改進的Simpson公式及其代數(shù)精度

楊少華，華志強

（1.遼寧大學 經濟學院，遼寧 沈陽 110036；2.阜陽師范學院 數(shù)學與計算科學學院，安徽 阜陽 236037；3.內蒙古民族大學 數(shù)學學院，內蒙古 通遼 028043）

在解決實際問題的過程中，經常會遇到一些被積函數(shù)的原函數(shù)不易求得或根本就不存在的情況，因此，用數(shù)值方法求問題的近似解就成為解決問題的重要途徑.為了提高近似解的精度，要對數(shù)值求積公式進行校正以期得到誤差較小的近似解.本文利用Simpson 數(shù)值求積公式余項“中間點”的漸近性對其進行校正，從而得到代數(shù)精度較高的數(shù)值求積公式.

其插值余項

1 漸近性定理

定理1 設函數(shù)f（t）在區(qū)間［a，x］上連續(xù)，在a的某鄰域內直到n＋5次可導，且f（n＋5）（a）≠0，則對于由

確定的ξ（ξ∈（a，x）），有下式成立：

證明 令

反復應用洛必達法則，得

由式（2）并反復應用洛比達法則，得

比較式（3）與式（4），有

所以

因此

特別地，當n＝1時，可以得到以下推論.

推論 設函數(shù)f（t）在區(qū)間［a，x］上連續(xù)，在a的某鄰域內直到6次可導，且f（6）（a）≠0，則對于由式（2）確定的ξ，有下式成立：

證明 當n＝1時，利用定理1的結論，可得：

2 校正后的Simpson數(shù)值求積公式及其代數(shù)精度

定理2 設函數(shù)f（t）在區(qū)間［a，x］上連續(xù)，在a的某鄰域內直到5次可導，且f（5）（a）≠0，則定積分f（x）dx 有如下數(shù)值積分公式：

定理3 設函數(shù)f（t）在區(qū)間［a，x］上連續(xù)，在a的某鄰域內直到5次可導，且f（5）（a）≠0，則校正后的Simpson數(shù)值求積公式（5）具有5次代數(shù)精度.

證明 不失一般性，考查a＝0的情形.

當f（t）＝ti（i＝0，1，2，3）時，式（4）左邊等于右邊，下面考查f（t）＝t4，t5時，式（5）左右兩邊是否相等.把f（t）＝t4，a＝0，x＝1代入

把f（t）＝t4代入式（5）左右兩邊，得

所以，當將f（t）＝t4代入式（5）時，左邊與右邊相等.

把f（t）＝t5＋（1-t）5，a＝0，x＝1 代入式（6），有

把f（t）＝t5代入式（5），得

所以，當將f（t）＝t5代入式（5）時，左邊與右邊也相等.但將f（t）＝t6代入式（5），左右兩邊不等，根據(jù)數(shù)值求積公式代數(shù)精度的定義知式（5）的代數(shù)精度為5.

綜上，校正后的Simpson數(shù)值求積公式S′的代數(shù)精度為5，而Simpson數(shù)值求積公式S的代數(shù)精度只有3［6-7］，因此，校正后代數(shù)精度提高了2階.

3 結 語

在用數(shù)值方法求積分值時，隨著積分區(qū)間添加節(jié)點數(shù)的增加，往往會造成數(shù)值求積公式不穩(wěn)定.因此，為了提高精度，通常把積分區(qū)間等分成若干子區(qū)間，在每個子區(qū)間上使用低階求積公式，這就是復合求積法.上面已經得到代數(shù)精度較高、低階的改進Simpson數(shù)值求積公式，下面利用建立復合Simpson數(shù)值求積公式的思想，給出改進的復合Simpson數(shù)值求積公式.

將區(qū)間［a，b］分為n 等份，在每個子區(qū)間［xk，xk＋1］上采用改進的Simpson 數(shù)值求積公式，則稱

為改進的復合Simpson數(shù)值求積公式.其中，xk

在用數(shù)值方法求積分近似值的過程中，應該使用改進的復合Simpson數(shù)值求積公式，因為它會帶來更為準確的計算結果.

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