從近三年高考理科數(shù)學(xué)試題談高中統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)

趙興杰，蔣路琴

（遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義563002）

高中統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)內(nèi)容分布在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（簡稱《課標(biāo)》以下同）教科書數(shù)學(xué)2第三章和選修2-2，在高考中所占的分值通常為20分左右，并且隨著社會(huì)的發(fā)展，統(tǒng)計(jì)與概率知識已被廣泛應(yīng)用。因此，統(tǒng)計(jì)與概率是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一。以研究高考試題來認(rèn)識統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)內(nèi)容、把握教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)要求是提高教學(xué)水平的重要途徑之一。

近年來有不少研究高考統(tǒng)計(jì)與概率的文獻(xiàn)。如文[4]通過對教材內(nèi)容以及高考考點(diǎn)進(jìn)行分析，得到高考考查的知識點(diǎn)，并提出了相應(yīng)的復(fù)習(xí)建議；文[5]通過對2010年全國及各省（市、區(qū)）高考理科統(tǒng)計(jì)與概率試題的統(tǒng)計(jì)分析，得到主要的知識點(diǎn)與學(xué)生能力要求，并據(jù)此提出相應(yīng)的教學(xué)建議；文[6]通過對比分析2009～2010年概率與統(tǒng)計(jì)試題在新課標(biāo)下的考查特點(diǎn)、題型的演化趨勢，預(yù)計(jì)高考概率統(tǒng)計(jì)的命題會(huì)在繼續(xù)保持穩(wěn)定的前提下有所創(chuàng)新；文 [7]對2009～2011年的高考概率統(tǒng)計(jì)試題進(jìn)行了詳細(xì)分析，并為高三復(fù)習(xí)提出了建議；文[8]選取2000～2004年高考數(shù)學(xué)理科概率統(tǒng)計(jì)試題進(jìn)行分析，總結(jié)出高考中有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)試題的解題方法。上述文獻(xiàn)雖然從不同的角度對概率統(tǒng)計(jì)作了相應(yīng)的探討和研究，但從連續(xù)三年全國所有高考試題的研究來認(rèn)識概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)內(nèi)容的文獻(xiàn)尚未見發(fā)表。本文以2010～2012年高考理科概率統(tǒng)計(jì)試題為基本材料，在分析試題的知識點(diǎn)及能力要求的基礎(chǔ)上，提出對高中統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)要求的認(rèn)識和教學(xué)參考意見。

1 試題分析

1.1 主要知識點(diǎn)

1.1.1 統(tǒng)計(jì)部分

從近三年51套高考數(shù)學(xué)試題來看，統(tǒng)計(jì)部分試題都以離散型隨機(jī)變量分布列、期望的求為主要知識點(diǎn)，一般出現(xiàn)在解答題中。有不少地區(qū)（如：2010年陜西、新課標(biāo)、湖南、江西；2011年的廣東、北京；2012年的江蘇等）的命題考察了三大抽樣方法（隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣）以及頻率分布直方圖。有部分地區(qū)還考察了正態(tài)分布（如：2010年的浙江、山東、廣東、天津；2011年的湖北；2012年的新課標(biāo)等）、均值與方差（如：2011年的北京；2012年的湖北、安徽）。有少數(shù)地區(qū)還考察了線性回歸（如：2011年的陜西、山東、廣東；2012年的湖南等）與莖葉圖（2010年的天津；2011年的北京等）。

1.1.2 概率部分

概率部分在高考中的主要考點(diǎn)有：獨(dú)立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式（2010年的上海、重慶；2012年的天津、陜西）、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好（或至少、或至多）發(fā)生k次的概率（2010年湖北、重慶、四川、新課標(biāo)、陜西；2011年重慶、湖北；2012年的江西、陜西等）、等可能性事件的概率（2010年的湖北、江蘇、江西；2011年的湖南、江西；2012年的湖南、北京等）。其中重點(diǎn)是上述四種事件的概率，難點(diǎn)是如何在實(shí)際問題中區(qū)分獨(dú)立事件、互斥事件與對立事件。

1.2 主要能力要求

通過對近三年統(tǒng)計(jì)與概率試題的統(tǒng)計(jì)來看，大多數(shù)試題的主要能力要求為：掌握頻率與概率的關(guān)系、會(huì)求等可能性事件、對立事件、互斥事件、獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)事件恰好（至少、至多）發(fā)生k次的概率，并掌握他們之間的聯(lián)系與區(qū)別，能根據(jù)所給條件選擇正確的概率計(jì)算方法，構(gòu)造離散型隨機(jī)變量的分布列，并求數(shù)學(xué)期望；能根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣的統(tǒng)計(jì)圖表計(jì)算某個(gè)頻數(shù)、某一部分的樣本容量以及相應(yīng)的概率，運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題；能根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)總體，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)值特征；會(huì)根據(jù)實(shí)際情況選擇適當(dāng)?shù)暮唵坞S機(jī)抽樣方法，其中重點(diǎn)掌握分層抽樣與系統(tǒng)抽樣的方法；具有獲取信息并對其進(jìn)行分析和篩選的能力，能夠從大量信息中篩選出與問題有關(guān)的信息。

