基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)－馬爾科夫鏈模型的隧道圍巖位移預(yù)測(cè)

龍 浩，高 睿，孔德新，劉 鵬

(武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，武漢 430072)

1 研究背景

隧道工程由于受開挖方法、地質(zhì)條件以及支護(hù)時(shí)機(jī)、方法等諸多因素的影響，受力特點(diǎn)極其復(fù)雜，其圍巖的位移變形在多因素的共同作用下具有一定的隨機(jī)波動(dòng)特征［1］?，F(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)雖然可以獲得隧道圍巖即時(shí)的變形特點(diǎn)，但是其耗費(fèi)的人力物力較大，且耗時(shí)長(zhǎng)。因此，變形預(yù)測(cè)在隧道設(shè)計(jì)和施工中發(fā)揮了重要的作用。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，許多智能預(yù)測(cè)方法被用到變形預(yù)測(cè)當(dāng)中來，如回歸分析、灰色理論、數(shù)據(jù)平滑處理、時(shí)間序列分析等［2－3］。這些方法各有其優(yōu)缺點(diǎn)，如回歸模型的優(yōu)點(diǎn)是模型簡(jiǎn)單，容易確定參數(shù)，但其需要的原始數(shù)據(jù)比其他方法要多，導(dǎo)致計(jì)算量大;灰色模型則具有需要原始數(shù)據(jù)較少的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于短期內(nèi)的預(yù)測(cè)精度較高，但遠(yuǎn)期預(yù)測(cè)有失真的趨勢(shì)，故難以進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)［4］。

BP(Back Propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種按分層傳播的前饋型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)［5］，由于其能準(zhǔn)確描述輸入值和輸出目標(biāo)之間的映射關(guān)系，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已廣泛應(yīng)用于圖像處理、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)、信號(hào)處理、巖土工程等領(lǐng)域。馬爾科夫鏈 MC(Markov Chain)［6］由于不受過去狀態(tài)的影響，對(duì)于受多種因素影響的時(shí)間序列預(yù)測(cè)具有一定的優(yōu)越性。為了提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，更好地發(fā)現(xiàn)和模擬隧道圍巖位移時(shí)間序列的內(nèi)在規(guī)律，本文將綜合2種預(yù)測(cè)方法的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)－馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型(BP－MC)引入到隧道圍巖位移預(yù)測(cè)中來，并將該預(yù)測(cè)模型應(yīng)用于鷹嘴巖隧道拱頂下沉位移預(yù)測(cè)研究中，結(jié)果表明該模型預(yù)測(cè)精度高并且求解快捷，在工程實(shí)踐中具有一定的推廣應(yīng)用價(jià)值。

2 BP－MC預(yù)測(cè)模型構(gòu)建

2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非線性預(yù)測(cè)來說是一個(gè)強(qiáng)有力的工具，從理論上講，一個(gè)3層的BP網(wǎng)絡(luò)能夠在保證精度的情況下實(shí)現(xiàn)對(duì)任意連續(xù)函數(shù)的逼近［7］，其結(jié)構(gòu)見圖1。對(duì)于非連續(xù)函數(shù)來說，如果隱含層包含足夠多的結(jié)點(diǎn)，也可以實(shí)現(xiàn)逼近。因此，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以用來建立高度非線性的圍巖位移時(shí)程模型［8］。

圖1 BP網(wǎng)絡(luò)示意圖Fig.1 Structure of the BP neural network

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型參數(shù)(如隱含層數(shù)，最大訓(xùn)練次數(shù)，學(xué)習(xí)精度，隱節(jié)點(diǎn)數(shù)，初始權(quán)值、閾值等)的確定要靠網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練來實(shí)現(xiàn)。訓(xùn)練步驟可表述如下，流程見圖2:

