基于最小二乘法的平面任意位置橢圓輪廓度誤差的精確計(jì)算

崔靜偉，雷賢卿，王海洋，牛 屾，侯少帥

（河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，洛陽(yáng) 471003）

0 引言

平面曲線輪廓，如漸開線、橢圓和擺線輪廓等在工程中被廣泛應(yīng)用，因此曲線輪廓度測(cè)量、識(shí)別和誤差評(píng)定成為輪廓度測(cè)量的重要內(nèi)容[1]。如為了使發(fā)動(dòng)機(jī)活塞能與汽缸良好地貼合，提高發(fā)動(dòng)機(jī)熱能效應(yīng)，常將活塞截面加工成中凸變橢圓的幾何形狀[2]。這種中凸變橢圓的活塞裙部形線較為復(fù)雜、輪廓加工精度要求較高。因此，研究橢圓輪廓度誤差評(píng)價(jià)方法對(duì)保證活塞及其他橢圓輪廓零件的加工質(zhì)量有重要的意義。

關(guān)于橢圓輪廓度誤差的評(píng)定，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)尚未給出明確的定義，也沒有給定一種特定的評(píng)定算法求解橢圓輪廓度誤差。近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者開展這方面的研究較少，取得了一些研究成果。比較有代表性的成果有劉書桂等[3]基于最小二乘原理的橢圓誤差的評(píng)價(jià)方法。鄒益民等[4]基于幾何距離的擬合算法。侯宇等[5]采用有效集法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。陳基偉[6]提出的橢圓直接擬合算法。T.S.R.Murthy[7]提出的正交最小二乘法、二項(xiàng)高斯分布法和基于代數(shù)距離的最小二乘法來(lái)評(píng)定橢圓輪廓度誤差。這些評(píng)定方法對(duì)于橢圓誤差的評(píng)定都有一定的作用和效果。

本文通過(guò)平面任意位置橢圓方程、橢圓法線方程特點(diǎn)和橢圓本身性質(zhì)，利用最小二乘原理實(shí)現(xiàn)對(duì)平面任意位置橢圓輪廓度誤差的評(píng)定。

1 最小二乘橢圓擬合

設(shè)平面任意位置橢圓（如圖1所示）方程為：

設(shè)Pi( xi, yi) （ i = 1 ,2,...,N）為橢圓輪廓上的N(N≥5)個(gè)測(cè)量點(diǎn)，依據(jù)最小二乘原理，所擬合的目標(biāo)函數(shù)為：

欲使F為最小，須使

由此可得正規(guī)方程：

解方程(3)可得到A,B,C,D和E的值，由參考文獻(xiàn)[3]可得到擬合出的最小二乘橢圓的五個(gè)主參數(shù)：位置參數(shù) (θ ,x0, y0)及形狀參數(shù)(a, b) 。

圖1 平面任意位置橢圓及測(cè)量點(diǎn)與最小二乘橢圓關(guān)系圖

表1 測(cè)量數(shù)據(jù)（mm）

表2 數(shù)據(jù)處理結(jié)果

2 確定過(guò)測(cè)量點(diǎn)的橢圓法線與最小二乘橢圓的交點(diǎn)

如圖1所示，設(shè)點(diǎn) Mi( Xi, Yi) 為過(guò)測(cè)量點(diǎn)pi(xi, yi)的橢圓法線與最小二乘橢圓的交點(diǎn)，由于交點(diǎn) Mi( Xi, Yi) 既在法線上又在最小二乘橢圓[9]上，即點(diǎn) M ( Xi, Yi)滿足方程組：

3 判斷各測(cè)量點(diǎn) p i的位置

設(shè)擬合出的最小二乘橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(xm1,ym1)和F2(xm2, ym2)（如圖1所示）。依據(jù)橢圓的性質(zhì)可得：

測(cè)量點(diǎn) pi點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和 d di為：

與求在可行路徑 P1上的最短時(shí)間一樣，可求得在可行路徑 P2上的最短時(shí)間是T2=96. 5632秒。

所以從 O → A 的最短時(shí)間T= m in{T1,T2}=94. 2283秒，最短時(shí)間路徑如上所述。

當(dāng) d d

i

≥2a時(shí)，p

i

在橢圓的外側(cè)；當(dāng)dd

i

＜2a時(shí)，p

i

在橢圓的內(nèi)側(cè)。

4 計(jì)算橢圓的形狀誤差

每個(gè)測(cè)量點(diǎn) pi(xi, yi) 到最小二乘橢圓的法向距離為:

其中點(diǎn) Mi(Xi, Yi)為過(guò)測(cè)量點(diǎn) pi(xi, yi)且沿法線方向與最小二乘橢圓的交點(diǎn)，當(dāng)測(cè)量點(diǎn)位于最小二乘橢圓外側(cè)時(shí)， d (i)取正值；當(dāng)測(cè)量點(diǎn)位于最小二乘橢圓內(nèi)側(cè)時(shí)， d(i)取負(fù)值。

依據(jù)形狀誤差的定義可以知道，被測(cè)橢圓的形狀誤差為：

5 實(shí)例驗(yàn)證

為了檢驗(yàn)算法的正確性和可靠性，用計(jì)算機(jī)模擬發(fā)生具有不同幾何中心位置、長(zhǎng)短半軸大小的橢圓數(shù)據(jù)，用本算法對(duì)其進(jìn)行形狀誤差評(píng)定，其結(jié)果與理論值之差均在計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)所表達(dá)的數(shù)度范圍內(nèi)。對(duì)文獻(xiàn)[6]中數(shù)據(jù)(表1)進(jìn)行了計(jì)算比較，測(cè)量數(shù)據(jù)處理結(jié)果如表2 所示。

本文通過(guò)計(jì)算各測(cè)量點(diǎn)沿法線方向到最小二乘橢圓的最小距離對(duì)橢圓進(jìn)行的誤差評(píng)定，文獻(xiàn)[6]則是按連心線方向計(jì)算的測(cè)量點(diǎn)到理想輪廓偏差的方法進(jìn)行的橢圓誤差評(píng)定。文獻(xiàn)[6]數(shù)據(jù)是一組標(biāo)準(zhǔn)橢圓中加入測(cè)量誤差 δ =±0 .003m 的數(shù)據(jù)，由表2可以看出，兩種方法擬合出的理想橢圓主參數(shù)相近，而本文的誤差評(píng)定結(jié)果顯示與原數(shù)據(jù)設(shè)置的誤差相吻合，測(cè)量更精確。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文基于最小二乘原理，利用橢圓方程及橢圓法線方程特點(diǎn)，找到測(cè)量點(diǎn)沿法線方向到最小二乘橢圓的距離，實(shí)現(xiàn)對(duì)平面任意位置橢圓的最小二乘精確評(píng)定，無(wú)需進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換且準(zhǔn)確度更高。

[1] 李秀明,石照耀.基于方程的橢圓輪廓度的評(píng)定[J].北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2009, (35):1303-1307.

[2] 樊玉銘. 活塞中凸形線和橢圓曲線光學(xué)測(cè)量方法的研究[J].計(jì)量學(xué)報(bào),2003,(4) : 286-288.

[3] 劉書桂,李蓬,那永林.基于最小二乘原理的平面任意位置橢圓的評(píng)價(jià)[J].計(jì)量學(xué)報(bào),2002,23(04): 245-247.

[4] 鄒益民,汪渤.一種基于最小二乘的不完整橢圓擬合算法[J].儀器儀表學(xué)報(bào),2006,27(7): 808-812.

[5] 侯宇, 張競(jìng), 崔晨陽(yáng).復(fù)雜線輪廓度誤差坐標(biāo)測(cè)量的數(shù)據(jù)處理方法[J]-計(jì)量學(xué)報(bào).2002, 23(1) : 12-16.

[6] 陳基偉. 橢圓直接擬合算法研究[J] .工程勘察，2006，(6): 49-51.

[7] T.S.R. Murthy. Methods for evaluation of elliptical profiles [J]. Intemational Journal of Machine Tools and Manufacture．1985，25(4)：299-312.

[8] 關(guān)江,高啟書,孫淑艷.確定隱函數(shù)中參數(shù)的最小二乘法[J] .齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào),2005,21(1): 85-87.

[9] 王宇華.橢圓輪廓的評(píng)定方法及其計(jì)算機(jī)模擬[J].佛山大學(xué)學(xué)報(bào),1992,10 (6):27-31.