基于Hermite插值的高精度數(shù)值積分公式

龍愛芳，胡軍浩

（中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢430074）

隨著科學(xué)的進(jìn)步，計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，很多領(lǐng)域涉及到定積分的計(jì)算，因此研究高精度的數(shù)值積分公式是有實(shí)際意義的.數(shù)值積分常見的有梯形公式和Simpson公式，它們的計(jì)算雖無(wú)需提供導(dǎo)數(shù)值，但代數(shù)精度不高.梯形公式有一次代數(shù)精度，Simpson公式有3次代數(shù)精度［1-6］.文獻(xiàn)［7-8］雖給出一個(gè)高精度的數(shù)值求積公式，但必須提供求積節(jié)點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)值.文獻(xiàn)［9］給出了Newton-cotes求積公式的漸近性，雖可大大提高數(shù)值求積公式的代數(shù)精度，但同樣必須提供n+1階導(dǎo)數(shù)值，文獻(xiàn)［10］的求積公式?jīng)]有承襲性.本文從Hermite插值多項(xiàng)式出發(fā)，構(gòu)造了具有誤差量級(jí)為O（h5），且不需要計(jì)算導(dǎo)數(shù)值，只需要提供求積節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的高精度數(shù)值求積公式.

1 高精度數(shù)值求積公式

1.1 Hermite插值多項(xiàng)式的構(gòu)造

構(gòu)造滿足插值條件f（xk）＝p（xk），f（xk+1）＝p（xk+1），f′（xk）＝p′（xk），f′（xk+1）＝p′（xk+1）次數(shù)不超過(guò)3的Hermite插值多項(xiàng)式的p（x）.即

上式中：αk（x），αk+1（x），βk（x），βk+1（x）為插值基函數(shù)，它們分別滿足

αk（x），αk+1（x），βk（x），βk+1（x）的表達(dá)式分別為

其中：h＝xk+1-xk.

構(gòu)造的插值多項(xiàng)式余項(xiàng)表達(dá)式為

式（1）中：ξ在xk與xk+1之間，并且與x有關(guān).

1.2 數(shù)值求積公式的構(gòu)造

對(duì)式（1）兩邊求積分，應(yīng)用廣義積分中值定理，可得到積分中值定理.

定理1 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間［x，xk+1］有4階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則

成立，η在xk與xk+1之間.

由式（2）得到帶有一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值求積分公式，即

由式（2）可知，數(shù)值求積公式（3）具有3次代數(shù)精度.在式（2）中，令xk＝a，xk+1＝x，則有

為了提高數(shù)值求積公式的代數(shù)精度，分析定理1中間點(diǎn)η的漸近性，則可得到定理2.

證明 令

應(yīng)用3次洛必達(dá)法可得

應(yīng)用式（4）可得

應(yīng)用式（5），（6）可得

由式（7），可得到具有5次代數(shù)精度的第2個(gè)數(shù)值求積公式，記為

應(yīng)用復(fù)化求積得

為了避免求導(dǎo)數(shù)，對(duì)上式的數(shù)值求積公式進(jìn)行修正，應(yīng)用公式

得到只需計(jì)算求積節(jié)點(diǎn)函數(shù)值，無(wú)須提供求積節(jié)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值的兩個(gè)數(shù)值求積公式，分別為

公式（9），（10）的誤差量級(jí)分別為O（h4），O（h5）.

2 數(shù)值試驗(yàn)

應(yīng)用梯形公式、求積公式（3），（8）計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表1所示.應(yīng)用復(fù)化梯形公式、求積公式（9），（10）計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表2所示.

表1 梯形公式、求積公式（3），（8）的計(jì)算結(jié)果Tab.1 Numerical experiment of trapeziod formula and formula（3），（8）

表2 復(fù)化梯形公式，求積公式（9），（10）的計(jì)算結(jié)果Tab.2 Numerical experiment of compound trapeziod formula and formula（9），（10）

從計(jì)算結(jié)果看，公式（3）與公式（8）比梯形公式的精度高很多，但必須提供一階導(dǎo)數(shù)或四階導(dǎo)數(shù)；而公式（9）和公式（10），卻不用計(jì)算導(dǎo)數(shù)，計(jì)算的節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的個(gè)數(shù)與復(fù)化梯形公式一樣.因此，計(jì)算量與復(fù)化梯形公式相當(dāng).復(fù)化梯形公式的誤差量級(jí)為O（h2），而公式（9）的誤差量級(jí)為O（h4），公式（10）的誤差量級(jí)為O（h5）.因此，公式（9）和公式（10）是非常有效的，無(wú)須計(jì)算導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)數(shù)值積分公式.

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