2 高考統(tǒng)計(jì)與概率命題特點(diǎn)

近三年的高考試題，關(guān)于概率與統(tǒng)計(jì)的題型在傳統(tǒng)中見創(chuàng)新，在題目的立意上一年比一年靈活、新穎，一般以中等難度或中等偏易題為主，其中統(tǒng)計(jì)約占5分左右，命題具有以下特點(diǎn)。

2.1 高考考查的重點(diǎn)

從51套試題的統(tǒng)計(jì)來看，對隨機(jī)事件概率的考查主要體現(xiàn)在對概念的理解和公式的運(yùn)用上，其中互斥事件、對立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、相互獨(dú)立事件、等可能事件是高考考查的重點(diǎn)，一般會(huì)將這五種概率問題與離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差、獨(dú)立性檢驗(yàn)、抽樣圖表有機(jī)融合，以考察學(xué)生處理概率問題的方法、思維能力和運(yùn)算能力。

2.2 離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是必考內(nèi)容

從近三年的試題可以看出，離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望是全國卷、所有省（區(qū)、市）每年必考的內(nèi)容，并且每年的要求都有所加強(qiáng)，幾乎每年都會(huì)有一個(gè)大題，其中分類思想在其中的運(yùn)用甚為廣泛，同時(shí)也會(huì)與排列組合綜合起來考察。

2.3 概率與其他知識綜合

隨著新課改的實(shí)施，高考概率試題出現(xiàn)了與其他知識點(diǎn)綜合起來考察的現(xiàn)象：概率與數(shù)列、概率與排列組合、概率與函數(shù)、概率與方程、概率與線性規(guī)劃化、概率與不等式等綜合問題在高考中時(shí)有出現(xiàn)。如：2010年的福建卷將概率與不等式聯(lián)系；2011年的海南卷將概率與函數(shù)聯(lián)系起來考，尤其是2012年這種趨向表現(xiàn)得更加明顯；2012年的廣東卷將概率與方程聯(lián)系起來，新課標(biāo)卷主要考查分段函數(shù)模型，湖北卷將概率與方程綜合，江蘇卷考了概率與集合的綜合問題。

2.4 統(tǒng)計(jì)與概率的融合也是近些年考查的熱點(diǎn)

通過對近三年高考試題的研究發(fā)現(xiàn)，高考中頻繁出現(xiàn)統(tǒng)計(jì)與概率的綜合題，一般以通過統(tǒng)計(jì)圖、表，將抽樣方法與概率問題有機(jī)的結(jié)合起來考察，往往出現(xiàn)在解答題中，主要考察學(xué)生運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識解決實(shí)際問題的能力、抽象概括和處理數(shù)據(jù)的能力以及知識點(diǎn)之間相互銜接的能力。

3 對統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)的幾點(diǎn)啟示

研究高考試題不是僅僅為了應(yīng)對高考。其實(shí)高考的命題源于課程教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，高考的命題內(nèi)容很大程度上反映了課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)要求，并且能夠引導(dǎo)教育者加深對教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式的認(rèn)識。據(jù)此，對高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)有以下啟示。

3.1 注重對概念的理解

從上述高考命題特點(diǎn)分析以及高考題型可以看出，統(tǒng)計(jì)與概率中的離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望是歷年所有試卷的必考內(nèi)容，而這一部分內(nèi)容是以對立事件的概率、互斥事件的概率、在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好（或至少、或至多）發(fā)生k次的概率等常見的概率的計(jì)算、古典概型、幾何概型的概率計(jì)算為基礎(chǔ)，要想真正理解這部分的內(nèi)容，就必須理解概率的概念、互斥事件、獨(dú)立事件、古典概型、幾何概型的概念，掌握互斥事件、獨(dú)立事件、對立事件之間的聯(lián)系與區(qū)別。

