玩轉三角板——中考復習研討“K字型全等到相似”的遐想
2013-10-26 00:57:04
中學教研(數(shù)學) 2013年7期
●
(柯城區(qū)石梁鎮(zhèn)中學 浙江衢州 324000)
玩轉三角板——中考復習研討“K字型全等到相似”的遐想
●余利英
(柯城區(qū)石梁鎮(zhèn)中學 浙江衢州 324000)
圖1
浙教版八年級教材《數(shù)學》上冊有一道習題如下：
題目如圖1，AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，P是BD上一點，且AP=PC，AP⊥PC,則△ABP≌△PDC，請說明理由.
2013年1月，浙江省衢州市的中考復習研討課“一組直角三角形”以該題為起點，逐步展開并揭示出問題的基本圖形—K字型基本圖形.在中考第一輪復習課中，教師應從課本習題出發(fā)，讓學生明白在中考復習中不能脫離課本，要重視課本中的例題和習題，并進行適當?shù)淖兪酵卣?，以提高復習功?
縱觀歷年中考，試題中出現(xiàn)的基本模型常與全等三角形、相似三角形、函數(shù)等知識相結合.這類試題能很好地考查學生分析、探究問題的能力，因而備受命題者的青睞，常將其設計成填空、選擇、解答題.筆者從自身的教學經(jīng)驗出發(fā)，對這類問題進行了以下思考.
1 加強動手操作，構建基本模型
K字型全等三角形基本圖形構成的條件是3組相等的角，1組相等的對應邊，最終是引領學生得到的是其余2組對應邊相等.條件與結論都非常簡單，關鍵是如何讓學生從復雜的題目背景下抽象出這類基本模型.因為學生都備有三角板、直尺等學具，這道課本習題可以用三角板來演示，讓學生在動手操作中發(fā)現(xiàn)、并解決問題.操作學具既可以把抽象的知識變成眼前形象的幾何圖形，又可以很好地發(fā)展學生的思維能力，讓學生深切感受到這個基本模型原來就在自己的手上.
例1如圖2，把45°三角板直角頂點始終放在直尺的邊上，如果轉動這個三角板，哪些角的大小發(fā)生變化？這些變化的角之間是否存在等量關系？如果存在，請指出并說明理由.
設計意圖學生直接動手操作，轉動三角板，容易發(fā)現(xiàn)頂點C處的2個銳角大小改變，但始終保持互余的關系.發(fā)現(xiàn)并理解這一結論，為后面證明K字型全等奠定了堅實的基礎.
圖2 圖3
例2如圖3，當45°的直角三角板的直角頂點在直尺邊上時，如果過直角三角板的斜邊的2個端點向直尺邊所在的直線作垂線段，當轉動三角板時，圖3中有哪些線段的長度發(fā)生變化？在這些長度發(fā)生變化的線段中是否存在長度相等的線段？如果存在，請指出并說明理由.
設計意圖發(fā)現(xiàn)圖1中互余的2個角，為在長度發(fā)生變化的線段中尋找相等線段提供了方向，因為它們是K字型全等三角形的對應角.而說明理由的過程，就是對K字型全等三角形的一個認識過程.
揭示課題K字型全等三角形，從中抽象出K字型基本圖形(橫向的英文字母K)，如圖4所示.
圖4 圖5
2 K字型全等
2.1 K字型全等圖形的識記
條件如圖5，∠AEC=∠ACB=∠BFC=90°,且這3個直角都在同一直線上；AC=BC.
結論△ACE≌△BCF，從而EC=BF，AE=CF.
練習1如圖6，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的頂點在相互平行的3條直線l1，l2，l3上，且l1和l2之間的距離為2，l2和l3之間的距離為3，則AC的長是______，點B到邊AC的距離是______.
(2009年浙江省麗水市數(shù)學中考試題)
圖6 圖7
設計意圖如圖7，因為∠ABC的直角頂點B在直線l3上，所以過點A,C向直線l3作垂線段，即可構造K字型全等基本圖形，從而得到△ADB≌△EBC,故DB=CE=5,再利用勾股定理，問題得以解決.
2.2 K字型全等基本圖形的變式
(1)變式1：中間的等腰直角三角形變換為正方形，如圖8所示.
圖8 圖9
練習2如圖9，直線l上有3個正方形a,b,c，若a,c的面積分別是5和11，則b的面積是______.
(2007年江蘇省連云港市數(shù)學中考試題)
設計意圖K字型基本圖形處于中間位置的三角形可以是等腰直角三角形，也可以是正方形，它們的作用都是為2側直角三角形全等提供了直角和一組相等的斜邊.因此只要具備同一直線上的3個直角及一組相等的對應邊，就能得到K字型全等基本圖形.可見，從中找到K字型全等三角形是解答此題的關鍵.
