基于接觸應(yīng)力的圓柱滾子軸承疲勞壽命分析

邱江，朱如鵬，陸鳳霞，靳廣虎

（南京航空航天大學(xué)，江蘇南京 210016）

0 引言

圓柱滾子軸承一般用于載荷較大的場(chǎng)合，與同尺寸球軸承相比，圓柱滾子軸承通常具有更高的剛性和更好的抗疲勞性［1］。軸承的疲勞壽命是軸承設(shè)計(jì)與使用中的重要參照因素，對(duì)于滾子軸承來(lái)說(shuō)主要的失效形式是接觸疲勞，但是由于金屬材料的接觸應(yīng)力一般較大，要進(jìn)行零部件全尺寸的接觸疲勞試驗(yàn)耗時(shí)會(huì)相當(dāng)長(zhǎng)。另外，大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，滾動(dòng)軸承在型號(hào)、轉(zhuǎn)速等外在條件完全一致的狀況下，其實(shí)驗(yàn)壽命結(jié)果最大值與最小值相差甚遠(yuǎn)，即壽命的離散性很大［2］。因此要想得出一組可靠的數(shù)據(jù)，必須開(kāi)展大量的疲勞實(shí)驗(yàn)，這樣的費(fèi)用是高昂的。因此，理論計(jì)算方法在獲得軸承接觸疲勞壽命在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中就顯得非常重要。

軸承的經(jīng)典疲勞壽命計(jì)算方法是建立在Lundburg和Palmgren等人的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上。大量的生產(chǎn)實(shí)踐證明，這種方法是較為可靠的。但在直升機(jī)疲勞定壽中，目前國(guó)內(nèi)外對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)零部件的疲勞壽命評(píng)估普遍采用的是名義應(yīng)力法的有限壽命設(shè)計(jì)［3］。其設(shè)計(jì)基本思想是從材料的S－N曲線出發(fā)，再考慮可靠度、應(yīng)力集中系數(shù)等多種影響因素;最后結(jié)合應(yīng)力值求出疲勞壽命值［4］。本文基于接觸應(yīng)力對(duì)圓柱滾子軸承的疲勞壽命進(jìn)行了計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典疲勞壽命理論結(jié)果進(jìn)行了比較。證明這種方法是可行且較為可靠的，為圓柱滾子軸承的疲勞壽命特別是針對(duì)直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)軸承部件的疲勞壽命評(píng)估提供了一定的依據(jù)。

1 圓柱滾子軸承接觸疲勞壽命分析的基本原理

1.1 L－P疲勞壽命計(jì)算理論

軸承疲勞壽命的計(jì)算方法建立在Lundburg和Palmgren的理論基礎(chǔ)上。對(duì)于圓柱滾子軸承，在法向載荷Q作用下，滾子與滾道線接觸的壽命為:

式中，滾道額定接觸動(dòng)載荷Qc為:

式中，D為滾子直徑;l為滾子有效長(zhǎng)度;Z為滾子數(shù);γ為Dcosα/dm;α為接觸角;dm為節(jié)圓直徑;λ是隨滾子引導(dǎo)方式而變化的系數(shù)。

圓柱滾子軸承的壽命由內(nèi)、外環(huán)疲勞壽命的交集表示

式中，Lμ為滾子與內(nèi)滾道接觸壽命;Lν為滾子與外滾道接觸壽命;對(duì)于線接觸軸承，威布爾斜率e取9/8。

建立在Lundburg和Palmgren的疲勞壽命理論是對(duì)軸承理論的重要發(fā)展。但是，T.A.Harris同時(shí)也指出了它存在的兩個(gè)主要缺點(diǎn)［1］:

a）這種計(jì)算軸承表面滾動(dòng)接觸疲勞壽命的方法不能與其他工程結(jié)構(gòu)疲勞計(jì)算方法相關(guān)聯(lián)，即不具備通用性。

b）該種方法得出的結(jié)果不論外加載荷是多大，軸承的疲勞壽命總是有限的。然而實(shí)驗(yàn)證明經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)和采用高品質(zhì)鋼材制造的軸承其無(wú)限長(zhǎng)的疲勞壽命是實(shí)際存在的。

