一維三振子周期結(jié)構(gòu)帶隙設(shè)計(jì)*

高明 吳志強(qiáng)

1)(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院力學(xué)系,天津 300072)

2)(山東科技大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系,青島 266590)

(2012年12月24日收到;2013年4月1日收到修改稿)

1 引言

周期結(jié)構(gòu)是由基本單元在空間周期排列形成的結(jié)構(gòu).在土木工程、機(jī)械動(dòng)力、航空航天等領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用,如加筋梁板、蜂窩結(jié)構(gòu)、柵格結(jié)構(gòu)、階梯軸等[1].聲子/光子晶體也是典型的周期結(jié)構(gòu)，其彈性常數(shù)/介電常數(shù)周期性變化，且具有彈性波/電磁波帶隙[2],是當(dāng)今物理學(xué)、光電子學(xué)、電磁場理論、材料科學(xué)、納米技術(shù)、微機(jī)電等領(lǐng)域共同關(guān)注的研究熱點(diǎn).

周期結(jié)構(gòu)具有特殊的色散關(guān)系,色散關(guān)系曲線之間的頻率范圍稱為帶隙,帶隙頻率范圍內(nèi)的彈性波傳播受到抑制,而其他頻率范圍(通帶)內(nèi)的彈性波可以無損耗地傳播[3].因此,周期結(jié)構(gòu)可作為減振單元用于振動(dòng)控制[4-7].由于是寬頻帶的振動(dòng)控制方法,對(duì)激勵(lì)頻率的波動(dòng)不敏感,既適合于激勵(lì)源的頻率不穩(wěn)定的振動(dòng)控制,也適用于共振頻率密集結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制.

計(jì)算帶隙是周期結(jié)構(gòu)研究的重要問題,已發(fā)展的計(jì)算方法主要包括傳遞矩陣法[8]、平面波展開法[9]、時(shí)域有限差分法[10]、多重散射法[11]、集中質(zhì)量法[12,13]等.其中集中質(zhì)量法有精度高、收斂性好等優(yōu)點(diǎn),特別適合一維周期結(jié)構(gòu)的帶隙計(jì)算.利用集中質(zhì)量法可將一維周期結(jié)構(gòu)等效為周期彈簧振子系統(tǒng)[12-14],振子的質(zhì)量和彈簧的剛度由一維周期結(jié)構(gòu)中的等效彈性模量、長度、截面尺寸等參數(shù)得到.已有研究表明,既可以適當(dāng)選擇周期結(jié)構(gòu)中單元的材料和幾何參數(shù),調(diào)節(jié)周期結(jié)構(gòu)帶隙范圍[3,5],也可利用智能材料(如壓電晶體[4,15-17]、形狀記憶合金[18,19]、功能梯度材料[20,21]等)主動(dòng)改變彈性模量,調(diào)節(jié)帶隙范圍.

目前有關(guān)帶隙的研究,大部分從正問題的角度進(jìn)行討論,而對(duì)如何設(shè)計(jì)周期結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)特定頻率范圍的帶隙這一反問題,還極少涉及.因此,發(fā)展周期結(jié)構(gòu)帶隙設(shè)計(jì)方法有重要的理論意義和潛在的工程應(yīng)用價(jià)值.

作為帶隙設(shè)計(jì)的初步探討,本文針對(duì)一維三振子周期結(jié)構(gòu),引入奇異性理論分析其色散曲線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),給出帶隙起止頻率的計(jì)算公式,進(jìn)而提出此類結(jié)構(gòu)帶隙設(shè)計(jì)方法并進(jìn)行驗(yàn)證.

2 帶隙計(jì)算

圖1所示為一個(gè)無限周期彈簧振子結(jié)構(gòu).每個(gè)周期由3個(gè)彈簧及振子串聯(lián)而成,相應(yīng)的彈簧剛度系數(shù)為k1,k2,k3,相應(yīng)的振子質(zhì)量為m1,m2,m3,相鄰振子間距均為d,每個(gè)周期的長度為a=3d.如圖1,假定彈簧的質(zhì)量全部集中在振子上,且振子只能在圖示的水平方向即x方向運(yùn)動(dòng),xj為對(duì)應(yīng)振子mj的位移.對(duì)于第 j個(gè)振子,其運(yùn)動(dòng)方程為

根據(jù)Bloch定理[22],在周期邊界條件下,上述運(yùn)動(dòng)方程的解可寫為振幅為A,角頻率為ω的簡諧振動(dòng)：

式中 jq表示第 j個(gè)振子的位相因子,q為波矢,在第一Brillouin區(qū)即(-π/a,π/a)取值.

