例析高等數(shù)學(xué)背景下的高考數(shù)學(xué)試題*

龍憲軍，彭再云，龔高華

(1.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400067；2.重慶交通大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400074；3.重慶市綦江區(qū) 東溪中學(xué)，重慶 401434)

例析高等數(shù)學(xué)背景下的高考數(shù)學(xué)試題*

龍憲軍1，彭再云2，龔高華3

(1.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400067；2.重慶交通大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400074；
3.重慶市綦江區(qū) 東溪中學(xué)，重慶 401434)

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)理工科及部分文科專業(yè)開設(shè)的一門非常重要的基礎(chǔ)課程,它對培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、創(chuàng)新意識、解決實際問題的能力等基本素質(zhì)起著重要的作用；以近幾年出現(xiàn)的高考試題為例，探討高等數(shù)學(xué)中的有關(guān)知識在解題中的應(yīng)用.

高等數(shù)學(xué)；高考試題；背景

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)理工科及部分文科專業(yè)開設(shè)的一門非常重要的基礎(chǔ)課程, 它不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程的重要基礎(chǔ), 而且對培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、創(chuàng)新意識、解決實際問題的能力等基本素質(zhì)起著重要的作用.而初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)有著緊密的聯(lián)系.近年來，高考數(shù)學(xué)試卷中多次出現(xiàn)了以高等數(shù)學(xué)為背景的試題.這對高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新要求.此處就近幾年高考試題中出現(xiàn)的高等數(shù)學(xué)為背景的幾個問題加以分析，以便提高學(xué)生利用高等數(shù)學(xué)背景知識去解決初等數(shù)學(xué)的能力.

1 以零點定理為背景的試題

零點定理[1]設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(即f(a)·f(b)<0)，那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f(ξ)=0.

2 以導(dǎo)數(shù)為背景的試題

2.1 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值

(1) 若x∈(x0-δ,x0)時，f′(x)>0，而x∈(x0,x0+δ)時，f′(x)<0，則f(x)在x0處取得極大值.

(2) 若x∈(x0-δ,x0)時，f′(x)<0，而x∈(x0,x0+δ)時，f′(x)>0，則f(x)在x0處取得極小值.

例2 (2012年高考(陜西理))設(shè)函數(shù)f(x)=xex，則( )

2.2 利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線

評注此題考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線的斜率.

3 以定積分為背景的試題

評注此題考查有關(guān)多項式函數(shù)、三角函數(shù)定積分的計算.直接利用牛頓-萊布尼茲公式求解.

例5 (2012年高考(湖北理))已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則它與x軸所圍圖形的面積為( )

解根據(jù)圖像可得：y=f(x)-x2+1,再由定積分的幾何意義,可求得面積為

A.S1

4 結(jié)束語

由上述例題可以看出，以高等數(shù)學(xué)為背景的知識逐漸出現(xiàn)在高考試題中，這為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)增添了新的活力.同時，這也對中學(xué)教師提出了更高的要求，要不斷的加強高等數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，提高自身專業(yè)素養(yǎng).

[1] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)上下冊[M].6版.北京：高等教育出版社，2007

Analysis of Mathematical Questions for College Entrance Examination under the Background of Higher Mathematics

LONGXian-jun1,PENGZai-yun2,GONGGao-hua3

(1.School of Mathematics and Statistics, Chongqing Technology and Business University, Chongqing 400067, China；2. School of Science, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, China；3. Dongxi Middle School, Qijiang District of Chongqing, Chongqing 401434, China)

Higher mathematics is a very important basic course for the students majored in science and engineering and for some students majored in arts in colleges and universities, and plays an important role in cultivating the basic qualities of the students such as rational thinking, innovative consciousness, the ability to solve practical problems and so on.This paper discusses the application of some related knowledge in higher mathematics to answering the questions of college entrance examinations by taking the examples of the testing questions in college entrance examinations in recent years.

higher mathematics；college entrance examination question；background

1672-058X(2013)12-0031-03

2013-06-20；

2013-07-09.

國家自然科學(xué)基金(11001287)；重慶市教委教育改革項目(103146).

龍憲軍(1980-), 男, 重慶永川人, 副教授, 博士, 從事優(yōu)化理論及應(yīng)用、數(shù)學(xué)教育的研究.

G42

A

責(zé)任編輯：李翠薇