因此，該公式不能說(shuō)明無(wú)限疲勞壽命，也就不完全適合結(jié)構(gòu)疲勞預(yù)測(cè)。在超出試驗(yàn)條件時(shí)，必須采用一些經(jīng)驗(yàn)壽命調(diào)整系數(shù)來(lái)進(jìn)行改進(jìn)。

1.2 滾子法向載荷和接觸應(yīng)力的計(jì)算

由于滾動(dòng)體的軌道速度和繞自身軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)，在滾動(dòng)體和滾道之間會(huì)產(chǎn)生動(dòng)力載荷。這種載荷在中、低速運(yùn)轉(zhuǎn)下，與作用在軸承上的徑向載荷相比是很小的，因此在軸承壽命的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式中轉(zhuǎn)速對(duì)結(jié)果并沒(méi)有影響;但對(duì)于高轉(zhuǎn)速來(lái)說(shuō)，滾動(dòng)體的動(dòng)力載荷即離心力和陀螺力矩將改變作用載荷在滾子之間的分布。在直升機(jī)主減速器的第一級(jí)傳動(dòng)中，由于輸入軸的轉(zhuǎn)速較大，因此在主減速器的第一級(jí)傳動(dòng)中通常采用高速軸承。因此，在這里有必要對(duì)軸承受到的法向載荷進(jìn)行詳細(xì)的求解計(jì)算。

在不計(jì)摩擦力矩和油膜作用的情況下，承受徑向載荷Fc的高速圓柱滾子軸承的滾子受載如圖1所示。

圖1 角位置ψj處的滾子載荷

圖中，Qij和Qoj分別為在任意角位置ψj處內(nèi)、外滾道與滾子間的法向作用載荷;Fc為滾子受到的離心力;考慮力的平衡有:

式中，K為載荷位移系數(shù);δ為接觸變形;對(duì)于以速度nm繞軸承軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的鋼制滾子，離心力Fc可表示為:

因?yàn)棣膔j=δij+δoj，式（4）可以被改寫(xiě)為以下形式:

從受載軸承的幾何關(guān)系可以確定任意方位角ψj處的總徑向壓縮變形為:

式中，Pd為徑向游隙，將式（8）代入式（7），可以得到:

另外在軸承的徑向載荷作用方向，同樣滿足力平衡要求:

聯(lián)立式（9）和式（10）可求解由Z+1個(gè)方程構(gòu)成的非線性方程組。采用Quasi－Newton法對(duì)平衡方程構(gòu)成的非線性方程組進(jìn)行迭代求解。

圖2 高速圓柱滾子軸承載荷計(jì)算流程圖

由于基于接觸應(yīng)力法只考慮最大應(yīng)力處的疲勞損傷，因此載荷Q應(yīng)為軸承滾動(dòng)體受到的最大載荷Qmax，即瞬時(shí)處于位置角ψ=0時(shí)的滾子與滾道間的載荷。

根據(jù)Hertz接觸應(yīng)力理論，對(duì)于理想線接觸的兩圓柱體，其最大接觸應(yīng)力σmax和接觸橢圓短半軸b為:

式中，∑ρ為曲率和函數(shù);ξ為泊松比;E為彈性模量。

1.3 疲勞壽命曲線的確立

結(jié)構(gòu)的疲勞特性通常采用S－N曲線來(lái)描述，即結(jié)構(gòu)承受的載荷與其在該載荷下發(fā)生疲勞破壞所經(jīng)歷的循環(huán)次數(shù)的關(guān)系曲線［5］。本文選用直升機(jī)設(shè)計(jì)中常用的三參數(shù)冪函數(shù)，即

式中，C和m為材料的常數(shù)，S0為材料的疲勞極限，對(duì)式（13）兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)有:

令A(yù)0=lgC，B0= －m，Y=lgN和X=lg（S－S0）代入式（14）中，可以得到線性方程:

圓柱滾子軸承的材料選取GCr15軸承鋼，查取《機(jī)械工程材料性能數(shù)據(jù)手冊(cè)》，其接觸疲勞性能數(shù)據(jù)見(jiàn)表1所示。

表1 GCr15軸承鋼接觸疲勞性能數(shù)據(jù)

GCr15軸承鋼的接觸疲勞極限為2 000 MPa，在線性坐標(biāo)系下擬合可以得到存活率為50%、90%及99%時(shí)對(duì)應(yīng)參數(shù)C和m的值，從而得到不同存活率下對(duì)應(yīng)的S－N曲線方程。

