非線性橫搖阻尼對運(yùn)動(dòng)和波浪扭矩的統(tǒng)一修正

李輝，張藝瀚，任慧龍

(哈爾濱工程大學(xué)船舶工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

船舶在波浪中的運(yùn)動(dòng)以及波浪載荷預(yù)報(bào)的方法有切片法、二維半法和三維線性法等.基于三維勢流理論［1］的線性計(jì)算法假設(shè)入射波是微幅波，船舶在微幅波中的運(yùn)動(dòng)也是微幅的.實(shí)際上，船舶在惡劣海況下的大幅搖蕩運(yùn)動(dòng)非常明顯，已不再滿足線性化假設(shè)，屬于非線性問題，其中橫搖運(yùn)動(dòng)的非線性效應(yīng)相比于其他搖蕩運(yùn)動(dòng)更加突出.為了準(zhǔn)確預(yù)報(bào)船舶的橫搖運(yùn)動(dòng)和波浪載荷，必須考慮橫搖阻尼的非線性效應(yīng).尤其對艦艇和工程類船舶，良好的橫搖運(yùn)動(dòng)性能是其完成作戰(zhàn)、作業(yè)任務(wù)的保證，準(zhǔn)確的波浪載荷預(yù)報(bào)更是其結(jié)構(gòu)強(qiáng)度可靠性評估的基礎(chǔ).因此，本文對于非線性橫搖的研究具有深遠(yuǎn)的意義和較強(qiáng)的工程實(shí)用性.

橫搖非線性可分為阻尼力矩、恢復(fù)力矩、附加慣性矩和波浪擾動(dòng)力矩的非線性［2］，其中恢復(fù)力矩的非線性主要影響橫搖頻率，阻尼力矩的非線性主要影響橫搖幅值，是國內(nèi)外研究的重點(diǎn).Nayfeh等［3］對于規(guī)則橫浪中的船舶根據(jù)牛頓第二定律建立非線性運(yùn)動(dòng)方程.文獻(xiàn)［4-5］研究了非線性恢復(fù)力矩及其線性化解法，使非線性恢復(fù)力矩的處理較為成熟.Eissam等［6］討論了非線性橫搖運(yùn)動(dòng)的解析解和數(shù)值解.但是，在基于勢流理論建立的線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程中，精確計(jì)入非線性橫搖阻尼十分復(fù)雜，目前除了橫搖衰減試驗(yàn)方法［7］外，通常采用基于能量法［8］的等效線性化方法，得到近似經(jīng)驗(yàn)公式，如貝爾登法［9］、米勒法、駁船經(jīng)驗(yàn)公式法、臨界阻尼系數(shù)法［10］等，針對不同船型，各種修正方法的效果不盡相同.

本文在考慮非線性恢復(fù)力矩的基礎(chǔ)上，采用等效線性化方法確定非線性橫搖阻尼系數(shù)，并計(jì)入橫搖運(yùn)動(dòng)方程來修正船舶的橫搖運(yùn)動(dòng).另一方面，在求解運(yùn)動(dòng)方程后的波浪載荷計(jì)算中，如波浪扭矩，往往因?yàn)椴荒芎芎玫貙⒎蔷€性橫搖阻尼考慮進(jìn)去而影響計(jì)算結(jié)果.本文在波浪扭矩的計(jì)算中，提出了一種按濕表面積插值分配的方法，有效地在波浪扭矩的計(jì)算中考慮了非線性橫搖阻尼的影響.

1 非線性橫搖阻尼

1.1 等效線性化原理

非線性橫搖阻尼力矩與橫搖運(yùn)動(dòng)的高次方有關(guān)，通常取平方阻尼規(guī)律函數(shù)表達(dá)式［11］:

相應(yīng)的橫搖運(yùn)動(dòng)方程為

首先令φ=φmsin(nφt).平方阻尼力矩在一個(gè)周期內(nèi)所作的功為

可見等效線性化得阻尼系數(shù)與橫搖角的幅值呈正比，知道了平方阻尼系數(shù)后，可用式(5)求得.通常，平方阻尼系數(shù)B可用經(jīng)驗(yàn)公式近似.

