三角代數(shù)上的廣義高階Jordan導子

馬 飛，張建華，任剛練

（1陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院，陜西 西安，710062；2咸陽師范學院 數(shù)學與信息科學學院，陜西 咸陽，712000）

設(shè)A是任意代數(shù)，稱M是其A－雙模，若滿足對于任意的A∈A，M∈M，有AM、MA∈M．一個可加映射d：A→M稱為導子、Jordan導子或者Jordan三重導子，如果d滿足對于任意的A、B∈A，有d（AB）＝d（A）B＋Ad（B），d（A2）＝d（A）A＋Ad（A）或者d（ABA）＝d（A）BA＋Ad（B）A＋ABd（A）成立．一個可加映射f：A→M稱為廣義導子或廣義Jordan導子，如果存在導子或Jordan導子d：A→M使得對于任意的A、B∈A，有f（AB）＝f（A）B＋Ad（B）或f（A2）＝f（A）A＋Ad（A）．近年來，各種算子代數(shù)上使得一個線性映射成為（Jordan）導子和廣義（Jordan）導子的研究工作不斷出現(xiàn)，引起了許多學者的興趣．顯然，（廣義）導子一定是（廣義）Jordan導子，反之一般不成立［1］．自然的一個問題就是在哪些代數(shù)上的（廣義）Jordan導子是（廣義）導子？1957年，Herstein首先在文獻［2］中證明了每個2－非撓半素環(huán)上的Jordan導子是導子；隨后有很多結(jié)果被證明，文獻［3－4］證明了每個三角代數(shù)和套代數(shù)上的Jordan導子是導子；文獻［5］證明了每個套代數(shù)上的廣義Jordan導子是廣義導子；我們在文獻［1］中證明了每個上三角代數(shù)到其雙模上的廣義Jordan導子是一個廣義導子與反導子的和．類似結(jié)果可見文獻［6－8］．

另外，高階導子也得到很多學者研究（見文獻［9－11］）．下面先給出定義：

定義1［9］設(shè)D＝（di）i∈N是環(huán)R上滿足d0＝idR的一族可加映射．稱映射D為高階導子（簡記為HD），如果對于任意的A、B∈R，有dn（AB）＝映射D稱為高階Jordan導子（簡記為HJD），如果對于任意的A∈R，有dn（A2）＝；映射D稱為高階Jordan三重導子（簡記為HJTD），如果對任意的A、B∈R，有

定義2設(shè)F＝（fi）i∈N是環(huán)R上滿足f0＝idR的一族可加映射．映射F稱為廣義高階導子（記為GHD），如果存在R上的高階導子D＝（di）i∈N，使得對于任意的A、B∈R有fn（AB）＝映射F稱為廣義高階Jordan導子（簡記為GHJD），如果存在R上的高階Jordan導子D＝（di）i∈N，使得對于任意的A∈R，有fn（A2）＝；映射F稱為廣義高階Jordan三重導子（簡記為GHJTD），如果存在R上的高階Jordan三重導子D＝（di）i∈N，使得對任意的A、B∈R有

文獻［9］證明了每個2－非撓半素環(huán)上的高階Jordan導子是高階Jordan導子；文獻［10］證明了三角代數(shù)上的高階Jordan導子是高階導子．自然就產(chǎn)生這樣的一個問題：每個三角代數(shù)上的廣義高階Jordan導子是不是廣義高階導子？本文就從這個角度出發(fā)來回答這個問題．

三角代數(shù)首先是在文獻［12］中引出，隨后被許多學者研究［4，10－15］．設(shè)A和B是可交換R上的代數(shù)，且分別含有單位元IA和IB，M是忠實的含單位（A，B）－雙模．M稱為忠實的A－左（右）模是指如果A∈A且AM＝0（MA＝0），則有A＝0．一個在通常矩陣算法意義下的R－代數(shù)

