基于二階攝動理論的不確定系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析方法

馬 靜，彭明法，王 彤，楊奇遜

（華北電力大學(xué) 新能源電力系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102206）

0 引言

隨著電網(wǎng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大及運(yùn)行方式的靈活多變，電力系統(tǒng)的低頻振蕩問題愈加突出[1-4]。目前，低頻振蕩分析方法主要分為軌跡分析法模型分析法。后者又可分為確定性模型法和不確定性模型法。長期以來，電力部門在規(guī)劃和運(yùn)行中都采用確定性模型法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，而忽略了網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?、模型、參?shù)和運(yùn)行工況等不確定因素的影響，為此，不確定性模型法通過建立不確定因素與狀態(tài)變量，以及狀態(tài)變量與特征根之間的關(guān)系，利用不確定性特征根反映不確定因素對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，更符合實(shí)際情況。不確定性模型法主要包括概率模型[5-6]和區(qū)間模型[7-8]2種。與概率模型相比，區(qū)間模型所需的統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)較少且易于獲取，目前，對該方法的研究主要集中在分析單一運(yùn)行參數(shù)的不確定性變化、區(qū)間限值處對應(yīng)的系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)、運(yùn)行參數(shù)微小波動情況下評估系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性等方面[9-10]。對如何解決多運(yùn)行參數(shù)波動較大情況下，連續(xù)描述區(qū)間內(nèi)及限值處對應(yīng)的系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)等問題亟待進(jìn)一步研究。

圍繞這些問題，本文提出了一種考慮多運(yùn)行參數(shù)不確定性的低頻振蕩分析方法。首先，建立不確定信息下獲取系統(tǒng)振蕩模式分布情況的復(fù)模態(tài)二階攝動模型，在此基礎(chǔ)上，連續(xù)描述運(yùn)行狀態(tài)在不確定變化區(qū)間內(nèi)振蕩模式阻尼比的變化軌跡。IEEE 16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的正確性和有效性。

1 基于二階攝動理論的小干擾穩(wěn)定分析原理

考慮區(qū)間不確定性的系統(tǒng)特征解問題可描述為：

由矩陣攝動理論[12-14]，式（2）的特征解可表示為：

其中，λi、φi分別為系統(tǒng)的特征值、右特征向量；λi0、φi0分別為系統(tǒng)確定性部分的特征值、右特征向量；λi1、λi2分別為特征值的一階和二階攝動值；φi1、φi2分別為右特征向量的一階和二階攝動值。

將式（3）、式（4）代入式（2），且忽略三階及三階以上無窮小量，可得：

左特征向量ψi與右特征向量φj經(jīng)過規(guī)范化后滿足下列關(guān)系式：

當(dāng) i=j時，δij=1，當(dāng) i≠j時，δij=0。

根據(jù)二項(xiàng)式原理，特征向量一階攝動值φi1和二階攝動值φi2可以通過確定性部分的右特征向量φi0表示：

其中，n為狀態(tài)矩陣的階數(shù)。

將式（11）代入式（6），式（12）代入式（7），且式（6）與式（7）兩邊同時左乘ψTi0，再根據(jù)左右特征向量的正交性可得：

當(dāng)i=j時，可得特征值的一階攝動值和二階攝動值：

將式（15）和式（16）代入式（3），可計(jì)算出系統(tǒng)參數(shù)變化后的特征值二階近似值：

2 應(yīng)用算例

以IEEE 16機(jī)68節(jié)點(diǎn)[15]的新英格蘭—紐約互聯(lián)系統(tǒng)為例，如圖1所示，該系統(tǒng)可分為五大區(qū)域。發(fā)電機(jī)采用六階詳細(xì)模型，勵磁采用IEEE-DC1型勵磁，負(fù)荷模型采用WECC負(fù)荷模型，有功負(fù)荷中包含80%的恒有功負(fù)荷，20%的電動機(jī)負(fù)荷，無功負(fù)荷中包含80%的恒無功阻抗負(fù)荷，20%的電動機(jī)負(fù)荷。矩陣A的具體形成詳見軟件Power System Toolbox，系統(tǒng)在區(qū)間中值處的低頻振蕩主導(dǎo)模式見表1。利用MATLAB 7.6.0進(jìn)行攝動分析。