(2)變式2：置K字型全等基本圖形于直角坐標系中.
分析雖然∠ACB的直角頂點C在直線CN上，直接過點A,B向CN作垂線段構成K字型全等的基本圖形(如圖11)，不利于求點B的坐標.若先過點C作直線CL平行于x軸，再過點A,B作直線CL的垂線段(如圖12)，構成K字型基本圖形，對應邊AK=CL,KC=BL，則與點A,B,C的坐標聯(lián)系起來.又已知點A,B的坐標，構造如圖12所示的K字型全等圖形，很容易求出第3個頂點C的坐標.
圖10 圖11 圖12
設計意圖把K字型基本圖形放置于直角坐標系中，已知等腰直角三角形2個頂點的坐標，就可以求出第3個頂點的坐標.值得注意的是一線3個直角中的“一線”盡可能是水平線或豎直線，這樣構建K字型全等圖形后，聯(lián)合三角形的頂點坐標，列方程求解即可.
練習題3如圖13，已知在矩形ABCO中，O為坐標原點，點B的坐標為(8，6)，點A,C分別在坐標軸上，P是線段BC上的動點.設PC=m,點D在第一象限，且是直線y=2x+6，y=2x-6中某條直線上的一點.若△APD為等腰直角三角形，則點D的坐標為______.
(2010年浙江省義烏市數(shù)學中考試題)
圖13 圖14 圖15
設計意圖如圖14，∠DAP的直角頂點A在直線AD上，點A同時也在y軸上，為了方便求點D坐標，把“一線”選擇為y軸，即過點D,P做y軸的垂線段，構成K字型全等基本圖形.如圖15，當點D在直線y=2x-6上時，選擇過點D1的水平線l1來做為基本圖形中的“一線”，構造K字型基本圖形.通過此題多種情況的討論，運用多種不同方法的構造K字型全等三角形，進一步增強學生構造K字型全等圖形在綜合題中的應用.
3 K字型相似
3.1 一線3個直角
如圖16，將含30°角的直角三角板的直角頂點C落在直尺的邊上，旋轉三角板，并保證直角頂點C在直尺邊上，在轉動的過程中，直角頂點C的左、右2側互余的那對銳角還存在嗎？
如果從斜邊的2個端點A,B向直尺的邊所在的直線作垂線段，是否還存在一對相等的斜邊？所構成的Rt△AEC與Rt△BFC還全等嗎？如果不全等，它們又是什么關系？
圖16 圖17
如圖17，通過旋轉另一塊直角三角形，即只提供3個直角，削弱了斜邊對應相等的條件，從而由K字型全等自然的過渡到K字型相似的基本圖形.
條件∠AEC=∠ACB=∠BCF= 90°，且3個直角都在同一直線上.
小型緊湊化是高功率脈沖驅動源的一個重要發(fā)展方向[1-4]，能夠產(chǎn)生近似方波脈沖的Marx發(fā)生器受到了廣泛關注[5-8]。一般將傳統(tǒng)Marx發(fā)生器中的電容器改為脈沖形成網(wǎng)絡，可使發(fā)生器輸出近似方波脈沖，再將各級脈沖形成網(wǎng)絡以Marx發(fā)生器的形式進行疊加，即可達到增加輸出功率、大幅減小脈沖驅動源體積的目的。
練習4如圖18，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO為矩形，點B的坐標為(8，4)，把△OBC沿著對角線OB翻折，求點C的對應點C′的坐標.
圖18 圖19
解得
3.2 一線3個等角
如圖20，如果把直角三角板45°角的頂點C放在直尺的邊上，轉動三角板，并保證45°角的頂點C始終在直尺邊上，請問∠ACB左、右2側的2個角之和是多少？在三角板轉動的過程中，這個值是否會發(fā)生變化？
圖20 圖21
如圖21，2塊等腰直角三角板疊放，使得點D,C,E都在直尺邊上，∠FDC,∠ACB∠GEC這3個角在大小上有什么關系？△FDC與△GEC有什么關系？
分析有了前面的鋪墊，學生不難發(fā)現(xiàn)由∠GCE=∠DFC，∠FDC=∠GEC，得△FDC∽△GEC.
請學生整理圖21中的條件、結論(寫成已知、求證的形式)及相應的證明過程.
條件∠FDC=∠FCG=∠GEC=45°，且這3個角的頂點在同一直線上.