2 接觸疲勞壽命實(shí)例分析與比較

圓柱滾子軸承在承受徑向載荷為15 000 N，材料為GCr15，軸承的主要參數(shù)如表2所示。

表2 圓柱滾子軸承的主要參數(shù)

改變圓柱滾子軸承的參數(shù)，通過(guò)建立在Lundburg和Palmgren的經(jīng)典疲勞壽命理論得到的結(jié)果與基于接觸應(yīng)力得到的疲勞壽命結(jié)果進(jìn)行比較。

圖3至圖5是轉(zhuǎn)速在2 000 r/min情況下，改變圓柱滾子軸承設(shè)計(jì)參數(shù)得到的疲勞壽命。不難發(fā)現(xiàn)基于接觸應(yīng)力得到的疲勞壽命與經(jīng)典理論方法得到的疲勞壽命在趨勢(shì)上完全一致，且數(shù)值上也較符合，這充分說(shuō)明了該方法的可行性。另外，在軸承設(shè)計(jì)參數(shù)趨于安全的情況下，基于接觸應(yīng)力得到的疲勞壽命值變化更為明顯，即隨著軸承設(shè)計(jì)安全性的增強(qiáng)其壽命是趨于無(wú)限壽命的。這彌補(bǔ)了經(jīng)典理論的不足。

圖3 滾子數(shù)目對(duì)軸承疲勞壽命的影響

圖4 徑向力對(duì)軸承疲勞壽命的影響

圖5 徑向游隙對(duì)軸承疲勞壽命的影響

圖6是基于接觸應(yīng)力和經(jīng)典疲勞壽命法分別隨轉(zhuǎn)速變化的疲勞壽命趨勢(shì)圖。可以發(fā)現(xiàn):基于接觸應(yīng)力得到的壽命值隨著轉(zhuǎn)速的增大，變化較經(jīng)典理論方法更為明顯。這是因?yàn)榻佑|應(yīng)力法在計(jì)算壽命時(shí)只考慮最大應(yīng)力處的疲勞損傷狀況，而經(jīng)典理論方法考慮的是內(nèi)、外滾道與滾子間的載荷綜合狀況，這也是其變化趨于平緩的主要原因。由此可見(jiàn)，基于接觸應(yīng)力法在針對(duì)高轉(zhuǎn)速圓柱滾子軸承疲勞壽命的計(jì)算中，其結(jié)果是趨于保守的，這也符合該方法偏于安全的特征。正是因?yàn)檫@樣的特點(diǎn)，使得其在航空附件的疲勞壽命評(píng)估中得到了廣泛的運(yùn)用。

圖6 軸承轉(zhuǎn)速對(duì)軸承疲勞壽命的影響

3 結(jié)論

本文應(yīng)用航空零部件疲勞定壽中常用的名義應(yīng)力法，基于軸承的接觸應(yīng)力對(duì)圓柱滾子軸承的疲勞壽命進(jìn)行了預(yù)估算。考慮離心力等因素對(duì)軸承載荷的影響，并采用三參數(shù)冪函數(shù)方程計(jì)算得到了軸承的疲勞壽命。其結(jié)果與建立在Lundburg和Palmgren的經(jīng)典壽命計(jì)算結(jié)果相符。充分說(shuō)明了該理論運(yùn)用于圓柱滾子軸承壽命計(jì)算的合理性。相較于經(jīng)典理論，基于接觸應(yīng)力得到的軸承疲勞壽命，在計(jì)算過(guò)程中更能體現(xiàn)出材料對(duì)疲勞壽命的影響，且在材料強(qiáng)度大或設(shè)計(jì)趨于安全的情況下能夠達(dá)到無(wú)限壽命，從而克服了經(jīng)典理論無(wú)法獲得無(wú)限壽命的不足。

［1］Harris T A，M N Kotzalas.滾動(dòng)軸承分析［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2009.

［2］徐小平，何復(fù)超.滾動(dòng)軸承疲勞壽命P－S－N曲線［J］.現(xiàn)代機(jī)械，1995（9）:1-3.

［3］ Liard F.Helicopter Fatigue Design Guide-AGARDograph，No292，1987.

［4］趙少汴，王忠保.疲勞設(shè)計(jì)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1992.

［5］穆志濤，曾本銀.直升機(jī)結(jié)構(gòu)疲勞［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2009.