基于Mathematica的塑料燃油箱試驗(yàn)數(shù)據(jù)非線性回歸分析

謝衛(wèi)兵

（武漢亞普汽車塑料件有限公司，湖北武漢430056）

為確保安全駕駛，提高駕駛員的駕乘體驗(yàn)，需要準(zhǔn)確、可靠的向車輛駕駛員實(shí)時(shí)反映剩余燃油量的信息，并在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候進(jìn)行剩余油量的報(bào)警。常用的油量反饋系統(tǒng)中，由剩余燃油量變化引起液面高度變化；油量傳感器將浮子感受到的液面高度變化轉(zhuǎn)化為厚膜電阻的阻值變化；阻值變化通過電路部分轉(zhuǎn)化為儀表臺上的油量指示變化，反饋給駕駛員。這就需要在汽車的設(shè)計(jì)階段準(zhǔn)確了解燃油箱內(nèi)液面高度與剩余燃油容積的關(guān)系。

多層吹塑塑料燃油箱自20世紀(jì)問世以來，由于其重量輕，耐腐蝕性好，外形設(shè)計(jì)靈活，便于在汽車上布置，對燃油蒸發(fā)的阻隔性能優(yōu)異，能滿足全球日益嚴(yán)格的燃油污染標(biāo)準(zhǔn)，逐步成為現(xiàn)代乘用車上燃油箱的主流形式。其復(fù)雜的外形在日益緊湊的白車身空間內(nèi)能夠進(jìn)行布局，并爭取到盡可能大的燃油容積空間，這對汽車設(shè)計(jì)工程師們得到精確的液面高度—剩余燃油容積曲線提出挑戰(zhàn)。

1 試驗(yàn)方法

本產(chǎn)品設(shè)計(jì)中選用浮子式的液面高度傳感器。厚膜電阻的阻值反映了浮子的相對位置，也就反映了液面高度。這樣的設(shè)計(jì)具有直觀，成本低廉，設(shè)計(jì)時(shí)間短，在不同油箱項(xiàng)目見通用性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。

根據(jù)浮子的高度，燃油液面高度傳感器反饋出液面高度h，同時(shí)記下流量泵讀數(shù)V。即有h=f（V）。

圖1 塑料燃油箱的結(jié)構(gòu)示意圖

2 運(yùn)用Mathematica軟件對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和非線性回歸分析

2.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

試驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)自動采集后以文本格式存儲在計(jì)算機(jī)中，使用Mathematica軟件內(nèi)置的Import命令導(dǎo)入該文本文件，構(gòu)成矩陣h0，形如{{1,3},{2,8},{3,11},……,{63,249}}。試驗(yàn)共采集了63個(gè)點(diǎn)的容積—高度數(shù)據(jù)。容積變動區(qū)間是1～63L，液面高度變動范圍是3～249mm。繪制散點(diǎn)圖使用ListPlot命令，輸出如圖2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖

2.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理與回歸分析

圖2中的一些點(diǎn)與其他點(diǎn)有明顯的偏離，這是由于燃油充滿油箱本體后進(jìn)入細(xì)長高聳的注油管造成的。在后續(xù)對試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理和分析中對于這些點(diǎn)予以剔除,生成經(jīng)提煉過的矩陣hr。

根據(jù)散點(diǎn)圖顯示出的趨勢，結(jié)合試驗(yàn)的物理背景和理論分析，分別用不同的函數(shù)來擬合h＝f（V）曲線，如圖3～6所示。其中非線性函數(shù)關(guān)系用FindFit命令進(jìn)行擬合，線性函數(shù)關(guān)系用Fit命令進(jìn)行擬合。

2.3 誤差分析

圖3 對數(shù)回歸方程試驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖4 指數(shù)函數(shù)回歸方程試驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖5 三次多項(xiàng)式回歸方程試驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖6 五次多項(xiàng)式回歸方程試驗(yàn)數(shù)據(jù)

由Mathematica軟件計(jì)算出的回歸曲線圖觀察，對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的回歸方程精度較差，而三次多項(xiàng)式和五次多項(xiàng)式的回歸方程曲線能更精確的描述實(shí)驗(yàn)結(jié)論。

