關于Diophantine方程x3-53=py2的整數(shù)解的研究

廖軍

(文山學院 數(shù)學學院，云南 文山 663000)

關于Diophantine方程x3-53=py2的整數(shù)解的研究

廖軍

(文山學院 數(shù)學學院，云南 文山 663000)

設p為奇素數(shù)，運用同余式、樂讓德符號的性質(zhì)等初等方法得出了Diophantine方程x3-53=py2無x?0(mod5)的正整數(shù)解的兩個充分條件.

Diophantine方程；奇素數(shù)；同余；正整數(shù)解；樂讓德符號①

0 引言

方程x3-a3=Dy2(x,y∈N,D>0，且無平方因子)

(1)

是一類重要的Diophantine方程，其整數(shù)解已有不少人研究過.杜先存等[1-7]，萬飛、杜先存[8，9]對a=1的情況進行了系列研究，得到了一系列結(jié)果；但a=5時研究的結(jié)果還不多見，目前只有很少人進行過研究，其結(jié)論主要為：1996年，李復中[10]用簡單同余法給出了Diophantine方程x3-125=Dy2的全部非平凡正整數(shù)解，其中D>0，且不能被3或6k+1形的素數(shù)整數(shù)；1998年，李復中[11]用簡單同余法給出了一類Diophantine方程x3-(5k)3=Dy2的全部非平凡整數(shù)解，其中D>0，無平方因子且不能被3或6k+1型的素數(shù)整數(shù)；2006年，劉曉敏用二次剩余法給出了Diophantine方程x3-125=Dy2，其中D>0，D含6k+1形素因子，方程x3-125=Dy2無正整數(shù)的充分性條件.本文主要給出了Diophantine方程x3-53py2無x?0(mod5)的正整數(shù)解的充分性條件.

1 相關定理

定理1 設p為奇素數(shù)，且p=3(24r+3)(24r+4)+1，其中r≡1,3,4(mod5)，則Diophantine方程

x3-53=py2

(2)

無x?0(mod5)正整數(shù)解.

定理2 設p為奇素數(shù)，且p=3(24r+19)(24r+20)+1，其中r≡2,4(mod5)，則Diophantine方程

x3-53=py2(3)

無x?0(mod5)正整數(shù)解.

2 定理證明

2.1 證明1

設(x,y)是方程(2)的一組正整數(shù)解，則(2)可分解為(x-5)(x2+5x+25)=py2，因為x?0(mod5)，故gcd(x-5,x2+5x+25)=1或3，根據(jù)奇偶性質(zhì)，可知x2+5x+25必為奇數(shù)，即x2+5x+25?0(mod2)，則Diophantine方程(2)可以分解為以下4種情形:

情形Ⅰ:x-5=pa2，x2+5x+25=b2，y=ab，gcd(a,b)=1

情形Ⅱ:x-5=a2，x2+5x+25=pb2，y=ab，gcd(a,b)=1

情形Ⅲ:x-5=3pa2，x2+5x+25=3b2，y=3ab，gcd(a,b)=1

情形Ⅳ:x-5=3a2，x2+5x+25=3pb2，y=3ab，gcd(a,b)=1

以下分別討論這四種情形下方程(2)的解的情況.

情形Ⅰ，由第二式得(2x+5)2+75=4b2，即(2b)2-(2x+5)2=75，解得

x=-21,-8,0,3,6，則pu2=-11,2,5,10,13,26，無解，故情形Ⅰ不成立.

情形Ⅱ，a2≡0,1,4(mod8)，則x=a2+5≡1,5,6(mod8)，則x2+5x+25≡3,7(mod8)，根據(jù)x2+5x+25必為奇數(shù)，則b2必為奇數(shù)，則有b2≡1(mod8)，由p=3(24r+3)(24r+4)+1=3(576r2+168r+12)+1=1728r2+504r+37≡5(mod8)，則pb2≡5(mod8)，又x2+5x+25≡3,7(mod8)，所以3,7≡x2+5x+25≡5(mod8)，矛盾，故情形Ⅱ也不成立.

綜上所述:Diophantine方程(2)在題設條件下無x?0(mod5)的正整數(shù)解.

