雙腔室空氣彈簧的實(shí)驗(yàn)建模

武文山，周振華，金建新

(華中科技大學(xué)數(shù)字制造與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室湖北武漢430074)

0 引言

隨著超精密測(cè)量和制造技術(shù)的發(fā)展，由于精度的不斷提高對(duì)環(huán)境振動(dòng)的要求越來(lái)越嚴(yán)格［1］，隔振系統(tǒng)已經(jīng)成為超精密測(cè)量和制造設(shè)備必要的一部分。對(duì)于隔振系統(tǒng)的低剛度、高衰減率的要求也越來(lái)越嚴(yán)格［2］。

超精密隔振系統(tǒng)的關(guān)鍵部分是空氣彈簧，相比其它機(jī)械式和橡膠式的隔振器，空氣彈簧的優(yōu)點(diǎn)是利用空氣的可壓縮性實(shí)現(xiàn)以較小的剛度支撐起較大載荷。雙腔室空氣彈簧因?yàn)榫哂休^低剛度和良好的阻尼特性的優(yōu)點(diǎn)，而廣泛應(yīng)用在各種隔振系統(tǒng)中［3］。

圖1所示為雙腔室空氣彈簧隔振器的原理圖，其基本結(jié)構(gòu)為通過(guò)一個(gè)節(jié)流孔連通上下兩個(gè)腔室?？諝鈴椈傻纳戏接梢粋€(gè)剛性的活塞來(lái)支撐載荷(包括隔振平臺(tái)和精密設(shè)備)，活塞和上腔室壁之間通過(guò)安裝橡膠密封膜來(lái)防止空氣泄漏。

圖1 雙腔室空氣彈簧隔振器原理圖

為了使空氣彈簧隔振系統(tǒng)達(dá)到更優(yōu)越的性能，結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化和主動(dòng)控制是兩種有效的方法［4-6］，而這兩種方法的應(yīng)用都需要事先獲得空氣彈簧的精確數(shù)學(xué)模型。Shearer通過(guò)考慮腔室的熱力學(xué)過(guò)程得到了空氣彈簧的非線性模型［7］，Harris和Debra在活塞小位移運(yùn)動(dòng)的條件下推導(dǎo)出了線性模型［8，9］，但是其理論模型與實(shí)際測(cè)試數(shù)據(jù)之間存在較大差異。本文在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上分析差異存在的原因，將密封膜的影響考慮在模型內(nèi)，并通過(guò)參數(shù)識(shí)別得到改進(jìn)模型的傳遞函數(shù)。

1 空氣彈簧的理論模型

要獲得空氣彈簧的理論模型，就是要建立輸出量(活塞板的運(yùn)動(dòng)xp)對(duì)輸入量(地面擾動(dòng)xbase、干擾力Fd)的傳遞函數(shù)表達(dá)式。

雙腔室空氣彈簧在工作時(shí)，可認(rèn)為活塞在其靜態(tài)平衡位置附近作微幅運(yùn)動(dòng)。微幅運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)力引起上腔室中空氣質(zhì)量(mt)、壓力(Pt)、體積(Vt)、溫度(Tt)、節(jié)流孔中氣流(mtb)，以及下腔室空氣質(zhì)量(mb)、壓力(Pb)和溫度(Tb)的變化，各變化量如圖2所示。由于這一過(guò)程速度非?？?，可近似視為絕熱過(guò)程。根據(jù)能量交換可作出以下推導(dǎo)。

圖2 變量示意圖

1.1 腔室空氣質(zhì)量的變化

對(duì)于上腔室，使用開(kāi)口系統(tǒng)的能量方程［10］：

其中，dQ為系統(tǒng)吸收(放出)的熱量，對(duì)于絕熱過(guò)程dQ=0;dW為系統(tǒng)所作的膨脹功，在小位移條件下有dW=P0dVt;dU為熱力系自身能量的變化，其表達(dá)式如下：

dH在此處為空氣流入節(jié)流孔引起上腔室焓的變化，因此有：dH=dmtCpTtI，其中TtI為節(jié)流孔在上腔室入口處的溫度;e0和det分別代表初始內(nèi)能和內(nèi)能的變化量;Cp和Cv分別為等壓比熱容和等容比熱容;將式(2)、式(3)及dW、dH的表達(dá)式代入式(1)中，得到：

根據(jù)shearer的理論，在小位移情況下，節(jié)流孔中的溫度變化可以忽略不計(jì)，故有TtI=T0。將腔室中的氣體假設(shè)為理想氣體，因此有：

