關(guān)于探索與證明特殊四邊形定理的教學(xué)思考

陳雪芬

摘 要：學(xué)習(xí)定理是需要進(jìn)行探索、證明與運(yùn)用的。研究了在同一節(jié)課處理好三者關(guān)系、探索與證明在數(shù)學(xué)原理教學(xué)課中的作用和提高學(xué)習(xí)特殊四邊形定理效果的教學(xué)方法。

關(guān)鍵詞：探索證明；數(shù)學(xué)；特殊四邊形

新人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)四邊形單元，在初中學(xué)習(xí)中有著非常重要的地位。這個(gè)單元，定理教學(xué)是重點(diǎn)?！度罩屏x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)稿解讀》明確規(guī)定，要對(duì)特殊四邊形的定理進(jìn)行探索并證明?！稄V州市義務(wù)教育階段學(xué)科學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)》中也提出了評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)特殊四邊形定理的知識(shí)與技能要求是掌握，過(guò)程與方法的要求是要經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)（度量）、探究、證明的過(guò)程。所謂掌握，就是“在理解的基礎(chǔ)上，能直接把原理運(yùn)用于新的情境”。在教學(xué)實(shí)踐中，存在著一些誤區(qū)，如：重證明輕探究，重運(yùn)用輕證明，或長(zhǎng)篇累牘的探究與證明，獨(dú)缺運(yùn)用或輕運(yùn)用。在40分鐘內(nèi)，處理好探索、證明與運(yùn)用定理之間的關(guān)系是非常重要的。合理安排探索定理、證明定理和運(yùn)用定理的教學(xué)環(huán)節(jié)有利于提高課堂效率。研究探索與證明在數(shù)學(xué)原理教學(xué)課中的作用、探索與證明教學(xué)需注意的問(wèn)題，有著現(xiàn)實(shí)意義。

一、探索、證明在數(shù)學(xué)原理教學(xué)課中的作用

探究與證明定理的過(guò)程可以讓學(xué)生弄清楚知識(shí)的來(lái)龍去脈，這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)嚴(yán)密的定理體系是很有幫助的，是必不可少的，但

時(shí)間也不宜占據(jù)整節(jié)課。因?yàn)閷W(xué)生不是科學(xué)家，不是專門搞研究的，學(xué)生是要掌握知識(shí)的，要掌握知識(shí)就必須把定理運(yùn)用在新的情境中。數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的水平可以分成了解、理解、掌握和綜合運(yùn)用四種。對(duì)應(yīng)定理的學(xué)習(xí)、了解：能說(shuō)出定理的內(nèi)容；理解：明白定理的內(nèi)在含義；掌握：能把定理用在新的情境中；綜合運(yùn)用：能綜合運(yùn)用定理解決問(wèn)題。所以探究、證明、運(yùn)用三者必不可少。

二、探索過(guò)程及證明過(guò)程一般的處理方法

探索環(huán)節(jié)必不可少，但不是最重要的，探索環(huán)節(jié)的時(shí)間把握要合理。由于幾何定理的探索一般都是有難度的，所以教學(xué)設(shè)計(jì)要精心設(shè)計(jì)，一要吸引學(xué)生，讓學(xué)生感覺(jué)有趣味，二要讓學(xué)生容易探索，保證在預(yù)定時(shí)間完成探索過(guò)程，以免后面的學(xué)習(xí)內(nèi)容完成不了。三是探究的問(wèn)題量不要多。探索常用的方法有折疊法、畫圖法（尺規(guī)作圖）、逆命題引入法、度量法、觀察猜想法等。

探索出結(jié)論后，我們需要進(jìn)行嚴(yán)密的推理論證。對(duì)于命題的證明教學(xué)，要重點(diǎn)著力于證明的分析過(guò)程，規(guī)范書寫則要逐步要求，不斷修正。除了書寫，口述推理過(guò)程也是一種證明方式。

三、在教學(xué)實(shí)施過(guò)程中要注意的問(wèn)題

1.要注意引導(dǎo)學(xué)生在合理時(shí)間內(nèi)完成探索及證明過(guò)程

一般來(lái)說(shuō)，連續(xù)講課的時(shí)間不宜過(guò)長(zhǎng)。有數(shù)據(jù)表明，初中生的講述時(shí)間以10～20分鐘為宜。講述時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，容易誘發(fā)學(xué)生的不良行為。所以在進(jìn)行教學(xué)實(shí)施時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生在合理時(shí)間內(nèi)完成探索及證明過(guò)程。要做到這點(diǎn)一是要合理分配每節(jié)課探究、證明與運(yùn)用這三個(gè)環(huán)節(jié)的時(shí)間，二是課時(shí)內(nèi)容要符合學(xué)生實(shí)際情況。如：探索平行四邊形性質(zhì)，教材安排了兩個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)是探究平行四邊形的邊和角的性質(zhì)，第二課時(shí)是探究平行四邊形角平分線的性質(zhì)，這樣的安排比較合理。

如果三個(gè)性質(zhì)定理都安排在同一節(jié)課進(jìn)行探究的話，會(huì)難以兼顧探究、證明與運(yùn)用三個(gè)環(huán)節(jié)，這時(shí)候會(huì)產(chǎn)生兩種可能：一是沒(méi)有運(yùn)用環(huán)節(jié)或運(yùn)用環(huán)節(jié)過(guò)短，探索與證明的環(huán)節(jié)過(guò)長(zhǎng)整節(jié)課都在探索定理，課堂稍顯單調(diào)乏味，學(xué)生看不到學(xué)習(xí)的目的，難以調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性；二是有足夠時(shí)間運(yùn)用知識(shí)，但探究的深度可能會(huì)不足。這兩種可能都是不利于學(xué)生掌握知識(shí)的。

