晉金才,竇霽虹,楊建飛
(1.西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院,陜西西安 710121;2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127;3.西北大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,陜西西安 710127)
在生物數(shù)學(xué)中,具有階段結(jié)構(gòu)或者具有功能性反應(yīng)的生物數(shù)學(xué)模型被研究者所重視[1-9],文獻(xiàn)[1]研究了具有Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)的三維順環(huán)捕食系統(tǒng),得到了系統(tǒng)一致持續(xù)生存、存在唯一全局漸近穩(wěn)定正周期解與概周期解的充分條件,文獻(xiàn)[2,10]研究了食餌具有階段結(jié)構(gòu)和Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)的兩種群食餌-捕食者模型的持久性和周期解的存在性。本文對(duì)一類(lèi)同時(shí)具有階段結(jié)構(gòu)和Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)的非自治三種群順環(huán)捕食系統(tǒng)進(jìn)行研究①。
本文研究了一類(lèi)具有階段結(jié)構(gòu)和Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)的非自治三種群順環(huán)捕食系統(tǒng)②,即
其中 x11(t),x12(t),x2(t),x3(t)分別表示種群 1 的幼年個(gè)體和成年個(gè)體及種群2,種群3在t時(shí)刻的種群密度,幼年個(gè)體x11(t)不能捕食x3(t),成年個(gè)體 x12(t)捕食 x2(t),x2(t)捕食 x3(t),x3(t)捕食幼年個(gè)體x11(t),ri(t),i=1,2,3,4為種群的死亡率,a(t)為成年個(gè)體對(duì)新生幼年個(gè)體的轉(zhuǎn)化系數(shù),d(t)為幼年個(gè)體向成年個(gè)體的轉(zhuǎn)化系數(shù),ei(t),i=1,2,3,4為密度制約系數(shù)。這里所有系數(shù)都是關(guān)于t函數(shù),比如a=a(t)),且都是定義在[0,+∞]上連續(xù)的正周期函數(shù),并記
定義1[1]對(duì)于系統(tǒng)的任意正解(x11(t),x12(t),x2(t),x3(t)),若存在實(shí)數(shù)M≥m>0滿足
引理1[5]若微分不等式滿足y(t)(p-qy(t)),y(t)=x(0),其中 p,q 是常數(shù),則其解滿足不等式
引理2[11](Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理)假設(shè)中的有界閉凸集,T∈C(Ω,Ω),則存在 X0∈Ω,使得TX0=X0。
引理3[12]設(shè)f(x)為定義在[0,+∞]上的非負(fù)可微函數(shù),若有界,則為一常數(shù),且有
定理1如果系統(tǒng)(1)的解滿足初值條件xli(0)>0,xj(0)>0,i=1,2,j=2,3 那么系統(tǒng)(1)的所有滿足初值條件解最終都滿足xli(t)>0,xj(t)>0,i=1,2,j=2,3。
證明 因?yàn)?/p>
由比較定理知
由生物學(xué)意義知 x11(0)>0,則 x11(t)>0;同理知x12(t)>0。
又由于
由生物學(xué)意義知 x2(0)>0,則 x2(t)>0;同理知x3(t)>0,故定理 1 成立。
定理2 如果系統(tǒng)(1)滿足條件
那么系統(tǒng)(1)是一致持續(xù)生存的。
證明 取函數(shù)S(t)=x11(t)+x12(t),則S(t)沿系統(tǒng)(1)的導(dǎo)函數(shù)是
則對(duì)于常數(shù)c,有
由系統(tǒng)的后兩個(gè)方程及xj(t)>0,j=2,3則,取實(shí)數(shù)
對(duì)(1),(2)兩式從 0 到 t積分得
同理可知存在 mj>0,j=2,3,使得 xj(t)≥mj,j=2,3。
令 V(t)=min{x11(t),x12(t)},當(dāng) x11(t)≤x12(t)時(shí),則V(t)沿系統(tǒng)的右上導(dǎo)數(shù)為
當(dāng) x11(t)≥x12(t)時(shí),
定理3 如果系統(tǒng)(1)滿足定理2的條件,并且滿足
那么系統(tǒng)(1)唯一存在全局漸近穩(wěn)定的周期正解。
如果X0∈Ω0,則由解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性定理知,T關(guān)于X0在Ω0上是連續(xù)的,并且X0∈Ω0一定有令 t=ω,則有 x(t+t0,t0X0)∈Ω0,也就是TΩ0∈Ω0由引理2知,映射T在Ω0中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)X0,即系統(tǒng)(2)至少存在一個(gè)周期解。設(shè)為Y(t)=(y11(t),y12(t),y2(t),y3(t),y1i(t)>0,i=1,2,j=2,3)為系統(tǒng)(1)的周期解,X(t)為系統(tǒng)(1)滿足初值 x1i(0)>0,xj(0)>0,i=1,2,j=2,3 的任意解,構(gòu)造函數(shù):
則W(t)沿系統(tǒng)(1)正解的右上導(dǎo)數(shù)是
取常數(shù)β使
則t≥T。
對(duì)(8)兩端從T到t積分得
故系統(tǒng)(2)存在唯一全局漸近穩(wěn)定的周期正解。
注釋?zhuān)?/p>
① 本文在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上將階段結(jié)構(gòu)引入三種群順環(huán)捕食系統(tǒng)中,使系統(tǒng)更接近實(shí)際的生態(tài)意義,同時(shí)又將文獻(xiàn)[2]的研究推廣到三種群順環(huán)捕食系統(tǒng)使研究的難度進(jìn)一步加大。
② 系統(tǒng)(1)所具有的生態(tài)意義是:當(dāng)自然環(huán)境與人類(lèi)對(duì)環(huán)境干預(yù)的共同作用下,具有階段結(jié)構(gòu)和Beddington-De Angelis功能性反應(yīng)的三維順環(huán)捕食生態(tài)系統(tǒng)在一定條件下,會(huì)出現(xiàn)周期平衡震蕩,這對(duì)環(huán)境保護(hù)和生態(tài)平衡都具有一定的意義。
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