基于隨機(jī)模糊參數(shù)的導(dǎo)彈武器系統(tǒng)可用度分析

楊繼坤，徐廷學(xué)，趙 亮，陳 卓

(1.海軍航空工程學(xué)院 研究生管理大隊(duì)，山東 煙臺264001;2.海軍航空工程學(xué)院 兵器科學(xué)與技術(shù)系，山東 煙臺264001;3.中國人民解放軍92076 部隊(duì)，北京102202)

0 引 言

對導(dǎo)彈武器系統(tǒng)可用度的評估，通常是根據(jù)裝備某個時期內(nèi)統(tǒng)計(jì)的各項(xiàng)時間因素值來進(jìn)行計(jì)算，由于統(tǒng)計(jì)時間周期長，影響因素眾多，這種方法不能很好地反映裝備真實(shí)可用度水平［1］。目前，研究導(dǎo)彈武器系統(tǒng)等可修系統(tǒng)的主要數(shù)學(xué)工具是隨機(jī)過程理論。文獻(xiàn)［2］評定了出現(xiàn)保障延誤時間的可修系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度。文獻(xiàn)［3-4］利用馬爾可夫更新過程分析了偵察系統(tǒng)的可靠性和裝甲裝備的使用可用度。文獻(xiàn)［5］基于更新過程進(jìn)行了導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的可用度分析。

在對武器系統(tǒng)進(jìn)行可用度分析時，由于經(jīng)濟(jì)上或者試驗(yàn)環(huán)境難以模擬等原因，并不能確切知道影響可用度的時間分布和參數(shù)值，而只能根據(jù)已有的實(shí)驗(yàn)和專家的經(jīng)驗(yàn)確定這些分布類型和參數(shù)區(qū)間，將其描述為隨機(jī)模糊變量是更客觀、更合理的。目前，隨機(jī)模糊理論在可靠性領(lǐng)域有一定的應(yīng)用。文獻(xiàn)［6-7］基于模糊隨機(jī)理論建立了結(jié)構(gòu)可靠性分析模型。文獻(xiàn)［8］基于模糊理論進(jìn)行了導(dǎo)彈系統(tǒng)貯存可靠性仿真方法研究。

本文首先基于馬爾可夫更新過程和拉普拉斯變換工具，建立考慮技術(shù)陣地設(shè)備部分戰(zhàn)損情況下和具有保障延誤的串聯(lián)可修導(dǎo)彈武器系統(tǒng)可用度分析模型。針對可用度分析中存在模糊因素的特點(diǎn)，將導(dǎo)彈視作模糊系統(tǒng)，引入隨機(jī)模糊的概念，采用三角模糊數(shù)量化模糊信息，估算可用度水平。

1 馬爾可夫更新過程

設(shè)隨機(jī)變量Zn取值在E={0，1，…，K}中，隨機(jī)變量Tn取值在［0，∞)中，且有0=T0≤T1≤T2≤…≤Tn，n=0，1，…，如果對所有j ∈E，t ≥0，有P{Zn+1=j，Tn+1-Tn≤t| Z0，Z1，…，Zn，T0，T1，…，Tn}=P{Zn+1=j，Tn+1-Tn≤t| Zn}，則隨機(jī)過程(Z，T)={Zn，Tn，n=0，1，…}稱為狀態(tài)空間E 上的馬爾可夫更新過程。經(jīng)簡化求得馬爾可夫更新方程為［3-4］

即:

其中，Ai(t)為系統(tǒng)可用度;gi(t)為定義在［0，∞)上的非負(fù)、在任何有限區(qū)間上的有界函數(shù)，在計(jì)算可用度時，通常這個函數(shù)是不同裝備服從任意分布的壽命、維修、保障延誤的時間。

