小微企業(yè)兩期借貸模型及多期拓展與客觀概率研究

張 迪，徐海峰

（武漢大學 經(jīng)濟與管理學院，武漢 430071）

0 引言

隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展，小微企業(yè)的重要性日趨明顯。據(jù)統(tǒng)計，小微企業(yè)數(shù)目占到全國企業(yè)總數(shù)的99%，但這個為全國提供了85%就業(yè)崗位的小微企業(yè)卻面臨著嚴重融資困境。本文針對于小微企業(yè)資金需求急、數(shù)量小、周期短的特點，提出了兩期借貸模型。在此模型中，貸款方，即金融機構將分兩期把資金投放給企業(yè)。由于小微企業(yè)資金需求數(shù)量并不大，所以單期的貸款足以使其完成一個完整周期的生產(chǎn)。故把資金分割并沒有影響到小微企業(yè)的正常生產(chǎn)。而貸款方可以根據(jù)情況，選擇第二個周期是否將錢貸給企業(yè)。

1 模型框架

首先考慮最基本的情形，構造一個兩期離散模型：融資初期在T0。企業(yè)從貸款方獲得數(shù)量為K的資金。借貸一期的利率為R。企業(yè)經(jīng)過第一個周期的生產(chǎn)運營，到達T1，并向貸款方匯報經(jīng)營狀況；T1時，企業(yè)有可能再次從貸款方獲得資金K，并經(jīng)過第二個周期的生產(chǎn)運營，到達T2。每次貸款的應償本息均為K(1+R)。

以下是本模型的假設：

1.1 基本假設

假設1:兩期之間時間隔的較短，因此為了簡便，假設不用貼現(xiàn)。

假設2:小微企業(yè)盈利狀態(tài)分為“高收益”和“低收益”兩種，分別記為SH、SL，其發(fā)生的客觀概率為P和1－P。P值的大小由小微企業(yè)自身的經(jīng)營和市場的綜合情況決定，貸款方無法完全了解，只有通過估計。

假設3:該模型中借貸雙方均為風險中性。

表面上看起來假設3偏離了風險規(guī)避的一般假設，但其實是符合現(xiàn)實情形的。一方面，對于小微企業(yè)來說，為了本身的發(fā)展，能夠獲得資金是最為重要的；另外一方面，貸款方受到政策導向等外生因素的制約。

如圖1所示。

圖1

1.2 小微企業(yè)

有了上述基本假設后，下面開始描述企業(yè)生產(chǎn)的框架，我們再添加一些假設。

假設4：無論是高收益還是低收益，企業(yè)的收入函數(shù)是規(guī)模遞減的。

例1：由假設4，我們可以采用最簡單的Cobb-Douglas函數(shù)來模擬。

其中，i=G，B；0＜α＜1。

若在T0或T1時，小微企業(yè)成功從貸款方獲得了K的資金，開始了一個周期的生產(chǎn)運營。那么根據(jù)假設2，下一個時期將出現(xiàn)兩種狀態(tài)。若狀態(tài)為SH，企業(yè)可以獲得MG的收入；若狀態(tài)為SL，企業(yè)可以獲得MB的收入。

為了方便分析企業(yè)和貸款方的收支狀況，我們做出另外一個可以接受的假設。

假設5：若企業(yè)處于SH，則有能力償清貸款；若企業(yè)處于SL，則無力償清貸款；若企業(yè)在兩期中至少一次處于SH，亦有能力償清貸款。數(shù)學表達式為MG＞K（1+R），MB＜K（1+R），MG+MB＞2K（1+R）。

口頭上，表達等價于企業(yè)除非經(jīng)營條件持續(xù)惡化，否則總能盈利。我們可以限定例1中的相關參數(shù)使其滿足假設5。

1.3 貸款方

考慮貸款方時，我們又添加了新的假設。

假設6：對于貸款方而言，企業(yè)抵押物價值為0。并且，忽略機會成本的影響。

根據(jù)基本假設，T0時貸款方綜合小微企業(yè)各方面的因素，貸款K給企業(yè)；T1時，貸款方有權獲知企業(yè)的經(jīng)營狀況。若企業(yè)處于SH，則貸款方將再貸款K給企業(yè)。若企業(yè)處于SL，則貸款方有兩個選擇：