對于同一個(gè)容積Vi對應(yīng)的液面測量高度hi和液面高度的擬合值，記錄其殘差為

對于殘差向量 δ＝｛δ1，δ2，…δn｝有多種評定其誤差的方法。

方法1：殘差的最大絕對值最小。

方法2：殘差絕對值的平均值之和最小。

方法3：殘差的平方和最小。

方法3是最小二乘法原理的數(shù)學(xué)表達(dá)。在此條件下得出的擬合結(jié)論能夠充分的利用誤差的抵償作用，有效的減少隨機(jī)誤差的影響，是最具可信賴性的結(jié)論。

2.4 回歸方程精度比較

運(yùn)用Mathematica軟件構(gòu)造三次多項(xiàng)式回歸和五次多項(xiàng)式回歸的的殘差公式，計(jì)算并進(jìn)行比較。

三次多項(xiàng)式形式的回歸方程為

五次多項(xiàng)式形式的回歸方程為

以方法3為例，構(gòu)造Q（hk）為k次回歸方程的各點(diǎn)殘差平方和。Mathematica軟件的強(qiáng)大并且人性化的數(shù)據(jù)輸入和數(shù)值計(jì)算功能，讓用戶可以在計(jì)算機(jī)上直觀的寫作：

同樣可以按照方法1和方法2，分別計(jì)算出三次多項(xiàng)式回歸方程和五次多項(xiàng)式回歸方程的殘差最大絕對值和殘差絕對值的平均值。計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 3種評價(jià)方法計(jì)算結(jié)果

可見五次多項(xiàng)式回歸方程的誤差更小。

在多種型號塑料燃油箱的高度—容積試驗(yàn)中使用上述方法，均取得了令人滿意的效果。只要細(xì)心的剔除明顯異常的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理的選擇回歸方程類型，都能取得滿足精度要求的結(jié)果。

3 結(jié)論

由于大型塑料中空吹塑件特有的材料和工藝特性，試驗(yàn)測量是獲得精確的高度—容積曲線的重要手段。運(yùn)用最小二乘原理對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，能得到殘余誤差平方和為最小的最佳結(jié)果。

Mathematica軟件具有如下一些特點(diǎn)：

1）使用方便，功能強(qiáng)大，用戶友好，擴(kuò)張便利。Mathmatica軟件內(nèi)置有豐富的初等函數(shù)，避免用戶使用編程語言來低水平的重復(fù)編寫具有成熟算法的計(jì)算機(jī)編碼，大大提高了編程效率。

2）自由格式語言輸入，支持廣泛的導(dǎo)入/導(dǎo)出試驗(yàn)數(shù)據(jù)格式，強(qiáng)大的圖像處理和分析功能在試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的各個(gè)階段都使得工作量大為減輕。

3）同時(shí)支持許多編程模式，如過程式、函數(shù)式、基于規(guī)則、基于模式，用戶可以不受編程工具思路的限制，綜合運(yùn)用各種技術(shù)來解決實(shí)際工程問題。

Mathematica軟件特有的強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能和繪圖功能把使用者從復(fù)雜繁重的編程計(jì)算工作中解放出來，把更多的精力投入到對試驗(yàn)原理和產(chǎn)品性能本身的關(guān)注中。

運(yùn)用本文介紹的回歸分析方法和Mathematica軟件強(qiáng)大方便的數(shù)值計(jì)算功能不僅可以對各種實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，也可以拓展運(yùn)用到燃油箱生產(chǎn)的工藝數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、質(zhì)量改進(jìn)、銷售預(yù)測等多個(gè)環(huán)節(jié)中，為企業(yè)提高精細(xì)化管理水平提供了方法支持。

本文綜合使用Mathematica軟件的多種功能，充分發(fā)揮該軟件的優(yōu)勢，提高了試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理工作的效率，得到了令人滿意的結(jié)果。

[1]Heikki Ruskeepa˙a˙.Mathematica Navigator[M].3rd ed.Rittsburgh：Academic Press，Elsevier Inc，2009.

[2]徐安農(nóng)，科學(xué)計(jì)算引論：基于Mathematica的數(shù)值分析[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2010.

[3]費(fèi)業(yè)泰，誤差理論與數(shù)據(jù)處理[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2010.

[4]魏永生，于曉東，李保民，于建勇.用Mathematica處理和分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2005（6）：62-64.