(1)隨機(jī)給定連接權(quán)值和閥值的初始值。

(2)在網(wǎng)絡(luò)中提供輸入值Pk和目標(biāo)輸出值Tk，并計(jì)算出實(shí)際輸出值T'k。

(3)對(duì)權(quán)重進(jìn)行修正。權(quán)重的修正采取梯度法，輸出與樣本理想輸出的誤差函數(shù)為

權(quán)值修正函數(shù)

式中:η為學(xué)習(xí)因子;q為第q個(gè)學(xué)習(xí)樣本;i為輸出或隱結(jié)點(diǎn);δqi為誤差修正系數(shù)。

(4)訓(xùn)練誤差達(dá)到設(shè)定好的收斂誤差ε，則停止訓(xùn)練;否則計(jì)算出實(shí)際輸出值T'k，重復(fù)步驟(3)，直到訓(xùn)練誤差E小于預(yù)先設(shè)定的收斂誤差ε。

圖2 BP算法程序流程圖Fig.2 Flowchart of the BP algorithm program

2.2 滾動(dòng)預(yù)測(cè)

根據(jù)經(jīng)典預(yù)測(cè)理論可知，預(yù)測(cè)時(shí)步越多，預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的誤差越大［9］。因此，對(duì)于單一的時(shí)間序列需要采用滾動(dòng)預(yù)測(cè)的方法來減少誤差，滾動(dòng)預(yù)測(cè)在單一時(shí)間序列中的應(yīng)用可以表述為［1］:假設(shè)要對(duì)單一時(shí)間序列{xt}進(jìn)行預(yù)測(cè)，滾動(dòng)預(yù)測(cè)是利用已知的s個(gè)時(shí)序預(yù)測(cè)其后的p個(gè)時(shí)序;當(dāng)獲得要預(yù)測(cè)的p個(gè)時(shí)序?qū)崪y(cè)值后，用其代替s個(gè)時(shí)序中最前面的p個(gè)時(shí)序，用以進(jìn)行下一次p個(gè)時(shí)序的預(yù)測(cè)。滾動(dòng)預(yù)測(cè)可以利用最新的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)后面的時(shí)序進(jìn)行預(yù)測(cè)，大大地提高了預(yù)測(cè)的精度。

2.3 MC誤差修正模型

馬爾科夫鏈(Markov chain)是應(yīng)用隨機(jī)過程理論來描述事件的發(fā)展規(guī)律以及預(yù)測(cè)可能的結(jié)果［10］，其自20世紀(jì)初被Markov提出后經(jīng)100多年發(fā)展，已被廣泛地應(yīng)用于交通、通信、巖土等領(lǐng)域。

根據(jù)馬爾科夫鏈理論，首先應(yīng)該把預(yù)測(cè)值相對(duì)誤差區(qū)間根據(jù)相對(duì)誤差的大小和分布密度劃為n個(gè)狀態(tài)，記為 S=［S1，S2，…，Sn］，相對(duì)誤差狀態(tài)從 Si經(jīng)m時(shí)步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Sj的概率為［11］

式中:Mij(m)為Si經(jīng)m時(shí)步轉(zhuǎn)移到Sj的次數(shù);Mi為相對(duì)誤差處于狀態(tài)Si的個(gè)數(shù)，在統(tǒng)計(jì)Mi時(shí)，由于無法確定最后時(shí)序的發(fā)展?fàn)顟B(tài)，因此要把最后的m個(gè)狀態(tài)去掉。

則第m時(shí)步時(shí)序狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P(m)可表示為

在建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P(m)后，可根據(jù)P(m)來修正基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到的預(yù)測(cè)值以減少誤差。首先選取離預(yù)測(cè)時(shí)步最近的N個(gè)實(shí)測(cè)值，一般取N=n［12］，依據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中得到第 i(i=1，2，…，n)個(gè)實(shí)測(cè)值經(jīng) m(m=n，n －1，…，1;m+i=n+1)時(shí)步轉(zhuǎn)移到預(yù)測(cè)時(shí)步狀態(tài)的概率，并把所得到的n個(gè)概率求和，最大值所處的誤差狀態(tài)即可認(rèn)為是預(yù)測(cè)時(shí)步相對(duì)誤差所處的狀態(tài)。