（1）終止合同，不再將剩余款項貸出，并沒收小微企業(yè)的所得。

（2）繼續(xù)給企業(yè)貸款K，使其進入第二個周期的生產(chǎn)。

2 收益分析

2.1 小微企業(yè)

首先，讓我們討論在不同的情形下小微企業(yè)的收益分析。

情形1：企業(yè)在T1時處于SH，則將肯定獲得第二次貸款K。故在T2時，若企業(yè)仍處于SH，則最終收益為2MG－2K（1+R）；

情形2：企業(yè)在T1時處于SH，在T2時處于SL，則最終收益為MG+MB－2K（1+R）；

情形3：企業(yè)在T1時處于SL，若貸款方終止合同，企業(yè)最終收益為0；

情形4：企業(yè)在T1時處于SL，若貸款方繼續(xù)提供貸款，則企業(yè)進入第二個周期的生產(chǎn)，若在T2時，若企業(yè)處于SH，則最終收益為MG+MB－2K（1+R）；

情形5：企業(yè)在T1時處于SL，若貸款方繼續(xù)提供貸款，若在T2時，若企業(yè)仍處于SL，則最終收益為0。

2.2 貸款方

進而，我們可以分析在上述五種情形下，貸款方的收益情況。

情形1、情形2、情形4：貸款方最后都將收到應得的利息，故收益為2KR；

情形3：貸款方提前終止合同，其損失為K－MB；情形5：貸款方連續(xù)損失兩期，其和為2K－2MB。

3 與單期模型的比較

直覺上，由于我們將資金分為了兩期，貸款方的風險因而降低了。但事實上是否如此呢？因此，我們將上述的兩期模型與單期模型比較，由此得出兩期模型的優(yōu)越性。

單期模型下，貸款方直接將2K的資金貸給小微企業(yè)，假定小微企業(yè)用所有的資金進行一個周期的生產(chǎn)。那么企業(yè)如果處于SH，可以獲得MH的收入。由規(guī)模遞減的假設，可知 MG＜MH＜2MG；如果處于SL可以獲得ML的收入，同理，ML＜2MB。而兩種情況下，企業(yè)所需償還的本息仍然是2K（1+R）。故在第一種情況下，小微企業(yè)可以償清貸款，而在第二種情況下，則無力償還貸款。

給定客觀概率P，計算借貸雙方的期望收益：

企業(yè)：E1=P·（MH－2K（1+R））+（1－P）·0=P·（MH－2K（1+R））

貸款方：R1=P·2KR+（1－P）·（ML－2K）

由于在T1時，貸款方有兩種選擇，使得模型的分析變得困難，所以不妨對兩種選擇分別進行分析。

3.1 在T1時，若企業(yè)處于SL，貸款方選擇終止合同

在這種假設下，會出現(xiàn)情形1、情形2、情形3，概率分別為P2，P·（1－P）和（1－P）。此時借貸雙方的期望收益分別為

顯然，因為ML＜2MB＜ MB+K，即ML－2K ＜ MB－K，我們有R2＞R1。故無論P值大小，貸款方的收益都明顯提升。再考慮企業(yè)，用E2減去E1，并化簡，可得

由于不知道MB與MH的大小關系，（1）式的正負不能夠確定。但是注意到，當P趨于1的時候，（1）式趨于2MG－MH，也就意味著，當P足夠大時，企業(yè)的收益也會得到提升。事實上，只有當P足夠大的時候，貸款方才愿意將資金貸給企業(yè)。所以，在很大程度上，企業(yè)的狀況也會變好。

3.2 在T1時，無論企業(yè)表現(xiàn)如何，貸款方選擇繼續(xù)貸款

在這種假設下，會出現(xiàn)情形1、情形2、情形4、情形5，概率分別為P2，P·（1－P），P·（1－P）和（1－P）2。此時借貸雙方的期望收益為

顯然，E3＞E2＞E1?？陬^上，與3.1節(jié)中的情況相比，對于T1時處于SH的小微企業(yè)來講收益沒有變化，但對于T1時處于SL的企業(yè)，他們?nèi)杂袡C會在T2時盈利，故收益肯定上升了。

