任意數(shù)列一般項公式的證明與應用

徐望斌，余盛利

(湖北師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

對數(shù)列一般項的研究是認識數(shù)列的基本方法。《初等代數(shù)研究》(下冊)給出了任意數(shù)列一般項公式，并用數(shù)學歸納法進行了證明。這種證明方法并未揭示該公式的本質(zhì)，因而不利于學生的理解和掌握。為此，本文給出任意數(shù)列一般項公式的另一種證明，并用此公式證明了k階等差數(shù)列前n項和公式。

本文的基礎(chǔ)概念是數(shù)列的差分，對任意數(shù)列{un}，數(shù)列的一階差分△u1=u2-u1，k階差分△ku1=△(△k-1u1) ，k,n為正整數(shù)。并有基本結(jié)論：

(1)

1 定理及其證明

定理1 對任意數(shù)列{un}，都有

(2)

證明 根據(jù)(1) 式變形(2) 式右邊

(3)

(3)式子中的uk(1≤k

(4)

……………………………………………………=

(4)變形為

2 定理的應用

證明 {an} 的前n項和Sn構(gòu)成數(shù)列{Sn} ，由定理1知

(5)

s1=a1,△s1=s2-s1=a2,△2s1=△a2,…,△n-1s1=△n-2a2

∵{an} 是m階等差數(shù)列， ∴△m+1a2=△m+2a2=…=△n-2a2=0.

(5) 變形為

(6)

對(6) 式右邊的每一項逐次進行添項、減項、合并變形：

…………………………………………………………

參考文獻:

[1]余元希，田萬海.初等代數(shù)研究(下冊)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2]劉純剛，許麗利.關(guān)于 k階等差數(shù)列通項 an及前n 項和Sn的討論[J].雞西大學學報,2004,4(6):39～40.