1.2 橫搖阻尼系數(shù)近似公式

1)貝爾登公式.

這種方法是從平方阻尼公式轉(zhuǎn)化而來的，等效線性阻尼表達(dá)式為

式中:η4a為橫搖運(yùn)動(dòng)幅值;ωe為遭遇圓頻率;L、B為垂線間船長、型寬;k為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，根據(jù)船型特征確定.

2)米勒法.

米勒等根據(jù)軍艦?zāi)Ｐ偷撵o水橫搖衰減曲線分析整理，給出平方阻尼的無因次等效線性阻尼系數(shù)與船主尺度，舭龍骨長度以及航速相關(guān)的近似式:

其中:

式中:hx為橫穩(wěn)心高，Cb為方形系數(shù)，Rb、lb、Ab為舭龍骨參數(shù).

3)駁船經(jīng)驗(yàn)公式法.

駁船經(jīng)驗(yàn)公式適用于船體型線較為方整的船舶，其等效線性化的阻尼表達(dá)式為

其中:

4)臨界阻尼系數(shù)修正法.

等效線性化的阻尼表達(dá)式:

式中:Bcoef為臨界阻尼修正系數(shù)，通常取0.05;I11為船舶繞縱軸慣性矩;A44為橫搖附加質(zhì)量.

此外，等效線性化得阻尼系數(shù)與橫搖運(yùn)動(dòng)幅值有關(guān)，所以求解橫搖運(yùn)動(dòng)的過程是一個(gè)迭代計(jì)算的過程，由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)計(jì)算.

2 橫搖運(yùn)動(dòng)修正

根據(jù)三維勢流理論，船舶在波浪中運(yùn)動(dòng)時(shí)的總的運(yùn)動(dòng)方程為

式中:M為船舶質(zhì)量矩陣;C為靜恢復(fù)力矩陣;η(t)為船舶6自由度運(yùn)動(dòng)列向量;f(t)為波浪干擾力，為波浪主干擾力和波浪繞射力之和.波浪輻射力:

式中，A為附加質(zhì)量矩陣，B為阻尼系數(shù)矩陣，且

式中，φj(x，y，z)為單位輻射勢，在定解條件下運(yùn)用源匯分布法［12］求解.

針對橫搖運(yùn)動(dòng)，需要對阻尼系數(shù)矩陣中的B44項(xiàng)進(jìn)行非線性阻尼修正，具體方法是用上述等效線性化后的阻尼系數(shù)代替線性阻尼系數(shù)，求解橫搖運(yùn)動(dòng)方程.

本文根據(jù)船舶在波浪中橫搖的劇烈程度選取4種不同標(biāo)準(zhǔn)船型:散貨船、大型浮吊船、集裝箱船和Wigley船型.運(yùn)用上述原理和非線性橫搖阻尼系數(shù)近似公式，基于三維線性運(yùn)動(dòng)與波浪載荷計(jì)算程序計(jì)算其橫搖運(yùn)動(dòng)的幅頻響應(yīng)，從而反映各種近似公式對不同船型的修正效果，計(jì)算采用1 m和6 m波幅，波浪頻率范圍 0.1 ～1.8 rad/s，間隔 0.1 rad/s，浪向角取艏斜浪60°.圖1為計(jì)算船舶水動(dòng)力模型，表1為計(jì)算船舶的主要船型參數(shù).

圖1 船舶水動(dòng)力計(jì)算模型Fig.1 Hydrodynamic model of the ship

表1 船型參數(shù)Table 1 Principal dimensions of the ship

計(jì)算結(jié)果如圖2～5，其中橫搖運(yùn)動(dòng)幅值響應(yīng)經(jīng)過無因次化處理:

分析圖2～5可得:

1)由于考慮了非線線橫搖阻尼，運(yùn)用等效線性化方法進(jìn)行橫搖運(yùn)動(dòng)修正后，橫搖幅值有所下降，且不同經(jīng)驗(yàn)公式下的修正程度不盡相同.