考慮系統(tǒng)運(yùn)行方式和結(jié)構(gòu)參數(shù)的區(qū)間不確定性，其中系統(tǒng)運(yùn)行方式的不確定性以16機(jī)機(jī)端電壓UG16和有功功率PG16，以及37節(jié)點(diǎn)負(fù)荷的有功功率PL為例進(jìn)行分析；而系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性則采用15機(jī)的慣性時間常數(shù)M15和暫態(tài)電抗x′d15進(jìn)行考察。不確定性區(qū)間分布均為其中值的±20%。計(jì)算結(jié)果表明，平均每次攝動所需的時間為0.03s，而利用QR計(jì)算方法的時間為0.04s，并且隨著矩陣維數(shù)的上升，利用攝動方法計(jì)算特征值的效率越高。

圖1 IEEE 16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)接線圖Fig.1 Connection diagram of IEEE 16-generator 68-bus system

表1 低頻振蕩主導(dǎo)模式Tab.1 Dominant mode of low-frequency oscillation

2.1 考慮系統(tǒng)運(yùn)行方式不確定性的阻尼比區(qū)間分布

系統(tǒng)運(yùn)行方式在區(qū)間范圍內(nèi)變化時，相應(yīng)的區(qū)間振蕩模式阻尼比區(qū)間如表2所示，表中UG16、PG16、PL取值范圍分別為 0.8～1.2 p.u.、32～46MW、48～72MW。由表2可知，不確定參數(shù)UG16和PG16對模式1阻尼比的影響程度最大；對模式2阻尼比的影響程度次之；對模式3和模式4阻尼比的影響較小。PL對模式3阻尼比的影響程度最大，而對模式1、模式2以及模式4的阻尼比幾乎沒有影響。

表2 系統(tǒng)運(yùn)行方式不確定時阻尼比區(qū)間分布Tab.2 Interval of damping ratio under uncertainty of operation mode

考慮到模式1參與振蕩的機(jī)組最多，是典型的區(qū)間振蕩模式，因此本文以模式1為例，分析不同運(yùn)行方式在不確定區(qū)間內(nèi)變化時，其阻尼比的變化趨勢，如圖2—4所示，圖2中UG16為標(biāo)幺值，后同。

圖2 模式1阻尼比隨UG16變化曲線Fig.2 Damping ratio of mode 1 vs.UG16

圖3 模式1阻尼比隨PG16變化曲線Fig.3 Damping ratio of mode 1 vs.PG16

圖4 模式1阻尼比隨PL變化曲線Fig.4 Damping ratio of mode 1 vs.PL

由圖2—4可知，16機(jī)機(jī)端電壓升高時，模式1阻尼比急劇減小，當(dāng)減至最小值后又緩慢增加；16機(jī)有功增大時，模式1的阻尼比緩慢減小，在減至最小值后又迅速增加；37節(jié)點(diǎn)負(fù)荷有功增加時，模式1的阻尼比單調(diào)遞減，逐漸由正阻尼模式變?yōu)樨?fù)阻尼模式。

圖5 區(qū)間模式阻尼比隨UG16變化軌跡Fig.5 Damping ratio of inter-area mode vs.UG16

由上面分析可知，不同運(yùn)行參數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)變化時，對振蕩模式的阻尼比影響程度不同。為了更全面地描述不同模式阻尼比與系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的對應(yīng)關(guān)系，以UG16在不確定區(qū)間內(nèi)變化為例，分析各模式的阻尼比隨其變化規(guī)律。如圖5所示，模式1的阻尼比隨UG16的增大而迅速減小，當(dāng)減小至最小值后，又隨UG16的增大而逐漸增加；模式2的阻尼比與模式1變化規(guī)律相同；模式3的阻尼比隨UG16的增大而逐漸增加，但達(dá)到最大值后，又隨UG16的增加而逐漸減?。荒Ｊ?的阻尼比則隨著UG16的增大呈單調(diào)遞增的趨勢。同理，也可分析當(dāng)PG16、PL在不確定區(qū)間內(nèi)變化時，各模式的阻尼比隨其變化的曲線，本文不再贅述。