下面比較R3和R2。用R3減去R2，得

由于P2＜P，故第一項大于0；第二項，仍然由于P的不確定性，正負無法確定。但一旦P≥1/2，（1－P）（1－2P）（MB－K）≥0，故R3＞R2＞R1。

綜上所述，對于滿足一定條件的P值，兩期模型顯示出了不凡的優(yōu)越性，無論對于小微企業(yè)還是對于貸款方，狀況都得到了改善。值得注意的是，第一個周期企業(yè)表現(xiàn)不好時，若貸款方選擇繼續(xù)支持其發(fā)展，收益狀況可能優(yōu)于終止合同。

4 由兩期到多期的拓展

從上述部分可以看出，將資金分割為兩期可以有效地提升借貸雙方的利益。將資金分割，是順應小微企業(yè)貸款數(shù)量小、需求急的特點。那么如果企業(yè)需求的資金量足夠小，使得資金可以分割成更多期，又會使借貸雙方的收益發(fā)生什么變化呢？

考慮貸款總額為KA的資金，將其分為n期，即KA=nK，假設企業(yè)的收入函數(shù)已知，分別為

下面仍然從兩個方面來考慮多期時借貸雙方的收益情況。

（1）在Tj（j=1，2，…）時，若企業(yè)處于SL，貸款方選擇終止合同，如圖2所示。

企業(yè)的期望收益為

圖2

由于只要企業(yè)出現(xiàn)第一次SL，借貸方就會撤資，故只有當企業(yè)第一期就出現(xiàn)SL時，借貸方才會出現(xiàn)虧損。則貸款方的期望收益為

將En和Rn表達式中的MG和MB用K的表達式寫出來，并用KA/n代替所有的K。給定不同的P，分別用Matlab或其他數(shù)學軟件求En或Rn關于n的導數(shù)，可以得到最佳的n值。若要使雙方的利潤最大化，就對En與Rn的和關于n求導。

（2）在Tj（j=1，2，…）時，無論企業(yè)表現(xiàn)如何，貸款方選擇繼續(xù)貸款，如圖3。

假設n期中，企業(yè)有至少一半以上的時期處于SH,企業(yè)就可以還清貸款。為了公式的簡潔，考慮取整函數(shù)m=[（n+1）/2]，則當企業(yè)處于SH的時期≥m，企業(yè)可以還清貸款，同樣意味著金融機構也可以獲利。企業(yè)的期望收益為

圖3

使用和4.1節(jié)同樣的方法，即可得到最佳的n。

對于不同類型的企業(yè)，我們有不同的概率估計P。而根據(jù)不同的P值，我們進而找出了最佳的n，即將資金分割為幾期是最佳方案?？傊?，小微企業(yè)可以更加容易地得到貸款，而貸款方也能通過這種方式最大化自己的投資利潤。

5 客觀概率P的估計

從上述計算可以看出，客觀概率P的大小，很大程度上決定了借貸雙方的贏利情況。那么，如何正確估計P，是一個很重要的工作。直覺上，市場越好，小微企業(yè)安全性越大，信用評級越高，E（P）就會越高。因此對P的估計很大程度上是與信用評價制度和銀行的風險管理體系相聯(lián)系的。

考慮一個經(jīng)過技術處理的線性計量模型:

其中，Xi（i=1,2,…,K）是一系列與小微企業(yè)能否成功運營相關的重要參數(shù)，其中包括特定市場的整體狀況，企業(yè)的信用評價指標等等。我們可以通過這些比較容易獲得數(shù)據(jù)的變量來衡量P值的大小。

在這些變量中，除了考慮到商業(yè)銀行普遍關注的因素——基本素質、償債能力、營運能力和盈利能力以外，還要考慮到小微企業(yè)的特色指標，如成長能力、創(chuàng)新能力、市場空間等等。

以下列出了部分應該考量的小微企業(yè)特色指標：

（1）成長能力:銷售增長率、利潤增長率、資本積累率；

（2）創(chuàng)新能力:研發(fā)投入比例、技術或設備先進度、研發(fā)人員比例；

（3）市場空間:營銷狀況，市場預期，產(chǎn)品認證情況，市場評價。

針對不同的市場，我們可以通過收集不同類型小微企業(yè)在獲得貸款后的運營狀況來作為P的估計量。通過計量回歸和相關性檢驗，來得到βi（i=0，1，…,K）的值。今后只需輸入相關變量的數(shù)值，我們就可以有效地估計P值的大小，從而確定是否采取兩期模型或多期模型；并確定若采用兩期模型，在企業(yè)效益不好時，是否終止合同。

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