稱為三角代數(shù)．有關(guān)三角代數(shù)最典型、也是最重要的模型是上（下）三角矩陣代數(shù)和套代數(shù)．

顯然，三角代數(shù)U存在非平凡冪等元e1和e2，其中

顯然三角代數(shù)是含有單位元I的：I＝e1＋e2．由矩陣的運算可知，對于任意的1≤i≤j≤2，有Uij＝eiUej．因而可以將三角代數(shù)U表示為

本文假設(shè)所有的映射都是可加的，N表示包含0的自然數(shù)集．

由文獻［10］可知，每個高階Jordan導子是高階導子，因此本文中總假設(shè)是高階導子即可．

類似于文獻［9］的證明可得下面的引理：

引理1 設(shè)U＝Tri（A，M，B）是三角代數(shù)，D＝（di）i∈N是高階導子，F(xiàn)＝ （fi）i∈N是GHJD，則對于任意的A、B、C∈U，都有

特別地，當n＝1時，由GHJD的定義可知f1是廣義Jordan導子［15］．

引理2［15］設(shè)A、B是2－非撓可交換環(huán)R上的含單位代數(shù)，M是（A，B）－雙邊模且U＝Tri（A，M，B）是三角代數(shù)，則U上的每個廣義Jordan導子都是廣義導子．

引理3 設(shè)f1是廣義Jordan導子，d1是Jordan導子，則當i＝1，2時，有

（ⅰ）d1（e1）∈U12，d1（e2）∈U12，d1（U12）?

證明 （?。┮驗槿谴鷶?shù)上的Jordan導子是導子［4］，因而d1是導子．注意到在三角代數(shù)中，e2e1＝e2Ue1＝0，ei＝e2i，且d1（e1）＝d1（e1）e1＋e1d1（e1），因而

因此，d1（e1）∈U12．又因為d1（I）＝0，所以d1（e2）＝－d1（e1）∈U12．

對于任意的A12∈U12，由A12＝e1A12＝A12e2可知：

由d1（e1）∈U12，d1（e2）∈U12，則d1（A12）＝e1d1（A12）＝d1（A12）e2．于是

對于任意的A11∈U11，A22∈U22，則由d1（A11）＝d1（A11）e1＋A11d1（e1）知：e2d1（A11）e2＝0，因此d1（A11）∈U11＋U12．

類似可以證明d1（A22）∈U22＋U12．

（ⅱ）由于f1是廣義Jordan導子，則

f1（e1）＝f1（e1）e1＋e1d1（e1）∈U11＋U12；f1（e2）＝f1（e2）e2＋e2d1（e2）∈U22＋U12．對于任意的A12∈U12，由引理1（?。┛傻?/p>