2.根據(jù)內(nèi)容選擇適合的探索方法

選擇適合的探索方法，可以精簡(jiǎn)教學(xué)環(huán)節(jié)，為后續(xù)的教學(xué)環(huán)節(jié)提供時(shí)間的保證。

（1）性質(zhì)定理探索過(guò)程的教學(xué)

采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行探究，如采用觀察猜想法或度量法，折

疊法等。

用觀察猜想法或度量法。①探究平行四邊形邊和角的性質(zhì)，問(wèn)1：根據(jù)平行四邊形的定義，平行四邊形的對(duì)邊有何位置關(guān)系？觀察圖形，平行四邊形的邊和角有什么數(shù)量關(guān)系？問(wèn)2：你能證明嗎？②探究平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)，用度量法。讓學(xué)生拿出課前做好的平行四邊形，畫出兩條對(duì)角線。問(wèn)：兩條對(duì)角線有什么關(guān)系？③探究矩形的性質(zhì)，用幾何畫板展示由平行四邊形變?yōu)榫匦蔚倪^(guò)程，提出猜想。問(wèn)：與平行四邊形相比，矩形邊、角、對(duì)角線有什么特殊性質(zhì)？

用折疊法。在探究菱形、正方形、梯形的性質(zhì)時(shí)均可用。如：探究梯形性質(zhì)，可讓學(xué)生拿出課前做好的等腰梯形。問(wèn)：等腰梯形是軸對(duì)稱圖形嗎？對(duì)稱軸在哪里？你能發(fā)現(xiàn)哪些相等的線段？有哪些相等的角？

（2）判定定理探索過(guò)程的教學(xué)

可用逆命題引入法、等價(jià)命題法等進(jìn)行探究。

用逆命題引入法，①探究平行四邊形的判定定理，問(wèn)：我們知道：平行四邊形對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分，反過(guò)來(lái)，對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形嗎？對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形嗎？對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？②探究梯形判定定理，問(wèn)：前面所學(xué)的特殊四邊形的判定方法很多都是性質(zhì)定理的逆命題。你能說(shuō)出“等腰梯形同一底邊上的兩個(gè)角相等”的逆命題嗎？這個(gè)逆命題正確嗎？

用等價(jià)命題法探究菱形的判定定理，先猜想等價(jià)命題，再用畫圖法（尺規(guī)作圖）驗(yàn)證。問(wèn)1：把“有一組鄰邊相等”的條件換掉，你有什么方法把一個(gè)平行四邊形變成菱形？問(wèn)2：把“平行四邊形”的條件也換掉，那具備什么樣條件的四邊形會(huì)是菱形？畫一個(gè)菱形，驗(yàn)證你的猜想。

（3）定理的證明過(guò)程要突出思想方法，關(guān)注學(xué)生思維的參與度

重定理證明的分析過(guò)程，緩書寫的規(guī)范要求。規(guī)范地書寫證明過(guò)程，是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，是逐步完善的，不是一蹴而就的。這樣說(shuō)，不是不要求規(guī)范書寫，而是不要把教學(xué)的重點(diǎn)放到這部分。不需要每個(gè)證明方法或每個(gè)定理的證明都書寫完整。

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，定理證明的教學(xué)要注重學(xué)生思維的深度參與。①進(jìn)行推理時(shí)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。②一題多法，培養(yǎng)思維的多樣性和靈活性?！斑€有別的證明方法嗎？”讓學(xué)生口述不同的證明方法，在交流中碰撞出思想的火花，不會(huì)的學(xué)生在聽(tīng)別人的方法的時(shí)候，能學(xué)到一些適合的方法，一法不會(huì)，可學(xué)他法。如：平行四邊形對(duì)角相等的性質(zhì)定理證明，常見(jiàn)方法有3種，可用全等三角形的知識(shí)來(lái)證明或用平行線的相關(guān)定理來(lái)證明。③分析思路，培養(yǎng)思維的連貫性?！坝蛇@個(gè)條件你能得出什么？”由一個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)想到另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。④滲透轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。如：定理平行四邊形對(duì)邊相等的證明分析，“我們學(xué)過(guò)的哪些方法可以證明線段相等？”（證三角形全等或證三角形為等腰三角形）“怎樣把平行四邊形變成三角形？如何作輔助線？”，又如，證明定理等腰梯形同一底邊上的兩個(gè)角相等，“我們學(xué)過(guò)有哪些方法可以證明角相等？”“怎樣把梯形變成平行四邊形和三角形？如何作輔助線？”這樣滲透轉(zhuǎn)化的思想，將未知轉(zhuǎn)化成已知，將新的內(nèi)容轉(zhuǎn)化成熟悉的知識(shí)。引導(dǎo)學(xué)生把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形問(wèn)題，梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形的問(wèn)題來(lái)解決。

探索和證明是很重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。教師只有根據(jù)學(xué)生和教材特點(diǎn)設(shè)計(jì)適合的探索和證明環(huán)節(jié)，并注意學(xué)生思維的深度參與，必能大大提高學(xué)生探索和證明命題的能力。

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（作者單位 廣東省廣州市越秀區(qū)礦泉中學(xué)）