由圖2—5還可以看出，在運(yùn)行方式變化區(qū)間比較大的情況下，利用二階攝動理論得到的阻尼比變化曲線與真實(shí)阻尼比變化曲線極為接近，由此驗(yàn)證了本方法的準(zhǔn)確性和有效性。

2.2 考慮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的阻尼比區(qū)間分布

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)變化時，相應(yīng)的區(qū)間振蕩模式阻尼比區(qū)間如表3所示，表中M15、x′d15取值范圍分別為 240～360 s、0.00228～0.00342 p.u.。由表3可知，不確定參數(shù)M15對模式4的阻尼比影響程度最大，對模式1的阻尼比影響程度次之，對模式2和模式3的阻尼比幾乎無影響。同時，不確定參數(shù)x′d15對各模式的阻尼比幾乎無影響。

表3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定時區(qū)間阻尼比區(qū)間Tab.3 Interval of damping ratio of inter-area mode under uncertainty of system structural parameters

考慮到結(jié)構(gòu)參數(shù)M15和x′d15變化時，對模式4阻尼比的影響程度最大，因此本文以模式4為例，分析結(jié)構(gòu)參數(shù)在不確定區(qū)間內(nèi)變化時，其阻尼比的變化趨勢，如圖6、7所示，圖7中x′d15為標(biāo)幺值。由這2幅圖可知，當(dāng)M15增大時，模式4的阻尼比單調(diào)增加；但x′d15增大時，模式4的阻尼比雖然有增加的趨勢，但其增加程度甚小，幾乎可以忽略不計(jì)。

由以上分析可知，不同結(jié)構(gòu)參數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)變化時，對振蕩模式的阻尼比影響程度各異。為了更全面地揭示不同模式阻尼比與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)間的關(guān)系，以M15在不確定區(qū)間內(nèi)變化為例，分析各模式的阻尼比隨其變化規(guī)律。如圖8所示，模式1的阻尼比隨M15的增加而逐漸減小，模式2、3的阻尼比隨M15的增大幾乎不變化，而模式4的阻尼比則隨M15的增大而增大。同理，還可分析當(dāng)x′d15在不確定區(qū)間內(nèi)變化時，各模式的阻尼比隨其變化的曲線，在此不再詳述。

圖6 模式4阻尼比隨M15變化曲線Fig.6 Damping ratio of mode 4 vs.M15

圖7 模式4阻尼比隨x′d15變化曲線Fig.7 Damping ratio of mode 4 vs.x′d15

圖8 區(qū)間模式阻尼比隨M15變化軌跡Fig.8 Damping ratio of inter-area mode vs.M15

由圖6—8還可以看出，在結(jié)構(gòu)參數(shù)變化明顯的情況下，利用二階攝動理論得到的阻尼比變化曲線準(zhǔn)確度極高，符合真實(shí)情況，由此進(jìn)一步驗(yàn)證了本方法的有效性和可行性。

3 結(jié)論

本文提出一種基于二階攝動理論和區(qū)間模型分析低頻振蕩模式及其阻尼比的方法。首先，建立了不確定信息下獲取系統(tǒng)振蕩模式分布情況的復(fù)模態(tài)二階攝動模型。然后，連續(xù)描述運(yùn)行狀態(tài)在不確定變化區(qū)間內(nèi)，振蕩模式阻尼比的變化軌跡。IEEE 16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的仿真結(jié)果表明：一方面不同運(yùn)行參數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)變化時，對振蕩模式的阻尼比影響程度不同；另一方面，同一運(yùn)行參數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)變化時，對不同振蕩模式的阻尼比影響各異。同時，當(dāng)系統(tǒng)中不確定參數(shù)發(fā)生較大變化時，該方法仍能較準(zhǔn)確地評估系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定情況，并可為運(yùn)行人員提供更加全面的信息，以改善關(guān)鍵振蕩模式的阻尼。