f1（A12）＝f1（e1A12＋A12e1）＝f1（e1）A12＋e1d1（A12）＋f1（A12）e1＋A12d1（e1），

對上式兩邊左乘e2且由e2f1（A12）e1＝0可得

e2f1（A12）＝0．

又因為

對上式兩邊右乘e1可得f1（A12）e1＝0．因此，f1（A12）＝f1（A12）e2∈U12．

對于任意的A11∈U11，由引理1（ⅱ）可得

因而，f1（A11）∈U11＋U12．同理可以證明f1（A22）∈U22＋U12．

定理1 設(shè)U＝Tri（A，M，B）是三角代數(shù)，則U上的每個廣義高階Jordan導子是廣義高階導子．

證明 設(shè)F＝ （fi）i∈N是廣義高階Jordan導子，用數(shù)學歸納法證明結(jié)論．

由引理2可知：當k＝1時，廣義Jordan導子是廣義導子；而引理3又說明，當k＝1時，對于i＝1，2，滿足：

下面設(shè)對任意的A、B∈U和任意的k＝s＜n∈N，有fs（AB（B）并且對于i＝1，2滿足：

Ps：fs（U12）?U12，fs（Uii）?Uii＋U12；ds（ei）∈U12，ds（U12）?U12，ds（Uii）?Uii＋U12．

為了證明當k＝n時結(jié)論成立，分為以下4個命題來證明：

命題1 dn（e1）∈U12，dn（e2）∈U12，dn（U12）?U12和dn（Uii）?Uii＋U12（i＝1，2）．

因為dn（e1）則由Ps可得e1dn（e1）e1＝e2dn（e1）e2＝0．于是dn（e1）∈U12．顯然ds（I）＝0，易證dn（I）＝0．因 而，dn（e2）＝－dn（e1）∈U12．

設(shè)A12∈U12，則有和

由Ps及dn（e1）∈U12，dn（e2）∈U12可知

因此，dn（A12）＝e1dn（A12）e2∈U12．

對于任意的A11∈U11，A22∈U22，因為ds（A11）∈U11＋U12，ds（e1）∈U12，則有

因而dn（A11）∈U11＋U12．類似可以證明d2（A22）∈U22＋U12．

命題2 fn（U12）?U12，fn（Uii）?Uii＋U12（i＝1，2）．

由fn的定義及Ps，顯然有

所以有fn（e1）∈U11＋U12，fn（e2）∈U22＋U12．

對于任意的A12∈U12，由引理1（?。┘癆12e1＝0可得

對（1）式兩邊左乘e2且由e2fn（A12）e1＝0知e2fn（A12）＝0．又因為e2A12＝0，則

對（2）式兩邊右乘e1，可得fn（A12）e1＝0．因此，fn（A12）＝e1fn（A12）e2∈U12．

對于任意的A11∈U11，由引理1（ⅱ）可知

所以有fn（A11）∈U11＋U12．同理可以證明fn（A22）∈U22＋U12．

命題3 （?。τ谌我獾腁11∈U11，B12∈U12，有fn（A11B12

（ⅱ）對于任意的A12∈U12，B22∈U22，有

（ⅲ）對于任意的Akk、Bkk∈Ukk（k＝1，2），有

對于任意的A11∈U11和B12∈U12，由引理1（?。}1、2及Ps可得

類似地可以證明（ⅱ）．

對于任意的A11∈U11，由引理1（ⅱ）及dn是高階導子，從而有

因此，對于任意的A11、B11∈U11，有

由（3）式可得

因而可得

類似可以證明

命題4 對于任意的A、B∈U，有

對于任意的A、B∈U，有A＝A11＋A12＋A22，B＝B11＋B12＋B22，其中Aij、Bij∈Uij（1≤i≤j≤2），由命題3可得

再由Ps及命題1、2可知

由（3）式可得

于是fn（AB）即k＝n時結(jié)論成立．

綜上可知，三角代數(shù)上的每個廣義高階Jordan導子是廣義高階Jordan導子．

通過定理1的證明過程可知：對于任意的i∈N，有di（I）＝0．因而一個廣義高階Jordan三重導子是廣義高階Jordan導子．因此，由定理1可得

定理2 設(shè)U＝Tri（A，M，B）是三角代數(shù)，則U上的每個廣義高階Jordan三重導子是廣義高階導子．

特別地，若對于任意的i∈N，滿足fi＝di，則有

推論1 設(shè)U＝Tri（A，M，B）是三角代數(shù)，則U上的每個高階Jordan導子是高階導子．

推論2 設(shè)U＝Tri（A，M，B）是三角代數(shù)，則U上的每個高階Jordan三重導子是廣義高階導子．

本文在三角代數(shù)上研究了廣義高階Jordan導子和廣義高階Jordan三重導子，證明了在三角代數(shù)上，廣義高階Jordan導子、廣義高階Jordan三重導子和廣義高階導子是等價的．我們的結(jié)論更具有一般性，如文獻［2，4－5，10，15］等的結(jié)論均可看成是本文結(jié)論的某種特殊情形．

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