確定預(yù)測(cè)時(shí)步的誤差狀態(tài)，也就確定了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)值相對(duì)誤差的變化范圍，本文認(rèn)為該區(qū)間的中點(diǎn)就是最可能的預(yù)測(cè)值相對(duì)誤差。則最可能的位移時(shí)序預(yù)測(cè)值為

式中:F(x)為修正后的預(yù)測(cè)值;f(x)為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滾動(dòng)預(yù)測(cè)值;ΔU與ΔD分別為預(yù)測(cè)值相對(duì)誤差所處為平均相對(duì)誤差。區(qū)間的上下限值;

2.4 BP－MC模型預(yù)測(cè)步驟

本文構(gòu)造出用于隧道圍巖位移預(yù)測(cè)的BP－MC串聯(lián)模型，其預(yù)測(cè)步驟為:

(1)根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)控所測(cè)得的隧道拱頂下沉位移數(shù)據(jù)，以前5次位移量為一組，構(gòu)造出BP網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本空間;

(2)對(duì)每一個(gè)訓(xùn)練樣本進(jìn)行多次迭代，使收斂誤差達(dá)到設(shè)定值，確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，并用檢驗(yàn)樣本檢驗(yàn)該網(wǎng)絡(luò)的適用性;

(3)計(jì)算出隧道拱頂下沉位移實(shí)測(cè)值和預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差;

(4)對(duì)相對(duì)誤差進(jìn)行分類，利用馬爾科夫鏈計(jì)算出第m步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;

(5)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)隧道位移時(shí)間序列進(jìn)行滾動(dòng)預(yù)測(cè)，并對(duì)其進(jìn)行修正相對(duì)誤差實(shí)現(xiàn)隧道拱頂下沉的最終預(yù)測(cè)。

3 工程實(shí)例

為了驗(yàn)證BP－MC模型在隧道圍巖位移預(yù)測(cè)中的有效性和適用性，本文結(jié)合文獻(xiàn)［13］給出的鷹嘴巖隧道拱頂下沉的位移觀測(cè)時(shí)間序列進(jìn)行了驗(yàn)證。

鷹嘴巖［13］隧道位于重慶東南部，為一座上、下行分離的4車道高速公路特長(zhǎng)隧道，右線全長(zhǎng)3 310 m(樁號(hào) YK39+470至 ZK42+780)，左線全長(zhǎng)3 247 m(樁號(hào) ZK39+520至 ZK42+767)，均屬特長(zhǎng)隧道，隧道最大埋深349 m。根據(jù)地質(zhì)資料顯示，隧道所處圍巖巖石堅(jiān)硬，大部分為石灰?guī)r，強(qiáng)度高，水文地質(zhì)條件中等，除斷層破碎帶和巖溶發(fā)育帶圍巖穩(wěn)定性較差外，大部分地段為Ⅳ和Ⅴ類圍巖，圍巖比較穩(wěn)定。在同一垂直開挖斷面內(nèi)，夏沖［13］選擇如圖3所示的測(cè)點(diǎn)布置形式，其中3號(hào)測(cè)點(diǎn)設(shè)在拱頂，1號(hào)、2號(hào)測(cè)點(diǎn)設(shè)在起拱線附近，4號(hào)、5號(hào)測(cè)樁設(shè)在隧道底面以上1.5 m左右;A，B，C，D 代表測(cè)線，該布置形式可很好地記錄和反映隧道開挖斷面圍巖變形情況，同時(shí)其對(duì)隧道右線進(jìn)口樁號(hào)為YK39+660的斷面進(jìn)行了實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，位移監(jiān)測(cè)結(jié)果見表1。

