一種基于PDE與結(jié)構(gòu)-紋理分解的圖像去噪方法

邱淑芳， 劉西林， 劉勝蘭

(東華理工大學理學院，江西 南昌 330013)

在實際應用中，由于成像環(huán)境和感光元件的影響，得到的圖像往往存在噪聲，所以，圖像去噪作為圖像處理中的一個經(jīng)典的問題，是圖像處理后期進行圖像分析和圖像理解的前提。圖像去噪的偏微分方程(PDE)方法在圖像處理領(lǐng)域被廣泛研究(陳科等，2008;劉西林等，2012;Rudin et al.，1992)。由Rudin等(1992)提出的ROF模型，可以看作二階PDE去噪模型的代表，該方法在去除圖像噪聲方面表現(xiàn)出了優(yōu)良的特性，但是這些二階方法往往會產(chǎn)生“階梯效應”，為了避免這一現(xiàn)象，高階PDE逐漸受到了人們的關(guān)注(陳波等，2008;Lysaker et al.，2003;You et al.，2000;Kim et al.，2009;Yi et al.，2006;Chan et al.，2010)。此外，李小霞等(2012)還將偏微分方程去噪應用在磁共振電阻抗成像，取得了比較好的實驗效果。高階PDE在圖像去噪的同時，對圖像的紋理等特征保持較好。

在圖像分析中，往往需要提取圖像的紋理特征來進行分析，所以，圖像分解也有很多方法(宋錦萍等，2009;Osher et al.，2003;Jiang et.al，2009;Lieu et al.，2008;Le et al.，2005)。宋錦萍等(2009)將ROF模型和Lysaker等(2003)的一個模型結(jié)合，構(gòu)造出一種新的圖像分解去噪模型，該模型不僅去除了圖像噪聲，還將圖像的紋理部分和結(jié)構(gòu)部分區(qū)分開來。

1 新模型的提出

Rudin等(1992)提出的ROF模型，作為經(jīng)典的變分去噪模型，在圖像處理領(lǐng)域得到了廣泛的研究。該模型極小化泛函

使得

其中f為噪聲圖像，u為去噪后的重建圖像，σ為噪聲方差，Ω為圖像的支撐集。經(jīng)變分運算，可得(1)與(2)式的Euler-Lagrange方程為

為獲得去噪后的圖像u，Rudin等(1992)采用梯度下降法求解方程(3)，即求解下述拋物型方程初邊值問題

該模型對一般圖像去噪效果很好，但是對于紋理多的圖像去噪效果則不好，因為在去除噪聲的同時會去除很多圖像的紋理等細節(jié)特征。此外，隨著迭代次數(shù)的增加，該方法也會產(chǎn)生“階梯效應”。為了克服ROF模型的“階梯效應”，并且在去噪的同時保持圖像更多的細節(jié)特征，Lysaker等(2003)提出了兩種四階的PDE去噪模型，即將(1)式中泛函F1(u)替換為泛函F2(u)或泛函F3(u)，這里泛函F2(u)與泛函F3(u)分別為

與

相對于二階的ROF模型，四階的PDE去噪模型在紋理保持方面有了很大的改進。本文記極小化F2(u)的去噪模型為LLT1，記極小化F3(u)的去噪模型為LLT2。宋錦萍等(2009)利用圖像分解的思想方法，結(jié)合ROF模型與LLT1模型，提出了一種圖像分解去噪模型(DD模型)，該模型將噪聲圖像分解成結(jié)構(gòu)、紋理與噪聲三個部分。從計算結(jié)果和視覺效果上來看，該分解模型既能去噪，又能實現(xiàn)圖像的分解，并且能保留較多地紋理等細節(jié)特征信息。本文則是利用LLT2模型，結(jié)合圖像分解思想，提出一種新的圖像分解去噪模型。從(7)式可以看出，LLT2模型較LLT1模型更為復雜，算法的實現(xiàn)上也更難。提出圖像去噪分解模型為極小化泛函

使得

其中u為去噪后圖像的結(jié)構(gòu)部分，v為去噪后圖像的紋理部分，f為原始噪聲圖像，0＜β＜1為一常數(shù)。一般地，β越大，v中包含的紋理信息越多;反之，v中包含的紋理信息越少。那么去噪后該模型可以將圖像分解為結(jié)構(gòu)u，紋理v和噪聲η=f－u－v三部分，u+v即為去噪后的圖像。