在本文中，G(t)的Laplace 變換為

Laplace-Stieltjes 變換為

R(s)表示復(fù)變數(shù)s 的實(shí)部，Gk(t)表示G(t)的k 重卷積［9］，即，且G(0)(t)=1，t ≥0。

2 隨機(jī)模糊理論

設(shè)(Θ，P(Θ)，Cr)為可信性空間，其中Θ 為非空集合，P(Θ)為Θ 的冪集，Cr 為定義在P(Θ)上的可信性測度［10-12］。

定義1:假設(shè)ξ 為一從可信性空間(Θ，P(Θ)，Cr)到實(shí)數(shù)集R 上的函數(shù)，則ξ 為模糊變量。

定義2:令ξ 為可信性空間(Θ，P(Θ)，Cr)上的模糊變量，α ∈(0，1］，稱和分別為ξ 的α-悲觀值和α-樂觀值。

定義3:設(shè)ξ 為模糊變量，它的期望值E［ξ］是有限的，則。

定義4:若a=(al，am，an)，0 ＜al≤am≤al，稱a 為一個三角模糊數(shù)，如果其隸屬度函數(shù)可以表示為

定義5:設(shè)a 為三角模糊數(shù)，對?λ ∈(0，1)，a的截集aλ為有界閉區(qū)間［(am-al)λ+al，(am-an)λ+an］。

3 導(dǎo)彈武器系統(tǒng)可用度分析模型

在導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的可用度研究中，大多數(shù)文獻(xiàn)考慮的系統(tǒng)都是假定部件故障后立即得到修理。但實(shí)際情況并非如此，而是常常有一段隨機(jī)的等待時間(稱這段時間為保障延誤時間)，例如申請等待備件等。而且在現(xiàn)實(shí)戰(zhàn)場環(huán)境下，敵方主要打擊的目標(biāo)是導(dǎo)彈技術(shù)測試陣地，對技術(shù)陣地的打擊會損毀技術(shù)陣地的測試和維修設(shè)備(包括測試中的導(dǎo)彈)，使其部分戰(zhàn)損，需要對其進(jìn)行更換(或修理)后再工作，這都將影響到導(dǎo)彈技術(shù)測試、對接任務(wù)的進(jìn)行，使技術(shù)陣地不能及時提供裝配好的導(dǎo)彈供作戰(zhàn)使用。因此，在系統(tǒng)可用度分析中，考慮技術(shù)陣地測試設(shè)備部分戰(zhàn)損和保障延誤的可修系統(tǒng)十分必要，而且更有重要的理論意義和實(shí)用價值［13-14］。

3.1 模型構(gòu)建步驟

1)明確系統(tǒng)組成。設(shè)系統(tǒng)為由n 個分系統(tǒng)串聯(lián)而成的可修系統(tǒng);

2)確定隨機(jī)模糊變量。時間分布未知的分系統(tǒng)和修理設(shè)備，要通過專家的知識與經(jīng)驗(yàn)來描述其分布類型和參數(shù)情況，這些量即為模糊變量;

3)建立基于馬爾可夫更新過程的可用度模型，得出可用度的解析模型(本章下面兩小節(jié)主要對這方面進(jìn)行研究)。

4)運(yùn)用三角模糊數(shù)估算可用度水平。將隨機(jī)模糊變量用三角模糊數(shù)來表示，根據(jù)隨機(jī)模糊相關(guān)定理，估算其α-悲觀值和α-樂觀值，再根據(jù)定義3 求解其穩(wěn)態(tài)可用度。

3.2 基本條件和假設(shè)

1)系統(tǒng)的第i 個部件壽命Xi服從指數(shù)分布Fi(t)=1-e-λit，t ≥0，λi＞0;

2)系統(tǒng)發(fā)生故障，如果不能及時得到維修，視為不可用狀態(tài)，產(chǎn)生的保障延誤時間Wi服從一般分布Hi(t)，其平均保障延誤時間為

3)進(jìn)行故障維修時，修理時間Yi服從一般的分布Gi(t)，其平均修理時間為

修復(fù)后系統(tǒng)立即轉(zhuǎn)為工作狀態(tài);

4)當(dāng)1 個部件故障等待修理或者正在修理時，其他部件停止工作，不再發(fā)生故障，此時系統(tǒng)處于故障狀態(tài)。部件修理完恢復(fù)如新，由指數(shù)分布的性質(zhì)，知道在同一時刻不會有多個部件故障;