思考如果把這同一直線上的3個角換成60°或30°，那么還能得到如上的K字型相似三角形嗎？如果換成其他銳角呢？
若教師只是停留在實踐的層面，而未能引導學生在頭腦中建構起相應的數(shù)學對象的心理表征，則很難發(fā)展真正的數(shù)學思維.因此，在動手操作過程中，相對于具體的實物操作活動，教師更應強調(diào)“操作活動的內(nèi)化”，用操作活化、深化學生的數(shù)學思考，引領學生發(fā)現(xiàn)一般性的數(shù)學規(guī)律，才能真正發(fā)揮實踐的價值.
練習5如圖22，在等邊△ABC中，D為BC上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，則△ABC的邊長為______.
(2010年遼寧省沈陽市數(shù)學中考試題)
此題在等邊三角形的背景下滿足“一線：BC，3個等角：∠ABD=∠ADE=∠EDC=60°”，得到△BAD∽△CDE.學生運用相似性質(zhì)進行推理和計算不難得出結果.
圖22 圖23
練習6如圖23，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，D是BC上一個動點(不與點B,C重合)，在AC上取點E，使∠ADE=45°.
(1)求證：△ABD∽△DCE；
(2)設BD=x，CE=y，求y關于x的函數(shù)關系式；
(3)當x為何值時，△ADE是等腰三角形？
(2005年湖南省岳陽市數(shù)學中考試題)
此題的3個小題各有特點，卻又緊密相聯(lián)：第(1)小題學生只要能識別“一線：BC,3個等角：∠ABD=∠ADE=∠ECD=45°”,得到△BAD∽△CDE的K字型相似即可；第(2)小題與第(1)小題緊密相聯(lián)，運用第(1)小題中的對應邊成比例即可解決；第(3)小題的關鍵是分類討論，要考慮等腰的幾種不同情況.
設計意圖在實際操作中，學生容易將三角板的其他頂點放在直尺的邊上，很自然地從直角遷移到45°，30°，60°的情形，繼而推廣到更一般角的情形，體現(xiàn)了特殊到一般的數(shù)學思想.通過類比探究，把K字型基本圖形由全等推廣到相似,再到普通相似.
4 辨別真?zhèn)?/h2>
在課本中利用相似三角形測量樹高的例子中，雖然最后也能抽取出如圖24所示的英文字母K，但是通過與K字型相似基本圖形的比較，發(fā)現(xiàn)兩者的構成條件不同，結論也不同.
練習7圖25是小明設計用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖，點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處.已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB=1.2 m，BP=1.8 m，PD=12 m，那么該古城墻的高度是______m.
(2008年浙江省金華市數(shù)學中考試題)
圖24 圖25
與測量樹高相似，只是一對相等的直角，一對相等的銳角，邊的對應是平行對應.
思考這個相似圖形與前面我們說的K字型相似有什么異同點呢？
共同點：△ABP∽△CDP都處在直線BD的同側.
設計意圖此題意在讓學生進一步明確，K字型相似圖形中邊的對應性，與測量樹高、利用光的反射得到相似三角形邊的對應性不同.而這個測量樹高也來源于課本，與本節(jié)課的起點也來源于課本遙相呼應，再次引導學生挖掘課本例題和習題，玩好手中的學具，多思考、多探索問題的本質(zhì).
總之，教師在復習課中揭示一般性的規(guī)律時，不妨從學生的身邊實際出發(fā)，從學生熟悉的學具出發(fā)，從學生感興趣的游戲出發(fā)，讓實踐給枯燥的復習課注入鮮活的元素，把實踐與學生的思維活動、語言表達有機地結合起來，同時注重實踐的“內(nèi)化”，重視“動態(tài)”實踐后“靜態(tài)”的數(shù)學思考.尤其在數(shù)學教學中要把握學生動手實踐的契機，并由此延伸開來，既把握內(nèi)涵，又涵蓋外延，這樣才能保證實踐的效果，才能提高復習課教學的有效性.
猜你喜歡
小學生學習指導·中年級(2024年8期)2024-12-31 00:00:00
中學生數(shù)理化·中考版(2024年2期)2024-05-23 10:11:40
幼兒100(2023年35期)2023-09-22 07:28:38
中學生數(shù)理化·中考版(2018年10期)2018-12-07 00:44:44
小天使·六年級語數(shù)英綜合(2017年5期)2017-05-27 20:15:32
中學生數(shù)理化·七年級數(shù)學人教版(2017年1期)2017-03-25 20:22:54
新疆農(nóng)墾科技(2016年2期)2016-08-21 13:50:22
新疆農(nóng)墾科技(2016年2期)2016-08-21 13:50:18
中國機械工程(2015年13期)2015-12-16 12:25:40
青年文摘·上半月(1984年4期)1984-11-01 04:10:06