3.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拱頂下沉預(yù)測(cè)

本文以2006年12月19至2007年2月13該隧道拱頂下沉的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為分析對(duì)象，監(jiān)測(cè)時(shí)間間隔為2 d，總計(jì)29個(gè)時(shí)步。將實(shí)測(cè)的29組數(shù)據(jù)分成2個(gè)部分，前25組為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)樣本，后4組為BP－MC預(yù)測(cè)模型的檢驗(yàn)樣本，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中相關(guān)參數(shù)設(shè)置為:輸入層為5個(gè)結(jié)點(diǎn)、隱含層為1層(包含11個(gè)結(jié)點(diǎn))、輸出層為1個(gè)結(jié)點(diǎn)，即表示在滾動(dòng)預(yù)測(cè)中s=5，p=1;最大訓(xùn)練次數(shù)為1 000次，最大循環(huán)間隔數(shù)為50次;訓(xùn)練收斂誤差為0.001。表1列出了25時(shí)步各學(xué)習(xí)樣本的位移實(shí)測(cè)值、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)值、絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。

圖3 測(cè)點(diǎn)布置形式Fig.3 Layout of measuring points

表1 拱頂實(shí)際下沉及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)值Table 1 Measured and predicted values of vault settlement

3.2 MC 殘差修正

根據(jù)實(shí)測(cè)值與BP網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)值之間相對(duì)誤差的大小和分布密度，將其劃分為4個(gè)狀態(tài)，見表2。根據(jù)表2可以確定訓(xùn)練樣本相對(duì)誤差所處的狀態(tài)，結(jié)果見表1。

表2 相對(duì)誤差狀態(tài)劃分表Table 2 Classification of relative errors

根據(jù)表1和表2，由式(2)和式(3)可以計(jì)算出m 步(m=1，2，3，4)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為:

以第26時(shí)步為例，選取離第26時(shí)步最近的4個(gè)時(shí)步(第22，23，24，25時(shí)步)為樣本來預(yù)測(cè)第26時(shí)步相對(duì)誤差所處的狀態(tài)，結(jié)果見表3。由表3可知，第26時(shí)步相對(duì)誤差最有可能處于S3狀態(tài)，則根據(jù)式(5)，可計(jì)算出第26時(shí)步BP－MC模型的預(yù)測(cè)值:

此時(shí)第26時(shí)步的實(shí)測(cè)值為6.11 mm，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)值為6.08 mm，由此可見，BP－MC預(yù)測(cè)模型可以有效地提高預(yù)測(cè)精度。

表3 第26時(shí)步的相對(duì)誤差狀態(tài)預(yù)測(cè)Table 3 Forecast of relative error state at the 26thtime step

根據(jù)計(jì)算第26時(shí)步預(yù)測(cè)值的步驟，用BP－MC預(yù)測(cè)模型對(duì)27—29時(shí)步進(jìn)行滾動(dòng)預(yù)測(cè)，結(jié)果見表4。由表4可知，BP－MC預(yù)測(cè)模型相比單一的BP預(yù)測(cè)模型而言，可以較大地提高預(yù)測(cè)值的精度。

表4 實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值的比較Table 4 Comparison of measured and predicted values

4 結(jié)語

基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和馬爾科夫鏈2種預(yù)測(cè)方法，本文建立了新的隧道圍巖位移預(yù)測(cè)模型。采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)隧道拱頂下沉位移的發(fā)展規(guī)律，再用馬爾科夫鏈進(jìn)行殘差修正，提高了預(yù)測(cè)的精度和有效性，同時(shí)克服了地質(zhì)條件、開挖方式等因素對(duì)圍巖位移預(yù)測(cè)的影響。通過在工程實(shí)例中的應(yīng)用，相比單一的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)方法其結(jié)果更接近實(shí)測(cè)值，表明該模型是可行的，在巖土工程中有一定的推廣應(yīng)用價(jià)值。

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