與Hermite算子相關(guān)的算子有界性

曹勇輝，周 疆

（新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊830046）

在經(jīng)典分析中，拉普拉斯算子是一個很重要的算子，許多文獻(xiàn)對它做過各種討論，其中在微分方程中用得較多的是它的冪算子與乘子算子在各種函數(shù)空間上的有界性，它對應(yīng)著解的估計．因為Hermite函數(shù)系構(gòu)成了函數(shù)空間L2（Rn）上的一組完備正交基，所以Hermite函數(shù)展開問題的研究頗受重視，注意到Hermite函數(shù)是Hermite算子的特征函數(shù)，故對Hermite算子的研究很有意義．與Hermite算子相關(guān)的乘子算子與冪算子在一些經(jīng)典空間中的有界性已經(jīng)有很多作者研究［1－3］，本文討論這些算子在與Hermite函數(shù)相關(guān)的Triebel－Lizoekin空間中的有界性．

1 基本概念

設(shè)D是一個自伴正的算子，作用在L2（Rn），那么有Df＝其中dE為算子D的譜解集．對α∈R，0＜p，q＜ ∞，取φ∈Φ，其中Φ＝｛φ∈C∞：suppφ?［1／2，2］，｜φ（λ）｜＞c＞0，λ∈［3／4，7／4］｝，文獻(xiàn)［1］引入了與算子D相關(guān)的Triebel空間．

定義1［1］與算子D相關(guān)的Triebel空間定義為其中

如果算子D為拉普拉斯算子，那么此函數(shù)空間就是經(jīng)典的Triebel－Lizorkin空間［2，4］；如果D＝H，H＝－Δ＋｜x｜2是Hermite算子，文獻(xiàn)［5］得到H0，2p＝Lp，p＞1．

下面給出乘子算子與冪算子的定義．

定義2［6］函數(shù)m：R＋→C被稱作Hα，qp上的乘子，如果算子m（H）：L2→L2能有界延拓到Hα，qp．

引理1［6］α∈R，1＜p＜ ∞，如果有界函數(shù)m：R＋→C滿足｜m′（t）｜≤ct－1，那么乘子m在空間上有界．

注意引理1只是在一維空間上成立，本文利用乘子算子的加權(quán)有界性把這個結(jié)果推廣到高維空間仍然成立．

利用Hermite半群表示，可以定義Hermite算子的虛冪算子．

定義3［7］．它的積分表示的積分核為

其中Ks（x，y）＝

對此算子，文獻(xiàn)［8］得到它的加權(quán)有界性，類似的對拉普拉斯算子的虛冪算子的結(jié)論在文獻(xiàn)［8－9］中已經(jīng)研究．

引理2［7］如果1＜p＜ ∞，w∈Ap，那么有H－ir在Lp（w）上有界．

本文考慮上述算子在Hα，qp空間中的有界性．證明過程中出現(xiàn)的常數(shù)c不依賴于主要指標(biāo)，它在不同的地方出現(xiàn)其值可以不一樣．

2 結(jié)論及證明

首先證明下面的引理．

引理3 Ha，qp的對偶空間是H－a，q′p′，其中a∈R，1＜p，q＜ ∞，1／p＋1／p′＝1，q／1＋1／q′＝1．

證明 取f（x）∈H－a，q′p′，φ∈Φ滿足∑φ2k（x）＝1，x≠0，那么其中Qkf＝有

取f∈Ha，qp，因為f→ ｛2kaQkf｝為從Ha，qp到Lp（lq）子空間的一一映射．每個函數(shù)g∈（Ha，qp）′可以看成子空間上的泛函，應(yīng)用延拓定理，g為Lp（lq）上連續(xù)泛函，利用（Lp（lq））＝Lp′（lq′），若φ為Schwartz函數(shù)，得到g（φ）＝∫∑gk（x）Qk（x）dx，‖2－kagk‖Lp′（lq′）～‖g‖．