2)當(dāng)波幅是1 m時(shí)，由于橫搖幅度較小，非線性現(xiàn)象不明顯，基本體現(xiàn)不出非線性修正效果，但隨著波幅的增加，非線性修正效果體現(xiàn)得十分明顯，各種修正公式之間差距較大，橫搖幅值也隨著波幅的增加呈非線性增長.

3)針對所選4種標(biāo)準(zhǔn)船型，各個(gè)橫搖非線性阻尼系數(shù)近似經(jīng)驗(yàn)公式的修正效果不同，其中臨界阻尼系數(shù)法和貝爾登法對各船的橫搖運(yùn)動(dòng)修正程度較小，米勒法修正效果較明顯.

4)通過與試驗(yàn)值的比較可以發(fā)現(xiàn)，集裝箱船采用以舭龍骨原理的米勒法修正效果最好，Wigley船型采用駁船經(jīng)驗(yàn)公式和米勒法有較好的修正效果.對于散貨船和大型浮吊船，米勒法的修正效果最為顯著，幅值的變化最大，更能體現(xiàn)橫搖非線性效應(yīng)，但由于缺少試驗(yàn)數(shù)據(jù)，其工程適用性有待進(jìn)一步研究.

圖2 不同波幅下散貨船橫搖運(yùn)動(dòng)響應(yīng)Fig.2 Roll response of bulk carrier at different wave am plitudes

圖3 不同波幅下浮吊船橫搖運(yùn)動(dòng)響應(yīng)Fig.3 Roll response of floating crane at different wave amplitudes

圖4 不同波幅下集裝箱船橫搖運(yùn)動(dòng)響應(yīng)Fig.4 Roll response of container ship at different wave am plitudes

圖5 不同波幅下Wigley船橫搖運(yùn)動(dòng)響應(yīng)Fig.5 Roll response of Wigley at different wave amp litudes

3 波浪扭矩修正

3.1 問題描述

根據(jù)求得的船舶在規(guī)則波中的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)態(tài)解ηj(j=1，2，...，6)和速度勢采用線性化的的伯努利方程，并計(jì)入靜水壓力變化部分的貢獻(xiàn)，得到總的脈動(dòng)壓力:

式中:

根據(jù)達(dá)朗伯原理，作用于部分長度船體上的真實(shí)流體載荷與剛體慣性力載荷相平衡，可得船體剖面載荷:

圖6 修正前不同頻率和浪向下的扭矩分布Fig.6 Distribution of torque at different wave frequencies

扭矩的計(jì)算涉及到船體表面脈動(dòng)壓力的積分和橫搖運(yùn)動(dòng)，上一步在求解橫搖運(yùn)動(dòng)時(shí)，對運(yùn)動(dòng)方程中的阻尼系數(shù)B44進(jìn)行了非線性修正，但是脈動(dòng)壓力的求解還是根據(jù)線性化理論求得，并未考慮橫搖非線性的影響，如式(11)所示，線性化的阻尼系數(shù)與式中的輻射勢相對應(yīng).因此，扭矩的求解會(huì)因?yàn)橹豢紤]了運(yùn)動(dòng)單一方面的非線性橫搖修正使方程不封閉，導(dǎo)致扭矩沿船長的分布在船艏處發(fā)散.

為了形象地反映該問題，用上述方法計(jì)算了某大型浮吊船的扭矩分布，計(jì)算時(shí)使用米勒法經(jīng)驗(yàn)公式來近似非線性橫搖阻尼，取斜浪和橫浪狀態(tài)，3 m波幅，選取波浪圓頻率 ω =0.2，0.6 rad/s，結(jié)果如圖6所示，其中扭矩采用無因次形式，可見扭矩在船艏處有明顯的發(fā)散.

