基于MATLAB的磁飽和式可控電抗器的仿真模型參數(shù)及過(guò)渡時(shí)間分析

田銘興，楊雪凇，顧生杰，原東昇

（蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

0 引言

可控電抗器在保證電網(wǎng)安全、可靠、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行方面具有重要應(yīng)用價(jià)值，對(duì)于超高壓長(zhǎng)距離輸電網(wǎng)尤其如此。文獻(xiàn)[1-2]是關(guān)于可控電抗器應(yīng)用研究方面較早的論文，指出在新建的電網(wǎng)中應(yīng)該廣泛使用可控電抗器。之后，可控電抗器的研究和應(yīng)用在國(guó)內(nèi)外得到了長(zhǎng)足發(fā)展[3-5]。可控電抗器種類較多[6-7]，其中，磁飽和式可控電抗器在我國(guó)研究成果較多，并得到了實(shí)際應(yīng)用[8-10]。

建模仿真方法和過(guò)渡時(shí)間計(jì)算是磁飽和式可控電抗器研究中值得關(guān)注的2個(gè)重要問(wèn)題。在建模仿真方法方面，目前有3種方法：一是以文獻(xiàn)[11-13]為代表的通過(guò)建立電抗器的微分方程并求解該微分方程的方法；二是文獻(xiàn)[9-10]提出的用磁路分解法建立電抗器的數(shù)學(xué)模型，并建立基于PSCAD/EMTDC的仿真模型的方法；三是以文獻(xiàn)[14-15]為代表的通過(guò)研究電抗器的等效物理模型、數(shù)學(xué)模型和等效電路，建立基于MATLAB的仿真模型的方法。較前2種方法，第3種方法具有避免或減輕自己編寫仿真計(jì)算程序的繁重工作和只關(guān)注電抗器的電氣特性而不使用電抗器結(jié)構(gòu)尺寸等參數(shù)方面的優(yōu)勢(shì)。但是，文獻(xiàn)[14-15]并未明確給出仿真模型參數(shù)和電抗器參數(shù)之間的定量關(guān)系，給這種思路的推廣使用帶來(lái)了不便。在過(guò)渡時(shí)間計(jì)算方面，文獻(xiàn)[11-12]明確給出了一個(gè)計(jì)算公式，但筆者在研究中發(fā)現(xiàn)該公式計(jì)算誤差較大。

本文擬在文獻(xiàn)[11，15]基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出基于MATLAB的磁飽和式可控電抗器仿真模型參數(shù)與電抗器參數(shù)之間的定量關(guān)系，明確仿真模型參數(shù)的設(shè)置方法，并給出一個(gè)過(guò)渡時(shí)間計(jì)算的改進(jìn)公式。

1 等效電路及參數(shù)計(jì)算

單相磁飽和式可控電抗器的結(jié)構(gòu)原理圖如圖1所示[14-15]。圖 1 中，繞組匝數(shù) NA=N1+N2；自耦比 δ=N2/NA；鐵芯1、2的等效磁路長(zhǎng)度均為l，等效磁路截面積均為A；uA為工作電壓；iA為工作電流；id為直流環(huán)流（控制電流）；φ1為鐵芯1的磁通；φ2為鐵芯2的磁通。NA匝繞組的電阻為RA，則N1匝繞組的電阻為（1-δ）RA，N2匝繞組的電阻為 δRA。

圖1 結(jié)構(gòu)原理圖Fig.1 Schematic diagram of structure

由文獻(xiàn)[15]可得電抗器等效電路如圖2所示。由圖2可得：

圖2 等效電路Fig.2 Equivalent circuit

式（2）中，自耦比 δ一般取 0.015～0.05[11]，所以可以近似認(rèn)為等效電路中的工作電流i1就是電抗器的實(shí)際工作電流iA，等效電路中的控制電流i2是實(shí)際控制電流（直流環(huán)流）id的2倍。式（3）中，α為晶閘管觸發(fā)角，α的0時(shí)刻為電壓u1的正向過(guò)零時(shí)刻，取值范圍為 0～π（滿載時(shí) α=0，空載時(shí) α=π）。

由圖1、2可以看出，原、副邊繞組額定電壓相等，且等于電抗器工作電壓的一半。同時(shí)由于2個(gè)變壓器原邊繞組電流相等且近似等于工作電流，所以圖2中2個(gè)變壓器的容量各是圖1電抗器容量的一半，即：

