多信號模態(tài)參數(shù)識別的小波方法

潘學萍，扈衛(wèi)衛(wèi)，尚 霏

（河海大學 可再生能源發(fā)電技術教育部工程研究中心，江蘇 南京 210098）

0 引言

低頻振蕩是當代電力大系統(tǒng)所面臨的主要風險之一。歷數(shù)國內外多次大停電事故，它們或直接跟低頻振蕩有關，或在大停電演化的某個階段出現(xiàn)低頻振蕩現(xiàn)象[1]。在國內外，低頻振蕩問題嚴重影響了電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運行，研究電力系統(tǒng)低頻振蕩在線監(jiān)控尤為必要[2-3]。

隨著相量測量單元（PMU）的廣泛應用，可獲得同一時標的電力系統(tǒng)實測數(shù)據(jù)[4]。基于軌線的模式參數(shù)提取，是將系統(tǒng)受擾軌跡視為某些頻率、振幅按特定規(guī)律變化的信號組合，振蕩模式提取問題歸結為對軌線上頻率與阻尼等參數(shù)的識別問題。

目前采用信號處理方法識別電力系統(tǒng)的振蕩模式時，通?；趩我皇軘_軌線。當該受擾軌線對待辨識模式的可觀性較小時，辨識結果可能存在較大的誤差。為此文獻[5]提出采用Prony方法，同時從多個受擾軌跡識別系統(tǒng)的模式參數(shù)，以提高模式參數(shù)的辨識精度。Prony方法主要有兩方面的缺點。

a.階數(shù)的選取問題。階數(shù)過低容易導致某些振蕩模式無法被識別，而過高則引入大量的雜散模式[6]。 為此文獻[7]提出先選取較大的初始階數(shù)，再從中按照最小平方逼近的原則選取最優(yōu)子集；文獻[8]提出采用奇異值分解確定階數(shù)。

b.噪聲的預處理問題。傳統(tǒng)Prony方法對噪聲非常敏感，要求被分析信號具有較高的信噪比。為減小噪聲對低頻振蕩主導模式的識別帶來的影響，文獻[9]提出了改進多信號的Prony算法。

小波變換可根據(jù)小波脊線獲得系統(tǒng)的主導振蕩頻率，其頻率辨識的準確度一般較高，且抗噪能力強。近年來，已有小波方法應用于電力系統(tǒng)低頻振蕩實時監(jiān)控平臺的報道[10-11]，但一般只應用于單信號的模式識別。

不同測量地點、不同量測量對待辨識模式的可觀程度不同。文獻[5]基于多個受擾軌線提取振蕩模式時，未能區(qū)分不同受擾軌線對待辨識模式的可觀程度。當某軌線對待辨識模式不可觀或者可觀性較小時，該模式將不可辨識或者辨識結果存在較大的誤差。為此，本文提出采用小波變換，根據(jù)小波脊線處的小波系數(shù)幅值判斷其對待辨識模式的可觀程度，舍去可觀性較小的信號，進一步采用優(yōu)化方法協(xié)調從剩余信號提取出的模式參數(shù)，以提高辨識精度。

電力系統(tǒng)低頻振蕩的特征參數(shù)包括振蕩模式（頻率與阻尼）和模態(tài)。為識別受擾軌線的模態(tài)參數(shù)，文獻[12]應用Prony方法分析大擾動下的模態(tài)信息；文獻[13-15]采用譜相關函數(shù)方法得到系統(tǒng)在負荷隨機擾動下的模態(tài)參數(shù)。針對振蕩頻率接近的模式，其模態(tài)信息難以區(qū)分的問題，文獻[16]提出了一套振蕩模式分類系統(tǒng)，通過特征選擇和模式分類2個部分，可成功區(qū)分系統(tǒng)的幾個主要模式的模態(tài)。

將多信號同時進行小波變換時，還能從多個信號中獲得系統(tǒng)的振蕩模態(tài)信息，它對明確振蕩模式的分群方式、指導控制器的設計與安裝地點的選擇等具有重要的意義。本文進一步根據(jù)這些信號在小波脊點處的小波系數(shù)，辨識多個信號間的模態(tài)。

1 小波變換提取單個信號的模式參數(shù)

1.1 連續(xù)小波變換

設待分析信號x（t）平方可積，其連續(xù)小波變換定義為：

其中，ψ（t）為小波母函數(shù)；*表示復數(shù)共軛；a為尺度因子；b為平移因子。

小波變換通過變化的尺度因子a及平移因子b，將母函數(shù)ψ（t）伸縮及平移，從而生成連續(xù)小波函數(shù)），將信號x（t）分解到具有不同分辨率的尺度上。式（1）也可表示為：