3.2 修正方法

為了解決上述扭矩發(fā)散的問題，從微觀和宏觀2個(gè)角度分析:

1)微觀角度.為了使船體表面脈動(dòng)壓力考慮非線性橫搖的影響，本質(zhì)上需要從速度勢入手，基于線性假設(shè)的速度勢定解條件中需考慮非線性橫搖的作用，使得這個(gè)問題變得非常復(fù)雜.此外，不考慮速度勢的修正，直接從修正脈動(dòng)壓力入手，使脈動(dòng)壓力計(jì)入阻尼力矩的影響，需要調(diào)整每個(gè)面元上的脈動(dòng)壓力，但工作量較大且容易出錯(cuò).

2)宏觀角度.由于脈動(dòng)壓力未計(jì)入非線性橫搖阻尼的影響，致使扭矩在船艏發(fā)散.既然對每個(gè)面元的脈動(dòng)壓力修正存在困難，可以采用整體修正的方法，即在各個(gè)剖面的扭矩計(jì)算結(jié)果中直接計(jì)入非線性橫搖阻尼力矩的修正.

通過分析采用宏觀修正方法比較合理.應(yīng)用等效線性化的橫搖阻尼系數(shù)和線性阻尼系數(shù)B44計(jì)算出全船受到的橫搖阻尼力矩中的非線性部分

如何正確地將橫搖阻尼力矩的非線性部分分配到各個(gè)剖面是修正的關(guān)鍵.本文認(rèn)為每個(gè)面元受到的非線性橫搖阻尼與其面積有關(guān)，因此在宏觀上，可以根據(jù)濕表面積的大小來分配每個(gè)剖面受到的橫搖阻尼力矩.剖面離船尾越遠(yuǎn)，所占的濕表面積越大，則分配到的阻尼力矩也就越大.因此，在這里采用的濕表面積插值分配法，即按照各個(gè)剖面到船尾所占濕表面積的比例大小分配非線性橫搖阻尼力矩，從而在波浪扭矩的計(jì)算中考慮了非線性橫搖阻尼的影響.

3.3 結(jié)果驗(yàn)證

對于濕表面積插值法原理，本文通過上述大型浮吊船來驗(yàn)證.計(jì)算時(shí)取浪向角60°和90°，3 m 波幅，選取波浪圓頻率 ω =0.2，0.6，1.2 rad/s.計(jì)算結(jié)果見圖7.從圖中可以看到，經(jīng)過上述方法修正后，扭矩在船艏不再出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，接近封閉，且并沒有對其在其他位置的分布造成太大影響，從而有效地在波浪扭矩計(jì)算中考慮了非線性橫搖阻尼的影響.

圖7 修正后不同頻率和浪向下的扭矩分布Fig.7 The distribution of torque at differentwave frequencies and wave headings after correction

4 結(jié)論

本文基于三維線性勢流理論對船舶在波浪中的橫搖運(yùn)動(dòng)和受到的波浪扭矩進(jìn)行了全面的橫搖非線性修正，得到以下結(jié)論:

1)采用等效線性化方法計(jì)算得到的非線性橫搖阻尼系數(shù)可以有效地反映橫搖非線性效應(yīng)，將其運(yùn)用在運(yùn)動(dòng)方程中，可以更加真實(shí)準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)船舶的橫搖運(yùn)動(dòng).本文計(jì)算得到了各種非線性橫搖阻尼選取方法對橫搖運(yùn)動(dòng)的影響，為多種船型的橫搖運(yùn)動(dòng)計(jì)算提供了工程指導(dǎo)意見.

2)本文提出的濕表面積插值法，可以在船舶運(yùn)動(dòng)求解后的扭矩計(jì)算中有效地計(jì)入非線性橫搖阻尼的影響，解決了由于非線性橫搖阻尼在運(yùn)動(dòng)和波浪載荷計(jì)算時(shí)的不統(tǒng)一而造成的波浪扭矩不封閉問題，使橫搖的非線性效應(yīng)在船舶運(yùn)動(dòng)和波浪載荷預(yù)報(bào)中得到完整地體現(xiàn).

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