常見醫(yī)學數(shù)學模型

程建玲， 郭漢東

（1.鄭州華信學院，河南 新鄭 451100；2.鄭州大學西亞斯國際學院，河南 新鄭 451100）

0 引 言

隨著生物技術和醫(yī)學科學的發(fā)展，數(shù)學在醫(yī)學研究中的應用日益廣泛，如生物信息學、基因表達與調(diào)控、流行病學、藥物動力學以及許多臨床學科等都有了比較深入的應用。醫(yī)學研究的很多課題也已經(jīng)實現(xiàn)了從定性描述到定量研究的轉(zhuǎn)變，即使是比較復雜的生命系統(tǒng)和現(xiàn)象，研究者通過建立適當?shù)臄?shù)學模型，也可以對其內(nèi)在關系和變化規(guī)律進行深入的探討［1］。

1 導數(shù)模型

可以利用導數(shù)解決醫(yī)藥學中的最大值與最小值問題。

1.1 利用導數(shù)求血液濃度問題［2］

例如，肌肉注射或皮卞注射后血液中藥物濃度y與時間t的關系為

其中A，σ1，σ2都是正數(shù)，且σ2＞σ1，求何時血液中藥物濃度最大。

由題意知，t的變化范圍是（0，＋∞）

1.2 藥物生產(chǎn)問題

例如，某藥廠生產(chǎn)某種藥品，年產(chǎn)量為a個單位，分若干批進行生產(chǎn)，每批生產(chǎn)準備費為b元。設該藥品均勻投入市場（即平均庫存量為批量的一半），并設每年每單位的藥品庫存費為c元。顯然，生產(chǎn)批量大，則庫存費高，生產(chǎn)批量小，則生產(chǎn)準備費多。求如何選擇批量，才能使生產(chǎn)準備費與庫存費之和為最?。ú豢紤]生產(chǎn)能力）［3］。

2 定積分模型

2.1 血液中胰島素濃度的平均值

在正常人血液中胰島素的含量是受當前血糖含量影響的。當血糖濃度增加時，由胰臟分泌的胰島素就進入血液，進入血液以后，胰島素的生化特性變得不活潑并呈現(xiàn)指數(shù)衰減。在一項實驗中，某病人節(jié)制飲食以降低血糖濃度，同時注入大量葡萄糖，實驗中所測到的血液中胰島素濃度C（t）（mL）符合如下函數(shù)：

由函數(shù)平均值公式，有

2.2 脈管穩(wěn)定流動的血流量［4］

設有半徑為R，長度為L的一段血管，左端為相對動脈端，血壓為P1。右端為相對靜脈端，血壓為P2（P1＞P2）。取血管的一個橫截面。現(xiàn)在計算單位時間內(nèi)通過血管橫截面的血流量Q。為此，在該截面任取一個內(nèi)徑為r，外徑為r＋dr（圓心在血管中心）的小圓環(huán)，它的面積近似等于2πrdr。假定血管中血液流動是穩(wěn)定的，此時血管中血液在各點處的流速V是各點與血管中心距離r的函數(shù)，即V＝V（r）。因此，在單位時間內(nèi)，通過該環(huán)面的血流量近似地為：

從而，單位時間內(nèi)通過該橫截而的血流量為

由實驗得知，在通常情況下，有

其中η為血液粘滯系數(shù)，于是

由上式可以看出如下生理意義：

血流量與血管兩端壓力差成正比；血流量與血管半徑的4次方成正比；血流量與血液粘滯系數(shù)成正比。

3 微分方程模型

3.1 簡單的流行病模型

建立流行病的數(shù)學模型的目的主要是研究疾病在人群中分布和流行的數(shù)量規(guī)律?，F(xiàn)在假定感染通過一個團體內(nèi)成員之間的接觸而傳播，感染者不因死亡、痊愈或隔離而被移除，易感染者最終卻將成為感染者，這種假定稱為無移除的簡單模型［5］。某種上呼吸道感染可近似地表示這樣一種疾病的流行。

現(xiàn)在我們把時刻t的易感人數(shù)和感染人數(shù)分別記為S和I，并假設一個團體是封閉性的，總?cè)藬?shù)為N。開始時不妨假定只有一個感染者，且團體中各成員之間接觸均勻，因而易感者轉(zhuǎn)為感染者的變化率與當時的易感人數(shù)和感染人數(shù)的乘積成正比。根據(jù)以上假定，可建立如下數(shù)學模型：

初始條件t＝0，I（0）＝1，β稱為感染率（常數(shù)）。解這個方程

分離變量后兩邊積分

則得

式中：C——常數(shù)。

根據(jù)初始條件可得

從而得

整理后得

這個結(jié)果描述了易感人數(shù)隨時間變化的動態(tài)關系。

3.2 腫瘤生長的數(shù)學模型

惡性腫瘤（癌）是人類的大敵，科學家們正從醫(yī)學、生物學、生物化學等各個方面研究它的發(fā)生、成長規(guī)律及治療方法。這里用數(shù)學工具描述腫瘤的生長規(guī)律，建立數(shù)學模型。通過大量的醫(yī)療實踐，發(fā)現(xiàn)腫瘤細胞生長有以下現(xiàn)象：

1）按現(xiàn)有手段，當腫瘤細胞數(shù)目超過1011時，才是臨床可觀察的。

2）在腫瘤生長初期，幾乎每經(jīng)過一定的時間，腫瘤細胞數(shù)目就增加一倍。

3）在腫瘤生長后期，由于各種生理條件的限制，腫瘤細胞數(shù)目逐漸趨向某個穩(wěn)定值。

根據(jù)這些可以提出腫瘤生長的數(shù)學模型。

第二種模型［7］：由于腫瘤生長的第3種現(xiàn)象，記由于生理限制腫瘤細胞數(shù)目的極限值為N，可得出另—個生長模型：

解這個微分方程得

于是

通過這個數(shù)學模型［8］，可看出腫瘤細胞數(shù)的生長規(guī)律。

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