其中，UAN、IAN、SAN分別為電抗器額定工作電壓、額定工作電流和額定容量；Un、Sn分別為變壓器原、副邊額定電壓和額定容量。

由于變壓器空載電勢(shì)就是其額定電壓，且等于電抗器額定電壓的一半，所以得：

其中，fN為額定頻率（50 Hz）；ψs為鐵芯飽和磁鏈，ψs=ANABs，Bs為鐵芯飽和磁密。

本文分析中設(shè)鐵芯的磁化特性如式（6）所示（小斜率理想磁化曲線）：

式（6）轉(zhuǎn)化成磁鏈-電流關(guān)系時(shí)如式（7）所示：

其中，μ0為空氣磁導(dǎo)率；im為磁化電流。

圖2中，穩(wěn)態(tài)時(shí)，對(duì)于i2平均值I2而言，有：

式中等號(hào)右邊項(xiàng)為圖2中單相可控整流橋輸出平均電壓。

由文獻(xiàn)[11]可得：

其中，β為電抗器飽和度。

把式（9）代入式（8）可得：

當(dāng) α=0 時(shí)，β=βn，βn為額定飽和度。如果 βn=2π，則由式（10）可得：

由式（11）可得：

把式（5）、（12）代入式（7）可得：

由文獻(xiàn)[11]可得工作電流基波幅值為：

把式（11）代入式（14）可得：

當(dāng)β=βn時(shí)，由式（15）可得工作電流基波幅值最大值為：

由式（16）可以看出，工作電流最大值只取決于UAN、δ、RA，額定容量也一樣，如式（17）所示：

由式（17）可得：

自耦比 δ一般取 0.015～0.05[11]，所以，在設(shè)計(jì)電抗器時(shí)，電抗器額定容量SAN、額定電壓UAN、繞組電阻 RA應(yīng)滿足式（19）：

由式（17）可以看出，電抗器額定容量、額定電壓、繞組電阻、自耦比之間具有約束關(guān)系。如果額定容量和額定電壓給定，自耦比和繞組電阻之間必須滿足式（17）的約束關(guān)系。如果自耦比不能滿足式（17），就有可能出現(xiàn)文獻(xiàn)[16]指出的電抗器不能工作的現(xiàn)象。這一結(jié)論對(duì)于設(shè)計(jì)電抗器具有指導(dǎo)意義。

2 仿真模型的建立及舉例

2.1 仿真模型的建立

根據(jù)圖2可建立基于MATLAB的仿真模型。在建立仿真模型時(shí)，最主要的是飽和變壓器模型參數(shù)的確定。在MATLAB/SimPowerSystem中，飽和變壓器模型中需要指定變壓器的額定容量Sn、額定頻率fn、原（副）邊繞組的額定電壓 Un1（Un2）、原（副）邊繞組的繞組電阻R1（R2）和原（副）邊繞組的繞組漏感L1（L2）、鐵芯的磁化特性（磁化電流和磁鏈的關(guān)系曲線，由離散點(diǎn)描述）、鐵芯有功損耗電阻Rm。這些參數(shù)中，除了 Sn、 fn、Un1（Un2）是國(guó)際單位制（SI）單位以外，其余參數(shù)可以是國(guó)際單位制單位，也可以是標(biāo)幺值。

當(dāng)給定滿足式（19）的電抗器額定容量SAN、額定電壓 UAN、額定頻率 fN、繞組電阻 RA時(shí)，可由式（4）算得MATLAB中變壓器模型的額定功率和額定電壓，其額定頻率就是電抗器的額定頻率。由式（18）算出δ后，由式（13）可以算出磁化特性，此時(shí)，磁化電流可由式（16）或給定。若用標(biāo)幺值表示磁化特性，則根據(jù)MATLAB/SimPowerSystem中飽和變壓器模型參數(shù)基值定義方法可計(jì)算得：

注意，當(dāng)忽略變壓器模型中原、副邊繞組的繞組電阻和漏感時(shí)，變壓器模型的原、副邊繞組電阻、電感可以設(shè)定為0，但是在這種情況下，MATLAB/SimPowerSystem希望把原、副邊繞組電阻設(shè)定為足夠小的非零數(shù)，如10-10Ω；也可以把圖2中的電阻RA移到變壓器模型中而作為變壓器的原、副邊電阻（每個(gè)變壓器的原、副邊電阻均為RA/2）。當(dāng)忽略鐵芯有功損耗時(shí)，變壓器模型中的電阻Rm可以設(shè)置為足夠大的數(shù)，如1010Ω。

由以上分析可以看出，在建立圖2的MATLAB/SimPowerSystem仿真模型時(shí)，用標(biāo)幺值表示變壓器的磁化特性特別方便，因?yàn)榇藭r(shí)磁化特性由式（20）給定，不隨電抗器的不同而變化。所以，當(dāng)給定滿足式（19）的電抗器額定容量SAN、額定電壓UAN、額定頻率fN、繞組電阻RA時(shí)，就可以建立圖2的MATLAB/SimPowerSystem仿真模型，從而對(duì)圖1所示電抗器進(jìn)行仿真，而無(wú)需知道電抗器的幾何尺寸等其他參數(shù)。

