒng)逐漸穩(wěn)定在雙邊沖擊狀態(tài)。

3.3 系統(tǒng)隨扭矩的分岔及混沌分析

在倒擋起步過(guò)程中，扭矩隨著離合器壓力的上升而逐漸增大。為分析扭矩對(duì)系統(tǒng)分岔及混沌特性的影響，本文對(duì)系統(tǒng)在10～400N·m范圍內(nèi)扭矩激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行求解。計(jì)算時(shí)，將輸入轉(zhuǎn)速設(shè)置為6000r/min，其他參數(shù)與3.2節(jié)相同，系統(tǒng)位移隨扭矩變化的分岔歷程如圖11所示。

圖11 位移隨扭矩變化的分岔圖

首先，從圖11中可以看到，在 Tin為10～60N·m內(nèi)，系統(tǒng)主要表現(xiàn)為混沌狀態(tài)。圖12為40N·m扭矩作用下的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，結(jié)合相圖和龐加萊截面圖特點(diǎn)及此時(shí)系統(tǒng)λ1為0.0357可知，系統(tǒng)此時(shí)處于混沌狀態(tài)，另外通過(guò)相圖可知，系統(tǒng)此時(shí)存在雙邊沖擊現(xiàn)象。

圖12 扭矩Tin=40N·m時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

其次，在60～140N·m扭矩范圍內(nèi)，系統(tǒng)由前期的混沌狀態(tài)突變?yōu)楸吨芷谶\(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如圖13所示，龐加萊截面圖為4個(gè)離散點(diǎn)，可知系統(tǒng)此時(shí)處于4倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。觀(guān)察可知，系統(tǒng)在此階段主要處于頻繁的倍周期分岔狀態(tài)，并且此時(shí)系統(tǒng)由雙邊沖擊狀態(tài)轉(zhuǎn)為齒面沖擊狀態(tài)。

圖13 扭矩Tin=110N·m時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

接著，當(dāng)扭矩進(jìn)一步升至140～300N·m范圍時(shí)，系統(tǒng)由倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)為擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖14為240N·m扭矩作用下的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，結(jié)合相圖和龐加萊截面圖特點(diǎn)，可知系統(tǒng)在此工況下處于擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。但是，可以看到，系統(tǒng)在這一區(qū)域內(nèi)存在周期窗口，如扭矩為220N·m時(shí)系統(tǒng)為4倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖14 扭矩Tin=240N·m時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

最后，當(dāng)扭矩增至300N·m后，嚙合沖擊完全消失，系統(tǒng)進(jìn)入并穩(wěn)定在單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這與重載工況下齒輪不易脫嚙的工程實(shí)際情況相符。如圖15所示，扭矩在360N·m時(shí)，龐加萊截面圖為單個(gè)離散點(diǎn)，符合單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的特點(diǎn)。

圖15 扭矩Tin=360N·m時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

整體而言，隨著扭矩的增大，系統(tǒng)表現(xiàn)出由混沌狀態(tài)向單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變的趨勢(shì)，并且隨著交變載荷的相對(duì)減弱，系統(tǒng)逐漸由雙邊沖擊狀態(tài)，途經(jīng)齒面沖擊狀態(tài)，最終轉(zhuǎn)為無(wú)沖擊狀態(tài)?？芍?，扭矩和轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)分岔特性的影響是相反的。在汽車(chē)起步工況下，行星換向機(jī)構(gòu)在兩者的耦合作用下將表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)態(tài)特性。

4 結(jié)論

(1)隨著轉(zhuǎn)速的增大，系統(tǒng)在較長(zhǎng)范圍內(nèi)維持在穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但在共振頻域附近因振動(dòng)幅值加劇而引發(fā)嚙合沖擊，進(jìn)而導(dǎo)致頻繁的倍周期分岔行為、振幅跳躍及狀態(tài)突變，期間出現(xiàn)了倍周期、擬周期等運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及狀態(tài)之間的交替現(xiàn)象，并最終由周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)突變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)。

(2)隨著扭矩的增大，系統(tǒng)逐漸由混沌狀態(tài)，途經(jīng)倍周期和擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，最終轉(zhuǎn)為單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。相比之下，扭矩對(duì)系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速增加而進(jìn)入混沌狀態(tài)的趨勢(shì)有一定的抑制作用，當(dāng)扭矩達(dá)到一定值時(shí)可使系統(tǒng)由混沌狀態(tài)退化為單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

(3)激勵(lì)參數(shù)對(duì)嚙合沖擊的影響，取決于其對(duì)齒輪載荷中交變載荷(誤差激勵(lì)等)和平均載荷(扭矩)比例的影響。如轉(zhuǎn)速上升時(shí)，交變載荷隨之增大并引起嚙合沖擊，進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)的倍周期分岔、振幅跳躍等典型的非線(xiàn)性表現(xiàn)。

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