2 算法的設計

利用變分方法，得到對應(8)式的Euler-Lagrange方程

其中f為噪聲圖像，u為去噪后圖像結(jié)構(gòu)部分，v為去噪后圖像紋理部分，

將方程(9)和(10)關(guān)于時間方向離散，分別得

(11)式中關(guān)于空間方向的一階和二階導數(shù)比較容易實現(xiàn)的(宋錦萍等，2009)。但是，(12)式中的四階偏導數(shù)的數(shù)值實現(xiàn)則相對更為困難，一般采用

3 實驗結(jié)果

選取Lenna圖像和Barbara圖像分別進行試驗，在原始圖像中加入σ =0.08的高斯白噪聲，并將新模型與DD模型的分解效果相比較，也與ROF模型，LLT1模型，LLT2模型，與DD模型去噪效果相比較。新模型中選取參數(shù) β =0.1，Δt1=0.02，Δt2=0.1，DD模型中選取 α =0.1，Δt1與 Δt2參數(shù)值與新模型一致，ROF模型時間步長 Δt為0.02，LLT1與LLT2的時間步長均為0.1。為了更加明顯地觀察圖像分解去噪效果，最后將Barbara圖像局部進行分解去噪，并給出結(jié)果的比較。對于試驗結(jié)果，引入均方誤差(Mean Square Error，MSE)和峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)兩個指標，其定義分別如下:

圖1給出了Lenna圖像的試驗結(jié)果。其中，圖1m，n，o，p為本文新模型所得結(jié)果，與DD模型所得結(jié)果對應。為了定量地評價這些模型，在表1中分別給出了ROF模型，LLT1模型，LLT2模型，DD模型和新模型的MSE和PSNR。

表1 去噪方法MSE與PSNR值比較(Lenna圖像)Table1 MSE and PSNR comparison on Lenna image

此外，用Barbara圖像進行試驗(圖2)，其中子圖的含義同圖1。表2對應了幾種模型對Barbara圖像去噪后的MSE值和PSNR值的比較。為了更加明顯地表現(xiàn)各個模型的去噪特征，對Barabar圖像的局部進行放大觀察(圖3)。

表2 幾種去噪方法MSE與PSNR值比較(Barbara圖像)Table1 MSE and PSNR comparison on Barbara image

從圖1，圖2和圖3中可以看出，新模型與DD模型都可以將圖像的結(jié)構(gòu)，紋理部分區(qū)別開來。ROF模型去噪后圖像中存在著“階梯效應”，而在LLT1和LLT2模型，DD模型和本文提出的新模型中，這種現(xiàn)象減弱很多，而且新模型對于圖像的紋理部分的保持也較好。從殘差圖像的比較，發(fā)現(xiàn)幾種模型的去噪圖像中都存在著一定紋理等細節(jié)特征的損失。為了定量地表現(xiàn)這些模型去噪效果的區(qū)別，從表1，表2中的MSE值和PSNR值來看，DD分解模型和本文提出的新模型的MSE值要明顯小于其它模型，同時，PSNR的值也相對較大。而從表1，表2來看，新模型的MSE值均稍微小于DD分解模型，也就說明新模型的去噪效果較好于其他幾種模型。

4 結(jié)論

本文在分析ROF模型和LLT2模型去噪效果的基礎上，提出了一種新的圖像分解去噪模型，新模型不僅可以去除圖像噪聲，而且可以分別提取噪聲圖像的結(jié)構(gòu)部分和紋理部分，為以后進一步的圖像分析提供條件。此外，從仿真模擬實驗的去噪結(jié)果上看，本文提出的新模型去噪效果略優(yōu)于其他幾個已有模型效果。

圖1 Lenna圖像去噪結(jié)果Fig.1 The denoising effect on Lenna image

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圖2 Barbara圖像去噪結(jié)果Fig.2 The denoising effect on Barbara image

圖3 Barbara局部圖像去噪結(jié)果Fig.3 The magnified local denoising effect of Barbara image

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