2.2證明2

設(x,y)是方程(2)的一組正整數(shù)解，則(2)可分解為(x-5)(x2+5x+25)=py2，因為x?0(mod5)，故gcd(x-5,x2+5x+25)=1或3，根據(jù)奇偶性質(zhì)，可知x2+5x+25必為奇數(shù)，即x2+5x+25?0(mod2)，則Diophantine方程(2)可以分解為以下4種情形:

情形Ⅰ:x-5=pa2，x2+5x+25=b2，y=ab，gcd(a,b)=1

情形Ⅱ:x-5=a2，x2+5x+25=pb2，y=ab，gcd(a,b)=1

情形Ⅲ:x-5=3pa2，x2+5x+25=3b2，y=3ab，gcd(a,b)=1

情形Ⅳ:x-5=3a2，x2+5x+25=3pb2，y=3ab，gcd(a,b)=1

以下分別討論這四種情形下方程(2)的解的情況.

情形Ⅰ，由第二式得(2x+5)2+75=4b2，即(2b)2-(2x+5)2=75，解得x=-21,-8,0,3,6，則pu2=-11,2,5,10,13,26，無解，故情形Ⅰ不成立.

情形Ⅱ，a2≡0,1,4(mod8)，則x=a2+5≡1,5,6(mod8)，則x2+5x+25≡3,7(mod8)，根據(jù)x2+5x+25必為奇數(shù)，則b2必為奇數(shù)，則有b2≡1(mod8)，由p=3(24r+19)(24r+20)+1=3(576r2+936r+380)+1=1728r2+2808r+1141≡5(mod8)，則pb2≡5(mod8)，又x2+5x+25≡3,7(mod8)，所以3,7≡x2+5x+25≡5(mod8)，矛盾，故情形Ⅱ也不成立.

+4(k∈Z)，現(xiàn)分類討論有:

故情形Ⅳ不成立.

3 結(jié)論

結(jié)果表明Diophantine方程(2)在題設條件下無x?0(mod5)的正整數(shù)解.

[1]杜先存,管訓貴,楊慧章.關于不定方程x3+1=91y2[J].內(nèi)蒙古師范大學學報(自然科學漢文版),2013,42(4):397-399.

[2]杜先存,萬飛,楊慧章.關于丟番圖方程x3±1=1267y2的整數(shù)解[J].數(shù)學的實踐與認識,2013,43(15):288-292.

[3]杜先存,吳叢博,趙金娥.關于Diophantine方程x3±1=3Dy2[J].沈陽大學學報(自然科學版),2013,25(1):84-86.

[4]杜先存,趙東晉,趙金娥.關于不定方程x3±1=2py2[J].曲阜師范大學學報(自然科學版),2013,39(1):42-43.

[5]杜先存,史家銀,趙金娥.關于不定方程x3-1=py2[J].西南民族大學學報(自然科學版), 2012,38(5):748-751.

[6]杜先存,李玉龍,趙金娥.關于不定方程x3-1=Dy2[J].四川理工學院學報(自然科學版),2012,25(4):79-80.

[7]杜先存.關于不定方程x3+1=Dy2[J].周口師范學院學報,2013,30(2):15-16.

[8]萬飛,杜先存.關于指數(shù)Diophantine方程x3+1=Dy2[J].西南民族大學學報(自然科學版),2012,38(6):884-885.

[9]萬飛,杜先存.關于指數(shù)丟番圖方程x3+1=py2與x3+1=3py2[J].曲阜師范大學學報,2013,39(3):49-50.

[10]李復中.關于丟番圖方程x3125=Dy2[J].東北師范大學學報(自然科學版),1996, (3):15-16.

[11]李復中.關于丟番圖方程x3(5k)3=Dy2[J].東北師范大學學報(自然科學版),1998, (2):16-19.

O156.1

A

1004-7077(2013)05-0060-03

2013-09-05

云南省教育廳科學研究項目(項目編號：2012Y270)；文山學院重點學科項目(項目編號：12WSXK01).

廖軍(1977-)，男，云南西疇人，文山學院數(shù)學學院講師，理學碩士，主要從事初等數(shù)學及數(shù)理統(tǒng)計研究.

閆昕]