其中，X（ω）和 ψ*（aω）分別為信號 x（t）和）的頻域表示。

文中采用Morlet小波，其母函數(shù)為：

其中，ω0為小波中心頻率。

Morlet小波的傅里葉變換為：

1.2 單模式信號的小波模式參數(shù)識別

單模式信號 x（t）=A e-σtsin（ωt+φ0），A 為信號模式幅值，σ為阻尼，φ0為初相位。

根據(jù)文獻[17]，信號 x（t）的 Morlet小波變換表達式為：

其中，ω（b）為b時刻的ω值；ε為校正項，一般較小，可忽略。

在 a=ω0／ω 處，達到最大值，此時也達到極值，時頻點（b，ω0／a）稱為小波脊點。

根據(jù)小波脊點信息可得信號的振蕩角頻率：

根據(jù)脊點處的小波系數(shù)幅值可得信號的阻尼：

其中，d為微分算子。

1.3 多模式信號的小波模式參數(shù)識別

若受擾軌線xk（t）為多模式信號：

其中，Akj、σj、ωj、θ0kj分別為第 j個模式的幅值、阻尼、振蕩角頻率及初相。

由于小波變換是線性變換，則xk（t）的小波系數(shù)W（a，b）為[17]：

如果xk（t）中各模式頻率相差較大，對于第j階模態(tài)，在脊點（b，ωj（b））可忽略其他模式的影響，脊點（b，ωj（b））的小波系數(shù)近似為：

由于實現(xiàn)了模態(tài)解耦，按照式（7）、（8）可識別第j個模式在時刻b的振蕩角頻率ωj和阻尼σj：

2 小波模式的多信號優(yōu)化

如果受擾軌線為平穩(wěn)信號，不同受擾軌線的模式參數(shù)理論上應相同。然而，由于實際電力系統(tǒng)的非線性導致受擾軌線非平穩(wěn)，從多個信號中辨識得到的小波模式結果往往存在一定的差異。本文采用最小二乘優(yōu)化方法，協(xié)調多個信號的模式參數(shù)，將其作為系統(tǒng)振蕩模式的最終辨識值。

2.1 頻率和阻尼參數(shù)的優(yōu)化

對于第j個模式，設m個待辨識信號中有n個信號[x1（t），x2（t），…，xn（t）]在振蕩角頻率 ωj附近存在小波脊，振蕩角頻率在多信號間的協(xié)調見式（14）：

此處：

此處：

2.2 振蕩模態(tài)的辨識與優(yōu)化

n個信號[x1（t），x2（t），…，xn（t）]在模式頻率處的小波系數(shù)分別為：

因此復向量

定義為時刻b處各信號相對于參考信號的模值比和相角差（即模態(tài)）。協(xié)調各時刻的模態(tài)參數(shù)，見式（21）：

此處：

2.3 模態(tài)參數(shù)的辨識區(qū)間

阻尼較大的模式能量衰減較快，它在信號初期的可觀性較強；相反，弱阻尼模式能量衰減慢，在信號后期其能量占主導。由于待辨識模式在各信號中的初始能量不同，其能量衰減至零的時刻也不同。為有效辨識系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，當待辨識模式在某信號中的能量首先衰減接近于零時，應在此刻終止模態(tài)參數(shù)辨識。

由于端點效應的存在，小波方法在信號初期及信號末端的小波系數(shù)模值偏小，利用這段信號辨識振蕩阻尼及模態(tài)將產(chǎn)生較大的誤差。文獻[17]中給出了考慮端點效應后小波模態(tài)參數(shù)有效辨識區(qū)間：

其中，Δt為時域分辨率，Δt=a rt，a 為小波函數(shù)的尺度，rt為小波母函數(shù)的時窗半徑；T為信號長度。文獻[17]指出，β≥4可消除端點效應的影響。

綜合模式辨識截止時間約束及小波端點效應約束。根據(jù)兩約束的交集，在多信號阻尼及模態(tài)參數(shù)協(xié)調時，確定相同的參數(shù)識別區(qū)間Ωj。

3 仿真算例

3.1 4機2區(qū)域系統(tǒng)算例

4機2區(qū)域系統(tǒng)如圖1所示，網(wǎng)絡參數(shù)以及發(fā)電機參數(shù)與文獻[17]相同。其中發(fā)電機采用雙軸模型，配有靜止勵磁調節(jié)器及電力系統(tǒng)穩(wěn)定器（PSS）。

圖1 4機2區(qū)域系統(tǒng)算例Fig.1 A 2-area 4-machine system

故障設置為t=0 s時線路8-9首端發(fā)生三相瞬時性故障，在tc=0.5 s故障消失，總仿真時間為20 s。仿真得到每臺發(fā)電機的功角曲線（以同步坐標為參考），消除曲線的趨勢項后各發(fā)電機功角曲線見圖2。

圖2 消除趨勢項后的功角曲線Fig.2 Power-angle curve after de-trending

采用小波方法辨識得到各軌線的模式，進一步在多軌線協(xié)調以獲得主導模式的頻率與阻尼以及以發(fā)電機3的功角曲線為參考信號的模態(tài)結果。表1對照給出了模態(tài)參數(shù)優(yōu)化結果及特征根結果。

表1 模態(tài)參數(shù)辨識結果與特征根結果Tab.1 Results of modal parameter identification and characteristic roots

由表1可以看出，基于多信號優(yōu)化的小波主導模態(tài)參數(shù)結果與特征根較吻合，反映了多信號小波模態(tài)參數(shù)辨識方法的有效性。

3.2 10機39節(jié)點新英格蘭系統(tǒng)

