機(jī)械設(shè)計(jì)中的模糊集理論的應(yīng)用

劉永鋒

0.前言

自從1965年，由美國(guó)L.A.zadeh教授提出模糊集合理論以來(lái)，模糊合理論很好的解決了工程存在的大量模糊性問(wèn)題，因此，發(fā)展非常迅速，已成為應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。

在機(jī)械設(shè)計(jì)中存在著許多不確定現(xiàn)象，這種不確定性主要表面在兩個(gè)方面：一是隨機(jī)性，一是模糊性。前者是由于事物的因果關(guān)系不確定造成的，可用概率統(tǒng)計(jì)的方法加以研究。后者是由于邊界不清楚造成的，它是指在質(zhì)上沒(méi)有確切的含義，在量上沒(méi)有明確的界限，是模糊數(shù)學(xué)所設(shè)計(jì)的范疇。

本文僅從疲勞強(qiáng)度的模糊可靠性設(shè)計(jì)上加以說(shuō)明。

常規(guī)的疲勞強(qiáng)度設(shè)計(jì)計(jì)算中，材料強(qiáng)度、載荷以及零件的尺寸等數(shù)據(jù)，一般是取一個(gè)定值，即平均值。但實(shí)際上，即使制造零件時(shí)檢驗(yàn)得很嚴(yán)格，在特定載荷下，同一批零件的疲勞壽命數(shù)據(jù)不可避免地還是分散的。因?yàn)闊o(wú)論從材料強(qiáng)度、載荷以及實(shí)際零部件的尺寸，都可看成不是一個(gè)確定數(shù)。所以，在常規(guī)的疲勞強(qiáng)度設(shè)計(jì)中，引入了安全系數(shù)，并根據(jù)已知零件的破壞經(jīng)驗(yàn)，建議許用安全系數(shù)數(shù)值，以保證零部件在工作中安全運(yùn)行。這樣采用安全系數(shù)，是因?yàn)閷?duì)材料及載荷的不確定性尚未充分認(rèn)識(shí)從而設(shè)計(jì)的零部件往往失之過(guò)重。

因此，為了在保證疲勞強(qiáng)度的前提下，盡量減輕零部件的重量，我們有必要在疲勞強(qiáng)度的設(shè)計(jì)中，考慮強(qiáng)度、載荷以及實(shí)際零件尺寸的不確定性，即離散性和模糊性。我們可用模糊集合與隸屬函數(shù)來(lái)表示這種疲勞強(qiáng)度計(jì)算中的模糊變量。

1.模糊子集及模糊事件的概率

模糊子集A是指在論域U中，對(duì)任意的u∈U，指定了一個(gè)數(shù)μ（A）（u）∈[0，1]這時(shí)我們稱μ（A）：U→μ（A）為對(duì)μ對(duì)A的隸屬度，它說(shuō)明了u屬于這個(gè)子集A的隸屬度，它說(shuō)明了u屬于這個(gè)子集A的過(guò)程稱μ（A）：U—μ（A）（u）（1）為A的隸屬函數(shù)。在論域U上，如果模糊子集A是一個(gè)隨機(jī)變量，則稱A為一個(gè)模糊事件。模糊事件的概率定義為：

D（A）=fuμA（x）f（x）dx （2）

2.隸屬函數(shù)的選擇

因?yàn)闄C(jī)械零件從完全使用到完全不許用之間，有一個(gè)中間過(guò)渡過(guò)程，所以，我們?cè)谶x取許用強(qiáng)度值時(shí)，隸屬函數(shù)的選擇可以用模糊統(tǒng)計(jì)的方法確定，或由有經(jīng)驗(yàn)的工程技術(shù)人員給定。由于隸屬函數(shù)是人腦給定性的東西，因此存在著一定的人為技巧，但被統(tǒng)計(jì)的人數(shù)越多，就越顯示出它的規(guī)律性，如同數(shù)理統(tǒng)計(jì)一樣。隸屬函數(shù)的確定由于是人為加工的，所以它具有更大的靈活性，這樣設(shè)計(jì)出的機(jī)械零件就比較容易達(dá)到要求，其應(yīng)變能力也就相對(duì)強(qiáng)一些。

例如我們考慮疲勞強(qiáng)度是A左右在這個(gè)模糊問(wèn)題，憑經(jīng)驗(yàn)判斷是A的可能性最大，而疲勞強(qiáng)度偏離這個(gè)值的可能性有大有小，且疲勞強(qiáng)度[σ]=A±△u的可能性相同時(shí)，我們可采用如下式表達(dá)的正態(tài)型隸屬函數(shù)。μA（u）=exp[-（u-a）2]/D] （3）

來(lái)表示。這時(shí)a=A，而D的選取主觀判斷?？偟脑瓌t是：信息越模糊，問(wèn)題越吃不住，分布就越應(yīng)了以大值。

我們把這類具有正常型分布的隸屬函數(shù)稱為a—D模糊數(shù)，并簡(jiǎn)寫為（a，D）形式，它的綜合運(yùn)算由以下幾式準(zhǔn)確或近似給出：

只要知道材料的抗拉強(qiáng)度極限σp和σ-1k我們就可求得零件的非對(duì)稱（-1

σb的變動(dòng)。所以材料的真正機(jī)械性能指標(biāo)σ-1，σb不能與機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)中的σ-1，σb完全相等，而只能認(rèn)為兩者近似相等。這樣，用模糊數(shù)來(lái)表示σ-1，σb是恰當(dāng)?shù)?，且假定它們具有正態(tài)型隸屬函數(shù)，那么，由（1）、（5）、（8）可知的疲勞極限σr也應(yīng)作為具有正態(tài)型隸屬函數(shù)的模糊數(shù)來(lái)處理。

總之，用模糊數(shù)來(lái)表示疲勞極限σr是比較恰當(dāng)?shù)模驗(yàn)樗从沉诉@樣一個(gè)客觀情況：由Gerber方程所描述的非對(duì)稱疲勞極限σr與零件的真實(shí)對(duì)稱疲勞極限σr不可能完全相等，而只能認(rèn)為兩者近似相等。此外還有一個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn)：融合了設(shè)計(jì)者對(duì)零件非對(duì)稱疲勞極限的主觀信息，突出了非對(duì)稱疲勞極限的復(fù)雜性和信息的模糊性。

3.勞強(qiáng)度的模糊可靠性計(jì)算

通常在疲勞強(qiáng)度的可靠性設(shè)計(jì)中，假設(shè)應(yīng)力服從正態(tài)分布，而強(qiáng)度如上節(jié)所述為具有正態(tài)型隸屬函數(shù)的模糊數(shù)。因此，將它們兩者相結(jié)合起來(lái)求模糊可靠度。

最后，模糊可靠度為：R=1—P（A），因此，我們可以模糊可靠度的定義，求零件不發(fā)生疲勞失效的概率或在給定模糊可靠度的條件下確定零件的主要尺寸。

4.結(jié)論

本文從疲勞強(qiáng)度設(shè)計(jì)的模糊性出發(fā)，討論了與之相關(guān)的模糊可靠性理論，給出了表示其模糊狀態(tài)的隸屬函數(shù)以及相應(yīng)的計(jì)算公式。從這些公式出發(fā)，可計(jì)算機(jī)械設(shè)計(jì)中的模糊可靠度，也可根據(jù)模糊可靠度來(lái)計(jì)算相應(yīng)的參數(shù)。

從分析中可以看出，將模糊集理論應(yīng)用于機(jī)械設(shè)計(jì)中，可解決其它可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)所不能解決的問(wèn)題。