由式(5)和(6)，得到腔室中空氣的質(zhì)量、體積、壓力和溫度之間的變化關(guān)系式(7)，將式(7)代入式(6)中，得到式(8)。

其中，κ為比熱比κ=Cp/Cv。對(duì)于下腔室，類(lèi)似地有：

1.2 節(jié)流孔中的質(zhì)量流速

對(duì)于節(jié)流孔，設(shè)經(jīng)過(guò)氣管進(jìn)入到下腔室的流量為Qb，節(jié)流孔中的質(zhì)量流速為，則有下述關(guān)系：

根據(jù)細(xì)長(zhǎng)孔(l/d＞4)的壓力流量特性：

q=pd4Δp/(128 ml)，得到：

其中，Cr為流量系數(shù)，Cr=pd4/(128 ml)，μ為空氣粘度。

1.3 傳遞函數(shù)

對(duì)活塞，應(yīng)用牛頓第二定律，得到：

其中，mp為活塞和載荷的質(zhì)量;Fd為施加到活塞上的干擾力;Ap為活塞的有效面積;vp為活塞的運(yùn)動(dòng)速度;Patm為外界大氣壓;Vt為上腔室的體積，其表達(dá)式為：

將式(11)代入式(10a)，再代入式(8)，并將式(13)代入式(8)得到：

由于活塞可視為在靜態(tài)工作點(diǎn)附近做小幅運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)幅值范圍為0～20 μm，故可以將其線性化：

同理，將式(11)代入式(10b)，再代入式(9)，得到：

由式(12)可得：

對(duì)方程式(15)、式(16)、式(17)進(jìn)行拉普拉斯變換，可得：

聯(lián)立式(18)、式(19)、式(20)三式，可得傳遞函數(shù)：

其中：

2 模型檢測(cè)實(shí)驗(yàn)與分析

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及結(jié)果

一個(gè)可使用的數(shù)學(xué)模型需要能夠精確地預(yù)測(cè)系統(tǒng)的特性，為了檢測(cè)空氣彈簧理論模型的有效性，將理論傳遞函數(shù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。

圖3為實(shí)驗(yàn)裝置簡(jiǎn)圖，其包括空氣彈簧、音圈電機(jī)、傳感器、數(shù)據(jù)采集器及PC主機(jī)。使用NI測(cè)控系統(tǒng)控制音圈電機(jī)對(duì)空氣彈簧的活塞板進(jìn)行激勵(lì)，由動(dòng)態(tài)力傳感器獲得激振力信號(hào)，速度傳感器獲得空氣彈簧的速度響應(yīng)(速度傳感器安裝在活塞板上)，傳感器采集到的信號(hào)經(jīng)過(guò)調(diào)理后進(jìn)入LMS數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，然后由軟件進(jìn)行頻譜分析得到響應(yīng)速度對(duì)激振力的實(shí)測(cè)傳遞函數(shù)。

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置圖

實(shí)驗(yàn)采集的輸出量為活塞板的速度，其對(duì)激振力的理論傳遞函數(shù)可由式(21)經(jīng)變換得到：

實(shí)驗(yàn)測(cè)得傳遞函數(shù)與理論傳遞函數(shù)的對(duì)比如圖4所示。可以看到，共振峰出現(xiàn)的位置及峰值的大小均存在較大的偏差。理論傳遞函數(shù)中，系統(tǒng)的共振頻率為1.76 Hz，而實(shí)測(cè)曲線表明共振頻率為2.64 Hz。

圖4 實(shí)測(cè)傳遞函數(shù)與理論模型對(duì)比

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

理論傳遞函數(shù)和實(shí)測(cè)曲線之間共振頻率和共振峰存在偏差，表明理論模型對(duì)系統(tǒng)實(shí)際剛度和阻尼的預(yù)測(cè)不準(zhǔn)確。在理論模型中，系統(tǒng)的剛度主要由空氣彈簧腔室的尺寸和載荷大小決定，阻尼主要由節(jié)流孔的尺寸決定。在圖3所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，以上相關(guān)尺寸都是確定已知的。在建模過(guò)程中，唯一沒(méi)有考慮的元件是橡膠密封膜，因此需要重新考慮其對(duì)系統(tǒng)剛度和阻尼的影響，進(jìn)而對(duì)模型進(jìn)行修正。

