分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散下的增額壽險

劉 敏，薛 紅，盧俊香

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，西安710048)

保險商業(yè)是金融體系的重要組成部分，其中利率是保險精算學(xué)研究的重點.傳統(tǒng)的精算理論假定利率是確定的.然而，在實際保險市場中，利率具有隨機(jī)性.隨著精算理論研究的不斷深入，利率隨機(jī)性的研究成果也在不斷完善.1971年J·H·Polland首次把利率視為變量，對精算函數(shù)進(jìn)行了研究;其后，Beekman 和 Fuelling［1-2］分別由 O-U 過程和Wiener過程對利息力建模，得到某些年金現(xiàn)值前二階矩;De Schepper，Goovaerts［3-4］得到了利息力由Wiener過程建模的某些年金的矩母函數(shù)，分布函數(shù)與 Laplace變換;何文炯，蔣慶榮［5］對隨機(jī)利率采用高斯過程建模，得到了一類即時給付的增額壽險給付現(xiàn)值的各階矩，并在死亡均勻分布假設(shè)下得到了具體的簡潔表達(dá)式;劉凌云，汪榮明［6］以即時給付的一類增額壽險為對象，考慮到突發(fā)時間對利率的影響，對隨機(jī)利率采用Gauss過程和Poisson過程聯(lián)合建模，給出即時給付的增額壽險給付現(xiàn)值的各階矩，并在一些特殊條件下給出矩的簡潔表達(dá)式;劉海芳，譚利，張立欣［7］考慮到不同性質(zhì)的信息對利率的影響，對利率的隨機(jī)性采用帶Poisson跳的反射Brown運動建模，給出了一次繳清凈保費、凈均衡年保費和連續(xù)繳費方式下責(zé)任準(zhǔn)備金的一般表達(dá)式.

考慮到利率的未來變化不僅與現(xiàn)在有關(guān)，而且與過去有關(guān)，用Brown運動和Poisson過程對利息力建立數(shù)學(xué)模型是不夠完善的.而分?jǐn)?shù)布朗運動具有長程依賴性恰好彌補(bǔ)了布朗運動的不足之處.吳曉蕊，薛紅，李軍［8］以綜合人壽保險模型為研究對象，改進(jìn)傳統(tǒng)的常值利率的壽險模型，利用分?jǐn)?shù)Brown運動和Poisson過程聯(lián)合對利息力建立數(shù)學(xué)模型，獲得了年金、終身壽險的精算現(xiàn)值公式.

本文采用分?jǐn)?shù)Brown運動和Poisson過程聯(lián)合對隨機(jī)利率建模，對增額壽險理論中的保費、年金及責(zé)任準(zhǔn)備金進(jìn)行研究，并給出相應(yīng)的表達(dá)式.

1 模型的建立

假定(x)表示年齡為x歲的人，T(x)表示(x)的剩余壽命，tPx表示(x)活到x+t歲的概率，μx+t表示(x)在x+t歲處的死亡力，則T(x)的概率密度函數(shù)為

現(xiàn)采用分?jǐn)?shù)Brown運動和Poisson過程聯(lián)合建模，設(shè)利息力積累函數(shù)為

其中:δ為利息力常數(shù)，β 和 γ 為參數(shù)，{BH(t)，t≥0}為分?jǐn)?shù)Brown運動，{N(t)，t≥0}為參數(shù)為λ的Poisson 過程，過程{BH(t)，t≥0}、{N(t)，t≥0}相互獨立.

引理1［6］{N(t)，t(≥0}為參數(shù)為 λ 的 Poisson 過程，則{N(t)，t≥0}有分布

且

引理2［8］{BH(t)，t≥0}為分?jǐn)?shù) Brown 運動，則其概率密度函數(shù)為

2 保費及年金的精算現(xiàn)值

考慮連續(xù)的n年期增額壽險，即保險期限為n年，若被保險人在n年末生存，則保險人不給付保險金;若被保險人在n年內(nèi)死亡，則保險人立即給付相應(yīng)的保險金.保險金為時間的函數(shù)，記為C(t)(t＞0)，此時增額壽險的給付現(xiàn)值函數(shù)可表示為

其中:V(t)=e-δt為貼現(xiàn)函數(shù).

定理1 n年期增額壽險躉繳純保費為

證明 根據(jù)精算現(xiàn)值的原理可知

特別的，當(dāng)β=0時，可得常利率下的躉繳純保費.

定理2若繳費期限為n年，當(dāng)(x)生存時，每年連續(xù)支付數(shù)額為1的年金，記aT為n年定期生存年則n年定期生存年金的精算現(xiàn)值為

證明 根據(jù)精算現(xiàn)值的原理可知

3 責(zé)任準(zhǔn)備金

假設(shè)x+s歲的剩余壽命隨機(jī)變量為ξ，則其概率密度分布為ξpx+sμx+s+ξ.當(dāng)0 ≤s ＜ n時，保險公司在時刻s時的未來損失為

則s時刻的責(zé)任準(zhǔn)備金為

特別的，當(dāng)β=0，γ=0時，可得常利率下的責(zé)任準(zhǔn)備金.

4 結(jié) 語

本文考慮了更為適合的隨機(jī)利率模型，采用分?jǐn)?shù)Brown 運動和Poisson 過程聯(lián)合建模，相應(yīng)的結(jié)論也更具有一般性，保險公司可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)有效地控制利率的隨機(jī)波動幅度，在一定程度上可以降低利率風(fēng)險的影響. 當(dāng)β = 0，γ = 0，λ = 0，那么δt = δt，即利息力為確定值. 本文中假設(shè)保險金C( t) ( t ＞ 0) 為時間的函數(shù)，其隨著的變化而變化.當(dāng)C( t) 取不同形式時，就得到不同壽險模型的相關(guān)結(jié)論.

參考文獻(xiàn):

［1］BEEKMAN J A，F(xiàn)UELING C P.Interest and mortality randomness in some annuities［J］.Insurance:Mathematics ＆Economics，1990，9:185-196.

［2］BEEKMAN J A，F(xiàn)UELING C P.Extra randomness in certain models［J］.Insurance:Mathematics ＆ Economics，1991，10:275-287.

［3］GOOVAERTS M，KASS R.Interest randomness in annuities certain［J］.Insurance:Mathematics ＆ Economics，1992，11:271-281.

［4］GOOVAERTS M.Some further results on annuities certain with random interest［J］.Insurance:Mathematics ＆Economics，1992，11:283-290.

［5］何文炯，蔣慶榮.隨機(jī)利率下的增額壽險［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，1998，13A(2):145-152.

［6］劉凌云，汪榮明.一類隨機(jī)利率下的增額壽險模型［J］.應(yīng)用概率統(tǒng)計，2001，17(2):283-290.

［7］劉海芳，譚 利，張立欣.隨機(jī)利率下的增額壽險模型［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2007，27(2):23-26.

［8］吳曉蕊，薛 紅，李 軍.分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散下的綜合人壽保險［J］.西安工程大學(xué)學(xué)報，2011，25(1):128.

［9］郭 欣.隨機(jī)利率下的半連續(xù)型變額壽險模型［J］.四川理工學(xué)院學(xué)報，2012，25(4):86.

［10］葉迎春.連續(xù)時間隨機(jī)利率條件下的壽險精算模型［J］.安徽商貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2002，1(4):37.