進一步以圖3所示的10機39節(jié)點新英格蘭系統(tǒng)為例。在原IEEE 10機39節(jié)點標準算例的模型及參數(shù)基礎上，筆者將原發(fā)電機經(jīng)典模型改用雙軸模型，并增設勵磁調節(jié)器。

根據(jù)特征根結果可知，該系統(tǒng)的主導區(qū)間模式1為機組G39相對于其余機組的振蕩，振蕩頻率為0.534 Hz，阻尼為0.288，由右特征向量可知該模式在所有發(fā)電機功角曲線上可觀程度都較高；區(qū)間模式2 為機組（G30，G37，G38）與其余機組相對振蕩，振蕩頻率為0.935 Hz，阻尼為0.177。該模式在部分機組如G34、G38參與程度較高，而機組G39因位于該模式的振蕩中心，幾乎不參與該模式的振蕩。上述2種模式亦在圖3中示意。

圖3 10機39節(jié)點新英格蘭系統(tǒng)Fig.3 10-machine 39-bus New England system

擾動設置為0 s時刻母線39發(fā)生三相瞬時性故障，0.2 s后切除消失，總仿真時間為20 s，仿真得到以同步坐標為參考的各發(fā)電機功角曲線，消除曲線趨勢項后，基于小波變換獲得各受擾軌線的小波譜。部分軌線 δ34、δ38、δ39的小波譜見圖 4。

從圖4可知，模式1在上述3條軌線上的可觀程度都較高；模式2在軌線δ39不可觀，與特征根結果相同。

圖4 部分受擾軌線的小波譜Fig.4 Wavelet spectrum of some disturbed trajectories

表2給出了各信號的小波模式結果以及所有發(fā)電機功角曲線的模式優(yōu)化結果。

表2 模式辨識結果與特征根結果Tab.2 Results of mode identification and characteristic roots

從表2可見，模式1在軌線δ30～δ39可觀性較強，各軌線的小波模式結果、多信號的模式優(yōu)化結果以及特征根都很接近；而對于模式2，在信號δ31、δ32及δ39能量較弱，無法提取其模式信息，在其余各軌線上提取的頻率、阻尼信息與特征根結果有一定的差別，將各信號模式結果進行協(xié)調后，所得結果與特征根差別較小。因此采用多信號小波變換的優(yōu)點在于能夠剔除可觀性較弱的信號，并能將多個信號的模式結果優(yōu)化，獲得較接近真值的模式／模態(tài)信息。

根據(jù)表2辨識得到的2個模式的優(yōu)化振蕩頻率，基于式（19）獲得2個模式的模態(tài)，如圖5所示。

圖5可以看出，模式1為機組G39相對于其余機組間的振蕩；模式 2 為機組（G30，G37，G38）相對于其余機組的振蕩，機組G31、G32、G39由于參與該模式的能量較小，在圖5（b）的模態(tài)圖中無法給出。由于機組G30參與模式2的能量偏弱，其模態(tài)角度誤差偏大，但不影響模態(tài)2的定性判別。

圖5 小波模態(tài)Fig.5 Modal shapes from wavelet transform

4 結論

針對單一信號提取模式參數(shù)可能存在誤差偏大的問題，本文提出采用小波變換，根據(jù)小波脊線處的小波系數(shù)幅值判斷其對待辨識模式的可觀程度，舍去其中可觀性較小的信號，并采用優(yōu)化方法協(xié)調從剩余信號提取出的模式參數(shù)，以提高辨識精度。

本文還提出了根據(jù)各信號在小波脊線處的小波系數(shù)，辨識系統(tǒng)的振蕩模態(tài)參數(shù)。由于待辨識模式在各信號中能量衰減為零的時刻不同，為便于模態(tài)分析，提出在統(tǒng)一的辨識區(qū)間辨識系統(tǒng)的模式參數(shù)。

4機2區(qū)域系統(tǒng)算例表明，在受擾軌線對主導模式的可觀性較高時，本文方法可準確獲得系統(tǒng)的模式／模態(tài)參數(shù)。通過10機39節(jié)點新英格蘭仿真算例可知，本文方法對主導模式的頻率、阻尼及模態(tài)參數(shù)的辨識準確性較高；同單個信號的辨識精度相比，采用多信號可提高局部模式的辨識精度。

當信號數(shù)量較多時，為使得振蕩的在線監(jiān)控成為可能，可采用雙層監(jiān)控的思路。底層監(jiān)控中心根據(jù)就地PMU實測軌線，并行提取各信號的振蕩模式信息；上層監(jiān)控中心根據(jù)底層提供的模式信息，采用協(xié)調優(yōu)化獲得區(qū)域振蕩模式信息。針對可能出現(xiàn)的弱阻尼／負阻尼模式，進一步提取其振蕩模態(tài)，為控制手段的施加做準備。該“就地分析、協(xié)調優(yōu)化”的思路可以快速從大量PMU數(shù)據(jù)中獲得區(qū)域振蕩模式、模態(tài)信息，為互聯(lián)電力大系統(tǒng)的振蕩實時監(jiān)控提供了可行方案。