密封膜的材料為中間加入一層滌綸布的丁腈橡膠，由于橡膠結(jié)構(gòu)件可能引入非線性影響，因此需要進(jìn)一步探究密封膜對(duì)空氣彈簧的影響是否與激振條件有關(guān)(激振的幅值、頻率等)。文獻(xiàn)［4］的研究表明節(jié)流孔具有非線性的特性，因此為了消除節(jié)流孔的影響，設(shè)計(jì)了圖5所示的單腔室實(shí)驗(yàn)。圖5(a)為空氣彈簧的單腔室裝置圖(去掉節(jié)流孔，將上下腔室打通)，圖5(b)為逐漸增加激振力的幅值大小(從0.02到0.14)測(cè)得的一系列傳遞函數(shù)?？梢钥吹?，在激振幅值變化時(shí)，傳遞函數(shù)曲線基本上是重合的。因此可以得出結(jié)論，在該實(shí)驗(yàn)條件下，密封膜的剛度和阻尼可視為常值。

圖5 單腔室實(shí)驗(yàn)

3 空氣彈簧的改進(jìn)模型

3.1 改進(jìn)模型的提出

根據(jù)第2節(jié)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析，將密封膜的模型簡(jiǎn)化為彈簧(Km)、粘性阻尼(Cm)與結(jié)構(gòu)阻尼(Cd)的組合。對(duì)于結(jié)構(gòu)阻尼，其應(yīng)力－應(yīng)變曲線為一個(gè)滯后回線。此回線所圍的面積表示一個(gè)循環(huán)中單位體積的材料所消耗的能量，這部分能量以熱能的形式耗散掉，從而對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)產(chǎn)生阻尼。材料阻力在一個(gè)周期內(nèi)所消耗的能量ΔEs與振幅的平方成正比，而在相當(dāng)大的范圍內(nèi)與振動(dòng)頻率無(wú)關(guān)［11］，即有：

在小振幅的條件下(＜20 μm)，這部分的影響可以忽略不計(jì)，因此密封膜對(duì)模型的影響可以等效為彈簧(Km)加粘性阻尼(Cm)，如圖6所示。

圖6 考慮密封膜的模型

在考慮密封膜的影響后，活塞板的動(dòng)力學(xué)方程為：

對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換可得：

聯(lián)立求解式(18)、式(19)、式(22)，可得修正后的傳遞函數(shù)為式(23)，其中Km，Cm為未知參數(shù)，可通過(guò)參數(shù)識(shí)別確定具體值。

其中：

3.2 參數(shù)擬合

由于理論模型中，節(jié)流孔的流量系數(shù)Cr為經(jīng)驗(yàn)公式，因此在參數(shù)識(shí)別中，將Cr作為未知參數(shù)處理。

參數(shù)擬合采用麥夸特算法，即阻尼因子法，其基本思想是在高斯－牛頓算法中得到的矩陣A中加一項(xiàng)阻尼因子，其收斂性優(yōu)于高斯－牛頓法，在計(jì)算初值較差的情況下仍較易收斂。使用1stOpt軟件編制相應(yīng)程序進(jìn)行參數(shù)擬合，表1為軟件運(yùn)算收斂后各優(yōu)化評(píng)價(jià)參數(shù)的值。

表1 參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

最終得出Km和Cm的最佳估算值為：

將最佳估算值代入到式(23)中得到改進(jìn)模型的傳遞函數(shù)，將其與理論模型及實(shí)測(cè)曲線進(jìn)行對(duì)比，如圖7所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，在考慮了密封膜結(jié)構(gòu)的影響之后，與理論模型相比，改進(jìn)模型更接近實(shí)測(cè)曲線。其中在共振峰附近改進(jìn)模型與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)有較高的擬合度，而在較低頻段及較高頻段，改進(jìn)模型仍不能較好地吻合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。其中一個(gè)重要原因是節(jié)流孔的阻尼特性尚未有成熟的理論公式，文獻(xiàn)［4］研究了節(jié)流孔的開(kāi)口大小對(duì)阻尼的影響，而該實(shí)驗(yàn)結(jié)果也可作為進(jìn)一步研究節(jié)流孔阻尼機(jī)制的參考。

圖7 改進(jìn)模型與理論模型對(duì)比

4 結(jié)論

雙腔室空氣彈簧理論模型與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)之間存在較大的差距，本文在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上分析了橡膠密封膜對(duì)空氣彈簧模型的影響，通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，將密封膜簡(jiǎn)化為一個(gè)彈簧和一個(gè)阻尼并聯(lián)。將密封膜的剛度和阻尼作為未知參數(shù)建立新的模型，通過(guò)參數(shù)優(yōu)化得到未知參數(shù)的值，改進(jìn)模型與原有模型的對(duì)比表明了改進(jìn)模型的有效性。由于節(jié)流孔的阻尼機(jī)制尚未清晰，因此本模型具有一定的局限性。

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