3.2 使學(xué)生體會(huì)用樣本估計(jì)總體及其特征的思想

《課標(biāo)》要求：“讓學(xué)生體會(huì)分布的意義和作用，在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學(xué)會(huì)列分布表、畫直方圖、折線圖、莖葉圖等[1]”，“以數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷的思考方式已成為現(xiàn)代社會(huì)普遍應(yīng)用的思維模式，以樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)學(xué)最核心的思想方法。樣本頻率分布直方圖不僅可以根據(jù)原始數(shù)據(jù)估計(jì)總體分布，而且在沒有原始數(shù)據(jù)而僅有頻率分布的情況下，也可以估計(jì)總體的分布特征[5]”。因此，用樣本估計(jì)總體解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題被高考廣泛采納，在近三年高考試題中，北京、陜西、遼寧等大多數(shù)省（區(qū)、市）都將樣本頻率分布直方圖作為試題的重要部分。所以，在教學(xué)中要讓學(xué)生掌握樣本頻率分布的列表和畫直方圖的方法，體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想。

3.3 應(yīng)重視概率與其他知識融合

從上述高考統(tǒng)計(jì)與概率命題來看，概率問題會(huì)與其他知識點(diǎn)綜合起來考察。在2012年的課標(biāo)卷中，對統(tǒng)計(jì)與概率主要考查分段函數(shù)，用頻率估計(jì)概率，離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差，并要求對購進(jìn)不同數(shù)量時(shí)所獲利潤的比較。該題將分段函數(shù)、概率與實(shí)際應(yīng)用有機(jī)地融合構(gòu)成綜合題。此類題型在湖北、江西、江蘇等地的試題中也有。由于課標(biāo)卷對課標(biāo)教科書的實(shí)施具有引領(lǐng)作用，所以在今后的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)重視。

3.4 教學(xué)應(yīng)注意聯(lián)系生產(chǎn)和生活實(shí)際

從近三年高考統(tǒng)計(jì)與概率解答題來看，統(tǒng)計(jì)與概率試題一般以聯(lián)系生產(chǎn)、生活實(shí)踐來設(shè)計(jì)（見表1）。統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)的主要目的是使學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)與概率的基本思想，并且將這種思想與生活實(shí)際相聯(lián)系，能夠收集數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)，并根據(jù)數(shù)據(jù)提取有價(jià)值的信息，作出合理的決策，從而培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)據(jù)說話”的理性思維和解決問題的方法。所以，統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)應(yīng)當(dāng)重視問題的背景及其在生產(chǎn)、生活實(shí)踐中的應(yīng)用。

表1 2010～2012年各省解答題背景

3.5 教學(xué)中應(yīng)注意分類思想的教學(xué)

分類思想在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用隨處可見，在統(tǒng)計(jì)與概率中的運(yùn)用也很廣泛。分類思想在選擇題中的體現(xiàn)不明顯，但是在后面解答題中的體現(xiàn)尤為突出。例如，在構(gòu)造分布列時(shí)，首先必須對各種情況進(jìn)行分類，才能進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)分類的思想有助于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，而要培養(yǎng)這種能力，就需要大量相適的素材，而統(tǒng)計(jì)與概率正好提供給學(xué)生運(yùn)用分類思想的材料，因此，教師應(yīng)該好好把握在統(tǒng)計(jì)與概率中培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用分類思想解決問題的能力。

4 結(jié)束語

本文只是在分析2010～2012年高考理科統(tǒng)計(jì)與概率試題的基礎(chǔ)上得到的一些認(rèn)識。要真正準(zhǔn)確把握《課標(biāo)》對統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)要求，還需要對文科統(tǒng)計(jì)與概率試題進(jìn)行深入的分析，并在此基礎(chǔ)上，認(rèn)真研讀教材和課程標(biāo)準(zhǔn)，從教材的編排中領(lǐng)會(huì)教材編寫意圖，并結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況制定教學(xué)策略。

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[Z].北京：人民教育出版社，2003.2-35.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修3[M].北京：人民教育出版社，2004.53-140.

[3]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修2-3[M].北京：人民教育出版社，2004.43-91.

[4]馬度善.高中數(shù)學(xué)“概率”教材分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)參考,2011，（5）：25.

[5]胡成龍.2010年高考理科試題對高中統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)的啟示[J].遵義師范學(xué)院學(xué)報(bào),2010，12（5）：111-115.

[6]蔣際明.高考概率統(tǒng)計(jì)題型的演化趨勢[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2011，（2）：30-32.

[7]吳鴻志.近三年高考概率統(tǒng)計(jì)試題的分析與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2012，（11）：30-31.

[8]丁金華.研究高考試題解決概率問題[J].數(shù)學(xué)大世界,2012，（6）：53.

[9]胡水林，張金.2012年高考“概率與統(tǒng)計(jì)、計(jì)數(shù)原理”專題分析[J].中國數(shù)學(xué)教育,2012，（7-8）:83-89.