引理4 線性算子T滿足TH＝HT和‖Tf‖Lq（w）≤c‖f‖Lq（w），‖Tf‖Lq′（w）≤c‖f‖Lq′（w），其中1＜q＜∞，w∈A1．那么當(dāng)a∈R，1＜p＜∞時，T是從Ha，qp到Ha，qp有界的．

證明 取φ∈Φ，∑φ2k（x）＝1，x≠0，其中φk（x）＝φ（2－kx）．那么取g∈H－a，q′p′，

〈Tf，g〉＝∑〈TQkf，Qkg〉≤ ∑〈2akTQkf，

定義如下g函數(shù)［3］：

其中Ttf（x）＝（2π）－n／2∫Kt（x，y）f（y）dy，Kt（x，y）＝ （2πsinh 2t）－n／2exp（－1／2｜x－y｜2coth 2txytanh t）．

引理5［3］對每個k≥1與f∈L2，有‖gk（f）‖22＝2－2kΓ（2k）‖f‖22．

引理6［3］核Kt（x，y）的估計滿足

應(yīng)用這兩個引理可以證明

引理7 如果w∈Ap，1＜p＜ ∞，那么‖g（f）‖Lp（w）與 ‖f‖Lp（w）等價．

證明 取E＝L2（R＋，tdt），Tf（x）＝∫?tKt（x，y）f（y）dy，則有

利用向量值奇異積分理論有g(shù)在Lp（w）上有界．

極化 ‖g（f）‖22＝2－1‖f‖22得到

取h1（x）＝w（x）1／ph（x），得到

應(yīng)用H?lder不等式有

其中1／p＋1／q＝1，但是‖g（h1）‖Lq（w）≤c‖h1‖Lq（w）＝c‖h‖Lq．得到

通過對h（x）取上確界有‖g（f）‖Lp（w）≥c‖f（x）‖Lp（w）．完成引理7的證明．

對k≥1，引進(jìn)

引理8 如果p≥2，k＞n／2，w∈Ap／2，那么g＊k在Lp（w）上有界．

證明 因為k＞n／2，故

即有∫Rn（g＊k（f，x））2h（x）dx≤

取h1（x）＝w（x）2／ph（x），利用極大函數(shù)的加權(quán)結(jié)果可以得到

對h取上確界，即可完成引理8的證明．

下面證明乘子的有界性．

定理1 取α∈R，1＜p＜∞，如果m：R＋→C為有界的并且滿足｜m′（t）｜≤ct－1，那么m在Ha，qp（Rn）上有界．

證明 注意到g（m（H）f（x），x）≤ckg＊k（f，x）［3］與gk（f，x）≤cgk＋1（f，x），利用引理7和引理8即有

其中p≥2，當(dāng)1＜p＜2，對偶操作可以得到類似結(jié)果，即乘子是加權(quán)有界的，應(yīng)用引理4即可完成證明．

定理2 取1＜p，q＜ ∞，a∈R，H－ir（r≠0）是從Ha，qp到Ha，qp有界的．

證明 應(yīng)用引理2與引理4，可以得到證明．如果冪為實的，那么有

證明 由于f＝H－rHrf，

令φ（x）∈Φ，ψ（x）＝xrφ（x），那么ψ∈Φ．記ψk（x） ＝ ψ（2－kx），ψk（H） ＝ ψ（2－kH） ＝2－krHrφ（2－kH），則有

綜上完成定理3的證明．

3 結(jié)語

利用算子的加權(quán)有界性與對偶方法，證明了與Hermite算子可交換的算子在Triebel－Lizorkin空間中的有界性，并得到乘子算子與冪算子在Triebel－Lizorkin空間中是有界的．由于算子在各種空間的有界性可以反映出一些相關(guān)的微分方程解的信息，所以此類算子在理論研究和應(yīng)用中都有很大作用．

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