5)技術(shù)陣地修理設(shè)備在執(zhí)行任務(wù)過程中，會因部分戰(zhàn)損而出現(xiàn)失效，其服務(wù)期U 服從指數(shù)分布U(t)=1-e-αt，t ≥0，α ＞0，修理設(shè)備失效后立即進(jìn)行更換，其更換時間V 統(tǒng)一服從一般分布V(t)，且平均更換時間為，修理設(shè)備更換如新;

6)Xi，Yi，Wi，U，V 相互獨(dú)立。

3.3 構(gòu)建系統(tǒng)可用度模型

定義系統(tǒng)的廣義修理時間γ 為:在導(dǎo)彈技術(shù)陣地，測試和修理設(shè)備從開始測試和修理故障系統(tǒng)的時刻起，直到該部件技術(shù)準(zhǔn)備完成的時間長度，其中包括測試與修理設(shè)備可能的戰(zhàn)損而對測試和修理設(shè)備進(jìn)行更換的時間。令，則

其LS 變換和平均廣義修理時間為

A(t)=P{X(t)=1 | X(0)=1}。

若令τk，δk，γk分別表示系統(tǒng)的第k 個工作壽命、第k 個保障延誤時間和第k 個廣義修理時間，不難證明，{τk+δk+γk，k=1，2，…}是個更新過程。其分布函數(shù)為

對式(6)2 端作LS(Laplace-Stieltjes)變換得

式(8)右端第1 項(xiàng)中，當(dāng)t ＜Xj時，時刻t 系 統(tǒng)必處于工作狀態(tài)，自然有X(t)=1;第2 項(xiàng)中，當(dāng)Xj≤t ≤Xj+Wj+γj，即系統(tǒng)處于修理狀態(tài)，不可能與X(t)=1 同時發(fā)生，故第2 項(xiàng)為0;第3 項(xiàng)如下式推導(dǎo)所示。

從而

4 算例分析

假設(shè)某型導(dǎo)彈武器系統(tǒng)由n 個分系統(tǒng)串聯(lián)而成，通過可靠性分析，建立系統(tǒng)可靠性框圖如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)可靠性框圖Fig.1 Reliablity block diagram of system

根據(jù)已有的實(shí)驗(yàn)和專家經(jīng)驗(yàn)確定，其分系統(tǒng)和測試設(shè)備壽命服從指數(shù)分布，保障延誤時間和維修時間服從一般分布，應(yīng)用三角模糊數(shù)來評定其隨機(jī)模糊參數(shù)如表1所示。

表1 不確定參數(shù)的三角模糊表示Tab.1 The uncertain parameters of triangular fuzzy representation

根據(jù)三角模糊數(shù)的相關(guān)定理，可以得出如下不同參數(shù)的α-悲觀值和α-樂觀值(此處用x 表示α):

其中x ∈(0，1］。

根據(jù)定義2 可知，可用度的悲觀值和樂觀值可分別表示為

由定義3 可得出

由算例分析結(jié)果可知，系統(tǒng)的可用度為0.5811，如果不考慮測試和維修設(shè)備故障問題，則β=0，系統(tǒng)的可用度為0.618 0，與經(jīng)過前期MC 仿真得到的0.592 3 比較接近。結(jié)果表明，所建模型能夠很好地反映裝備實(shí)際組成和運(yùn)行情況，該模型和算法適用于導(dǎo)彈武器系統(tǒng)可用度的分析。

5 結(jié) 語

本文在隨機(jī)模糊參數(shù)的背景下，研究了導(dǎo)彈武器系統(tǒng)可用度評估模型，通過分析可得到如下結(jié)論:

1)建立的馬爾可夫更新過程模型考慮到技術(shù)陣地設(shè)備部分戰(zhàn)損和保障延誤時間等因素，符合實(shí)際使用維修和作戰(zhàn)要求。

2)所建可用度模型中存在模糊因素，引入隨機(jī)模糊理論，采用三角模糊數(shù)量化模糊信息(分布類型和參數(shù))能合理、有效地解決這一問題。

3)為復(fù)雜的導(dǎo)彈武器系統(tǒng)可用度研究提供了一條技術(shù)途徑，對改進(jìn)武器系統(tǒng)，制導(dǎo)武器系統(tǒng)的維護(hù)和管理有促進(jìn)作用。

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