基礎(chǔ)振動(dòng)下兩自由度機(jī)械臂的魯棒控制

鄭青山，侯保林

（南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南京 210094）

0 引言

多自由度機(jī)械臂是一個(gè)十分復(fù)雜的多輸入/多輸出非線性系統(tǒng)，它具有時(shí)變、強(qiáng)耦合和高度非線性的動(dòng)力學(xué)特征，其控制是十分復(fù)雜的［1］。本篇所討論的機(jī)械臂是置于振動(dòng)的基礎(chǔ)平臺(tái)之上，因此，當(dāng)在為這類系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器時(shí)，就應(yīng)該考慮到由于基礎(chǔ)平臺(tái)振動(dòng)所帶入的擾動(dòng)，以及系統(tǒng)本身所具有的非線性。

本文所討論的系統(tǒng)模型，將基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為正弦運(yùn)動(dòng)，同時(shí)考慮了由于負(fù)載變化所導(dǎo)致的動(dòng)態(tài)模型參數(shù)的不確定性。為了引進(jìn)控制方法，現(xiàn)需要做如下重要假設(shè)。A1:基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)的頻率范圍是事先知道的;A2:不考慮機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)基礎(chǔ)產(chǎn)生的作用力以及作用力矩。文中所采用的控制方法集合了非線性狀態(tài)反饋以及線性控制方案。引進(jìn)非線性狀態(tài)反饋，主要是為了消除動(dòng)態(tài)微分方程中的非線性部分。經(jīng)過非線性狀態(tài)反饋之后，問題就被處理成具有外部擾動(dòng)以及動(dòng)態(tài)模型參數(shù)攝動(dòng)的線性對(duì)象的魯棒穩(wěn)定性控制問題。由于參數(shù)變化、未建模動(dòng)態(tài)及外部環(huán)境干擾等不確定因素的存在，使得這類機(jī)械臂魯棒控制研究具有重要的理論和實(shí)踐意義。

1 問題的提出

大口徑陸戰(zhàn)武器彈藥自動(dòng)裝填系統(tǒng)中的彈藥傳輸機(jī)械臂是彈藥自動(dòng)裝填系統(tǒng)中的重要部件，對(duì)彈藥自動(dòng)裝填系統(tǒng)的整體性能具有很大的影響。機(jī)械臂接收自動(dòng)彈倉(cāng)內(nèi)被推彈器所推出來的彈丸或者模塊藥，將彈丸或者模塊藥傳送到輸彈線上，再由輸彈機(jī)將彈丸或者模塊藥送入炮膛［2］。在很多時(shí)候，這一工作過程需要在大口徑陸戰(zhàn)武器的行進(jìn)過程中完成，所以說彈藥傳輸機(jī)械臂屬于一類移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)。在這類系統(tǒng)中，機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)特性在受到自身非線性力影響的同時(shí)，還受到由基礎(chǔ)振動(dòng)所產(chǎn)生的非線性力的強(qiáng)烈影響，這些非線性力包括科氏力以及慣性力等。因此基礎(chǔ)振動(dòng)下機(jī)械臂系統(tǒng)控制的核心問題是:不光要解決內(nèi)部的非線性問題，還要解決外部的非線性擾動(dòng)問題，即一類動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)模型不確定問題。解決好機(jī)械臂機(jī)電系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題和控制問題，對(duì)我國(guó)大口徑陸戰(zhàn)武器自動(dòng)裝填系統(tǒng)的研制具有重大理論和實(shí)踐意義。

2 動(dòng)態(tài)模型的建立

在本節(jié)中，將彈藥自動(dòng)裝填系統(tǒng)簡(jiǎn)單等效為基礎(chǔ)振動(dòng)下兩自由度機(jī)械臂的動(dòng)態(tài)模型以及運(yùn)用拉格朗日方法來建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程。圖1為基礎(chǔ)振動(dòng)下兩自由度機(jī)械臂結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖。為方便起見，假定基礎(chǔ)平臺(tái)做上下正弦運(yùn)動(dòng)以及兩個(gè)機(jī)械臂和它所固連的基底只在垂直平面做運(yùn)動(dòng)。

圖1 基礎(chǔ)振動(dòng)下兩自由度機(jī)械臂簡(jiǎn)圖

圖中各符號(hào)定義如下:

oxy—固定坐標(biāo)系;

y—機(jī)械臂轉(zhuǎn)軸處縱坐標(biāo);

θ1—機(jī)械臂1質(zhì)心和轉(zhuǎn)軸的連線相對(duì)于水平線的轉(zhuǎn)角;

θ2—機(jī)械臂2相對(duì)于機(jī)械臂1的轉(zhuǎn)角;

J1，J2—各機(jī)械臂相對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;

G1，G2—各機(jī)械臂轉(zhuǎn)動(dòng)的阻尼系數(shù);

M1，M2—各機(jī)械臂的質(zhì)量;

ω—基礎(chǔ)做正弦運(yùn)動(dòng)時(shí)的角頻率;

L1，L2— 各機(jī)械臂的長(zhǎng)度;

a1，a2—各機(jī)械臂質(zhì)心到各自轉(zhuǎn)動(dòng)副的距離;

τ1，τ2—作用于各關(guān)節(jié)的控制力矩;

g—重力加速度;

t—時(shí)間。

運(yùn)用拉格朗日方程，對(duì)此模型進(jìn)行嚴(yán)格推導(dǎo)，由于過程稍顯冗長(zhǎng)，在這里就不給出詳細(xì)的推導(dǎo)過程，只把最終結(jié)果表示如下:

式中每項(xiàng)表述如下:

在此模型中，只考慮J1、J2作為參數(shù)攝動(dòng)量，即:

其中，rJ1，rJ2是最大攝動(dòng)比列，δJ1，δJ2具有 ，1，是|δJ1|，|δJ2|≤1標(biāo)準(zhǔn)化攝動(dòng)。

3 控制器設(shè)計(jì)步驟

在本篇中，將采用如下步驟來實(shí)現(xiàn)控制器的設(shè)計(jì)。首先，引入非線性狀態(tài)反饋來減少系統(tǒng)的非線性，經(jīng)過處理之后，所得到的系統(tǒng)被定義為一個(gè)虛擬的線性對(duì)象。第二，利用PD控制來達(dá)到基于頻率的控制目標(biāo)以及靈敏度函數(shù)的整形。

3.1非線性狀態(tài)反饋以及虛擬化線性對(duì)象

文獻(xiàn)［3－5］給出了多變量非線性系統(tǒng)線性化的一般方法，為了去除微分方程式（1）中的非線性部分，以及重新組建一個(gè)虛擬的線性化對(duì)象，將引進(jìn)下面的狀態(tài)反饋策略:

把式（2）代入式（1），然后左乘Mn－1（θ）就可以得到如下具有時(shí)變慣量攝動(dòng)矩陣ΔM（θ）以及輸入擾動(dòng)d虛擬線性對(duì)象:

注意到，經(jīng)過非線性狀態(tài)反饋之后，式（3）依然存在耦合項(xiàng)，也就是說沒有完全線性化，所以在這里做個(gè)假設(shè):整個(gè)機(jī)械臂在做運(yùn)動(dòng)過程之中，以機(jī)械臂1為主要運(yùn)動(dòng)構(gòu)件，機(jī)械臂相對(duì)于1來說只做較小的轉(zhuǎn)動(dòng)。這樣可以對(duì)方程式（3）中cosθ2近似處理為1。

3.2 利用PD控制來整形靈敏度函數(shù)［6］

怎樣解決由于基礎(chǔ)振動(dòng)而加在對(duì)象輸入端的擾動(dòng)是解決基礎(chǔ)攝動(dòng)問題的關(guān)鍵。在本篇中，主要以濾波問題為主，即怎樣使得對(duì)于外部擾動(dòng)的靈明度函數(shù)盡可能的低。根據(jù)混合靈敏度理論知道:

圖2中，K，θd，e和d分別表示H∞輸出反饋控制器、θ期望值，系統(tǒng)誤差和擾動(dòng)。

圖2 機(jī)械臂臂環(huán)反饋結(jié)構(gòu)

則靈敏度函數(shù)S和補(bǔ)靈敏度函數(shù)T分別為:

S為靈敏度函數(shù);在靈敏度函數(shù)左側(cè)乘上P就能得到SP，代表了系統(tǒng)抵制擾動(dòng)的能力，T是補(bǔ)靈敏度函數(shù)陣。

根據(jù)前面所討論，可以把主要問題歸結(jié)為消除外部擾動(dòng)d的影響。為此，需要使SP在擾動(dòng)頻率范圍Ω之內(nèi)盡可能的低。考慮到，前面通過非線性狀態(tài)反饋之后處理得到的虛擬線性系統(tǒng)，有一個(gè)雙積分環(huán)節(jié)，這樣就會(huì)加大SP在低頻段的增益，也就是會(huì)降低系統(tǒng)抵抗擾動(dòng)的能力。因此，一般地，在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)使P具有弱阻尼特性，需要增加一個(gè)位置反饋KP和一個(gè)速度反饋KD，則修正后的線性部分傳遞函數(shù)P為:

由式（4）可推得:

這樣矩陣M－1就可表示成上線性分式（LFT）

為此可以得到帶參數(shù)攝動(dòng)的狀態(tài)空間框圖（圖3）。

圖3 帶參數(shù)攝動(dòng)的狀態(tài)空間框圖

4 魯棒性能分析

圖4展示了增廣系統(tǒng)的內(nèi)部互聯(lián)結(jié)構(gòu)。其中，虛線框P表示廣義控制對(duì)象，WT，WS表示與靈敏度函數(shù)相關(guān)的加權(quán)函數(shù)矩陣，ΔP定義了一個(gè)假想的不確定函數(shù)矩陣來表現(xiàn)系統(tǒng)的魯棒性能。

圖4 系統(tǒng)控制框圖

5 仿真實(shí)例

表1給出了基礎(chǔ)振動(dòng)下兩自由度機(jī)械臂的具體參數(shù)。

表1 兩自由度機(jī)械臂的參數(shù)

文獻(xiàn)［7-10］中給出了混合靈敏度下加權(quán)函數(shù)選擇的詳細(xì)方法。此例中，在D－K迭代中設(shè)定如下PD增益以及加權(quán)函數(shù):

在D－K迭代工具箱中進(jìn)行如圖5的參數(shù)設(shè)置。

圖5 參數(shù)設(shè)置框圖

運(yùn)行5次迭代可得，觀察其數(shù)據(jù)可得:

第一次:Gamma value achieved: 0.997 2

第五次:Gamma value achieved: 0.164 1

最終的μ上界值曲線及靈敏度函數(shù)曲線如圖6所示。

由圖6、7可以看出，μ的上界值小于1，靈敏度值小于1，說明控制器能夠同時(shí)滿足魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能的要求。

6 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)不確定剛性兩自由度機(jī)械臂系統(tǒng)存在基礎(chǔ)振動(dòng)的情況下，在僅有精確關(guān)節(jié)位置以及速度反饋的情況下，給出了包括系統(tǒng)建模、非線性狀態(tài)反饋以及H∞標(biāo)準(zhǔn)化等多方面控制器設(shè)計(jì)的詳細(xì)步驟，仿真結(jié)果也表明，該控制策略對(duì)于控制性能的提高有明顯的作用，是一種有效而可行的控制方案。

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