利用特征線法求解方程ut＋b·Du＋cu＝f（x，t）的初值問題

吳建成 王平心

（江蘇科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

0 引言

1）初值問題

其中，c∈R1，b＝（b1，b2，…，bn）∈Rn都是常數(shù)。 x＝（x1，x2，…，xn）是 n維空間變量，t是時(shí)間變量 Du＝（ux1，ux2，…，uxn），g（x），f（x，t）是已知函數(shù)。

2）分析

上述初值問題中的方程(1)是一階非齊次線性偏微分方程，在大多數(shù)常微分方程和偏微分方程教程中，一階偏微分方程通常受到簡單的處理，原因之一是具有很明顯應(yīng)用意義的偏微分方程即位勢(shì)方程、熱傳導(dǎo)方程和波動(dòng)方程等都是標(biāo)準(zhǔn)的二階偏微分方程。實(shí)際上，一階偏微分方程在變分法、質(zhì)點(diǎn)力學(xué)和幾何光學(xué)中都出現(xiàn)過，在流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)和其它工程技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。例如在種群分析中，個(gè)體（不必是生物體，如生產(chǎn)的產(chǎn)品如燈泡、晶體管、食品或更一般的任一類似的物品的集合）根據(jù)統(tǒng)計(jì)樣本隨著時(shí)間的變化會(huì)變得不合格，因此研究一階偏微分方程有著實(shí)際意義。

一階偏微分方程的特點(diǎn)是：其通解可以通過解一個(gè)常微分方程組而得到，稱這種求解方法為特征線法[1]。而高階偏微分方程和一階偏微分方程組沒有這個(gè)特點(diǎn)。特征線法是一種重要又實(shí)用的方法，利用該方法證明了半有界弦振動(dòng)的一維半線性波動(dòng)方程的間斷初邊值問題的分片光滑解的全局存在性定理[2]；用該方法給出了一類倉庫貨物儲(chǔ)存模型解的遞推表達(dá)式，并證明其光滑性從而得到了經(jīng)典解的唯一性[3]；通過運(yùn)用特征線法，討論了無粘性Burgers方程柯西問題解的衰減估計(jì)，并給出了證明[4]；運(yùn)用特征線法給出了Born-Infeld方程的顯式表示[5]等等。特征線法除了可以運(yùn)用于理論證明，也可以用于數(shù)值計(jì)算和一些實(shí)際問題的解決。

在方程（1）中令c＝0，該方程退化為非齊次傳輸方程，該初值問題變?yōu)榉驱R次傳輸方程的初值問題。傳輸方程的初值問題已經(jīng)得到解決，并且得到了古典解，受其啟示，我們來研究初值問題（1）～（2），通過推導(dǎo)來尋找該初值問題的古典解。方程（1）是一階偏微分方程的其中一種情況，因此我們可以利用特征線法來研究初值問題（1）～（2）。

1 解題思路

1.1 利用特征線法來求解該初值問題

初值問題有解的理論保證為下面定理：

在參數(shù)s＝s0的某一領(lǐng)域內(nèi)存在唯一解。稱這樣的解為局部解。該定理可以推廣到 n 元函數(shù) u＝u（x1，x2，…，xn）的具有如下形式的擬線性一階方程

而初值問題是要在空間 Rn＋1中求滿足（3）的積分曲面 z＝u（x1，x2，…，xn），使之通過如下用參數(shù)表示的n－1維超曲面γ：

過 γ 上每一個(gè)具有參數(shù)（s1，s2，…，sn－1）的點(diǎn)做特征曲線，即求出

之下，就能夠由（5）前 n 個(gè)式子解出 s1，s2，…，sn－1，t，將它們代入（5）的第 n+1 個(gè)式子，就得到積分曲面 z＝u（x1，x2，…，xn），它就是初值問題的解。

因?yàn)榫€性偏微分方程可以看作是擬線性偏微分方程的特殊情況，因此由以上對(duì)方程（3）的初值問題的處理，我們來解決初值問題（1）～（2）。

它就是我們所要求的初值問題的解。

1.2 利用特征線法的一種特殊情況求解，這是一種更直接、更直觀的求解方法

最后一步等于零是因?yàn)閡滿足方程（10）。因此，函數(shù)z（s）在過點(diǎn)（x，t）且具有方向（b，1）∈Rn＋1的直線上取常數(shù)值。 所以，如果我們知道解u在這條直線上一點(diǎn)的值，則就得到它沿此直線上的值。這就引出求解初值問題（1）～（2）的方法。

此即為我們所要求的初值問題的解。

因此，如果問題（1）～（2）有充分正則的解 u，它一定是由（9）式給出。 反之，容易驗(yàn)證：如果 g∈C1，f∈C1，那么由（9）式定義的 u 確實(shí)是（1）～（2）的解。

以上利用特征線法把偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程求解了初值問題（1）～（2），這是一種基本又有效的方法，它不僅適用于我們本文所研究的初值問題的求解，也適用于波動(dòng)方程以及其它形式的一階偏微分方程的求解。

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