向量優(yōu)化問題ε-真有效解的一個性質(zhì)*

彭 婕，趙克全

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶400047)

眾所周知，向量優(yōu)化的理論與方法在經(jīng)濟、管理、最優(yōu)決策等許多領(lǐng)域中具有十分重要的作用.近年來，一些學(xué)者已經(jīng)開始研究向量優(yōu)化問題的近似有效解的概念、性質(zhì)及在向量優(yōu)化中的應(yīng)用.Kutateladze在文獻［1］中首次引入了凸多目標(biāo)優(yōu)化問題的ε-有效解的概念.Loridan在文獻［2］中提出了一般向量優(yōu)化問題的ε-有效解的概念.文獻［3］則利用經(jīng)典的G-真有效解的思想提出了ε-真有效解的概念并研究了ε-真有效解的一些最優(yōu)性條件.戎和馬在文獻［4］中基于經(jīng)典的Benson-真有效解的思想提出了一類新的ε-真有效解的概念并在廣義次似凸性假設(shè)下研究了帶集值映射的向量優(yōu)化問題的ε-真有效解的一些標(biāo)量化結(jié)果和Lagrange乘子定理.戎和武在文獻［5］中在廣義次似凸性假設(shè)條件研究了帶集值映射的向量優(yōu)化問題的ε-弱有效解的一些標(biāo)量化結(jié)果，Lagrange乘子定理鞍點定理和對偶定理.

受文獻［3，4，6，7］的啟發(fā)，在次似凸性假設(shè)下，證明了ε-真有效解集的一個性質(zhì).該性質(zhì)提出了向量優(yōu)化問題的ε-真有效解集為空的一個充分條件，結(jié)果是對最近一些文獻中相應(yīng)結(jié)果的改進與推廣.

1 預(yù)備知識

考慮如下向量優(yōu)化問題:

其中 S?Rn，f:S→Rm.令 J={1，2，…，m}.

考慮如下與問題(VP)相對應(yīng)的數(shù)值優(yōu)化問題:

定義1［1］令ε∈.稱x0∈S是(VP)的ε-有效解，如果不存在x∈S使得f(x)≤f(x0)-ε.記(VP)的ε-有效解集為ε-E(f(S)，).

定義2［3］令ε∈.x0∈S是(VP)的ε-真有效解當(dāng)且僅當(dāng)

(i)x0是(VP)的ε-有效解.

(ii)存在M＞0使得對任意的i，只要x∈S且fi(x0)＞fi(x)+εi，則存在j∈J滿足fj(x0)＜fj(x)+εj且

定義3［3］x0∈S 稱為問題(VP)的 ε -最優(yōu)解，如果 μTf(x0)≤μTf(x)+ μTε，?ε∈S.

定義4［4］x0∈S稱為問題(VP)的ε-真有效解當(dāng)且僅當(dāng)clcone(f(S)++ε-f(x0))∩(-)={0}.

定義5［7］f稱為S上的-次似凸函數(shù)，如果f(S)+是凸集.引理1［4］若f是S的-次似凸函數(shù)，那么x0是問題(VP)的ε-真有效解當(dāng)且僅當(dāng)存在μ∈使得x0是問題(VP)μ的ε-最優(yōu)解.

引理2［8］定義2等價于定義4.

2 ε-真有效解的性質(zhì)

這部分給出ε-真有效解的一個性質(zhì).該性質(zhì)提出了向量優(yōu)化問題(VP)的ε-真有效解集為空的一個充分條件.

考慮與問題(VP)相對應(yīng)的如下數(shù)值優(yōu)化模型:

證明 由上得，因問題(VP)μ無有限最大值存在，故對任意的，存在滿足下面的系統(tǒng)

若存在x*∈ε－PE(f(S)，)，由引理1和引理2可知存在μ∈=1使得x*是問題(VP)μ的ε－最優(yōu)解，這樣，對任意的x∈S，可得

這與(2)矛盾.

注 顯然，推論減弱了文獻［6］中定理3的條件.

［1］KUTATELADZE S.Convex ε-programming［J］.Soviet Mathematics.Dokl，1979，20:391-393

［2］LORIDAN P.ε-solutions in vector minimization problems［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1984，43:265-276

［3］ LIU J C.ε-Properly eきcient solutions to nondiあerentiable multiobjective programming problems［J］.Applied Mathematics Letters，1999，12:109-113

［4］RONG W D，MA Y.ε-Properly eきcient solutions of vector optimization problems with set-valued maps［J］.OR Transactions，2000，4:21-32

［5］RONG W D，WU Y N.ε-Weak minimal solutions of vector optimization problems with set-valued maps［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2000，106:569-579

［6］BENSON H P.Existence of eきcient solutions for vector maximization problems［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1978，26:569-580

［7］CHEN G Y，RONG W D.Characterizations of the Benson proper eきciency for nonconvex vector optimization［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1998，98:365-384

［8］ZHAO K Q，WAN X，PENG J.ε-Eきciency in vector optimization problems［J］.Journal of Chongqing Normal University(Natural Science)，2012，29(5):1-5

［9］龍莆均，皮巧麗，趙克全.關(guān)于KT一偽Ⅱ型不變凸性的一個注記［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2012，29(1):16-18