2.2 仿真舉例

電抗器參數(shù)：額定容量SAN=60.044 MV·A；額定電壓；額定頻率fN=50 Hz；繞組電阻 RA=40 Ω。由式（17）算得 IAN=208 A；由式（18）算得 δ=0.0474。

仿真時(shí)，電抗器在0 s時(shí)刻由空載突變到滿載。工作電流i1和控制電流瞬時(shí)值i2波形如圖3所示；鐵芯1的磁鏈ψ1和鐵芯2的磁鏈ψ2及其平均值ψa1、ψa2波形如圖4所示；工作電流i1的基波幅值Im1和控制電流i2的平均值I2，以及工作電流等于0條件下控制電流平均值I20波形如圖5所示。

由圖3—5可知，仿真結(jié)果正確反映了電抗器工作過(guò)程，所以仿真模型是有效的。

圖3 工作電流i1和控制電流i2瞬時(shí)值波形Fig.3 Transient waveforms of i1and i2

圖4 磁鏈波形Fig.4 Waveforms of magnetic linkage

圖5 電流平均值波形Fig.5 Waveforms of average current

3 過(guò)渡時(shí)間計(jì)算

文獻(xiàn)[11]給出的過(guò)渡時(shí)間計(jì)算公式為：

用式（21）可算出空載到滿載的過(guò)渡時(shí)間為0.2009 s。由圖5可知，在0.2009 s時(shí)過(guò)渡過(guò)程遠(yuǎn)未結(jié)束，所以根據(jù)式（21）計(jì)算由空載到滿載的過(guò)渡時(shí)間誤差較大。

磁飽和式可控電抗器是一個(gè)非線性系統(tǒng)，對(duì)其過(guò)渡時(shí)間的計(jì)算較為復(fù)雜[17]。但從圖5可以看出，可用工作電流等于0條件下的控制電流（圖5中的I20）的過(guò)渡時(shí)間近似作為電抗器的過(guò)渡時(shí)間，此時(shí)，由圖2可得：

其中，ψd為直流磁鏈，即為ψ1的平均值。

根據(jù)式（13）所示的小斜率磁化特性，當(dāng)ψd＜ψs時(shí)，I20=0，則由式（22）可得：

當(dāng) ψd≥ψs時(shí)，，代入式（22）可得：

由式（22）得到式（23）和式（24）的實(shí)質(zhì)是對(duì)小斜率磁化特性的分段線性化。

由式（23）可得：

由式（26）可得ψd由0增加到ψs時(shí)所用時(shí)間為：

式（27）算得的t1即為圖5中電流I20等于0時(shí)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間。

另外，式（24）說(shuō)明，在工作電流等于0條件下，平均電流I20的建立過(guò)程等效于直流電壓通過(guò)電阻對(duì)電感的充電過(guò)程，即為線性RL電路的充電過(guò)程，其充電時(shí)間常數(shù)為：

式（28）算得的τ 即為圖5中電流I20按指數(shù)規(guī)律上升的時(shí)間常數(shù)。

工程中一般認(rèn)為，線性RL電路充電開始后經(jīng)3τ ～5τ 充電過(guò)渡過(guò)程就基本結(jié)束。所以，電抗器由空載到滿載的過(guò)渡時(shí)間為：

由式（29）可算得由空載到滿載的過(guò)渡時(shí)間為0.4018～0.6027 s。對(duì)照?qǐng)D 5可知，式（29）是比較準(zhǔn)確的。

4 結(jié)論

a.基于MATLAB的磁飽和式可控電抗器仿真模型參數(shù)只與電抗器額定容量、額定電壓、自耦比、繞組電阻和漏電感、磁化特性有關(guān)，而與電抗器幾何尺寸無(wú)關(guān)。在一定近似條件下（如忽略繞組漏電感，小斜率磁化特性用標(biāo)幺值表示）時(shí)，只要給定電抗器額定容量、額定電壓、繞組電阻和自耦比就可以對(duì)電抗器進(jìn)行仿真分析。

b.電抗器額定容量、額定電壓、繞組電阻、自耦比之間具有定量約束關(guān)系。這一結(jié)論對(duì)于設(shè)計(jì)磁飽和式可控電抗器具有指導(dǎo)意義。

c.通過(guò)對(duì)小斜率磁化特性的分段線性化，把過(guò)渡過(guò)程分為直流磁鏈的線性增加和控制電流根據(jù)線性RL電路充電規(guī)律變化這2個(gè)過(guò)程，所得過(guò)渡時(shí)間計(jì)算公式比較準(zhǔn)確。