圖1 一維三振子周期結(jié)構(gòu)

將(2)式代入((1)式,得：)

由于彈簧振子結(jié)構(gòu)周期排列,在周期邊界條件下有：

方程(3)可簡化為

要使系統(tǒng)中存在形如(2)式的振動(dòng)形式,則(5)式系數(shù)行列式必須等于零,即

將特定的m1,m2,m3和k1,k2,k3代入(6)式,且令qd∈(-π/3,π/3)便可得到三條色散曲線.圖2所示為m1=1 kg,m2=0.2 kg,m3=0.77 kg,k1=k2=k3=800 N/m的色散曲線.色散曲線上的每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于周期結(jié)構(gòu)中的一種彈性波的傳播模式.所有色散關(guān)系曲線都不經(jīng)過的頻率范圍形成帶隙,如圖2陰影部分所示.顯然,帶隙上下限值與色散曲線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有關(guān).(6)式中參數(shù)變化時(shí),會(huì)不會(huì)導(dǎo)致色散曲線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化還沒有明確結(jié)論,為此下節(jié)引入分岔分析的奇異性理論進(jìn)行討論.

圖2 一維三振子周期結(jié)構(gòu)色散曲線

3 奇異性分析及帶隙起止頻率

由于方程(6)中有6個(gè)參數(shù)m1,m2,m3和k1,k2,k3,數(shù)目較多,不便于進(jìn)行分析,下面對(duì)其進(jìn)行無量綱化處理.令：

則方程(6)可簡化為無量綱方程：該方程描述了無量綱參數(shù)與無量綱頻率間的關(guān)系.當(dāng)m21=m31=k21=k31=1時(shí),帶隙不存在,本文不考慮這種特殊情況.

若視q為分岔參數(shù),w為狀態(tài)變量,則根據(jù)奇異性理論[23],方程(8)對(duì)應(yīng)的色散曲線存在不同形式的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)時(shí),參數(shù)空間中必然存在非空的臨界參數(shù)集合,即轉(zhuǎn)遷集.轉(zhuǎn)遷集將參數(shù)空間分成不同區(qū)域,不同區(qū)域中的分岔曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)一般是不同的.相反,如果所有轉(zhuǎn)遷集都為空集,則色散曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不隨參數(shù)的變化而變化,也就說完全可按圖2的特點(diǎn)來確定帶隙的位置.

若記w0=w2,gw0,gw0w0和gq分別為g關(guān)于w0的一階、二階導(dǎo)數(shù)和關(guān)于q的一階導(dǎo)數(shù).則轉(zhuǎn)遷集包括分岔集B,滯后集H和雙極限點(diǎn)集DL,分別為

g,gw0和gw0w0的表達(dá)式見附錄.

先計(jì)算分岔集B：

若視(12)式為關(guān)于m21的一元二次方程，則由于判別式可知(12)式?jīng)]有m21實(shí)數(shù)根,也就是說沒有任何參數(shù)組合滿足分岔集B的條件,集合B為空集.

再看滯后集H：

由gw0=gw0w0=0聯(lián)立消去的w0,可得參數(shù)需滿足的方程為

同樣，由于其判別式

可知方程(13)無解,因此集合H也為空集.

對(duì)于雙極限點(diǎn)集DL而言,因g關(guān)于w0最高次次數(shù)為3,也為空集.

B,H和DL均為空集,表明不管周期結(jié)構(gòu)的質(zhì)量參數(shù)和剛度參數(shù)如何變化,色散曲線均保持圖2所示的結(jié)構(gòu).又由(8)式可知色散曲線極值點(diǎn)位置也只與qd有關(guān),而與其他參數(shù)無關(guān).因此第一帶隙的上下限恒為圖2①,②點(diǎn)的頻率值,第二帶隙的上下限恒為圖2③,④點(diǎn)的頻率值.

由一元三次代數(shù)方程的求根公式，可得第一帶隙的起始頻率、截止頻率為

第二帶隙的起始頻率、截止頻率為

其中,

4 帶隙設(shè)計(jì)方法及舉例

由于在振動(dòng)帶隙內(nèi),結(jié)構(gòu)沒有對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模式,即當(dāng)外激勵(lì)頻率在帶隙范圍內(nèi)時(shí),振動(dòng)在結(jié)構(gòu)中的傳播大大減弱.帶隙設(shè)計(jì)的任務(wù)就是根據(jù)外激勵(lì)頻率的范圍,選取合適振子的質(zhì)量和彈簧剛度,使外激勵(lì)頻率落在帶隙范圍內(nèi),從而起到隔振減振的效果.

4.1 帶隙設(shè)計(jì)方法

根據(jù)以上奇異性分析結(jié)果,振動(dòng)帶隙的起止頻率只與三條色散曲線的邊值點(diǎn)有關(guān).控制帶隙范圍主要控制色散曲線的邊值點(diǎn)(圖2中的①—④點(diǎn))的數(shù)值即可.因此,帶隙設(shè)計(jì)可按以下步驟進(jìn)行：

1)將所需設(shè)計(jì)的第一、二帶隙的無量綱邊值條件wI1,wI2,wII1,wII2依次代入無量綱色散方程中,得到含有m21,m31,k21和k31的關(guān)系式;

2)找到滿足帶隙設(shè)計(jì)要求的m21,m31,k21和k31取值范圍;

3)在各參數(shù)的取值范圍內(nèi),選取合理數(shù)值,根據(jù)實(shí)際工程情況,選取實(shí)際參數(shù)完成帶隙設(shè)計(jì).

為簡便起見,下面針對(duì)等剛度和等質(zhì)量兩種情況分別進(jìn)行帶隙設(shè)計(jì).

4.2 等剛度系統(tǒng)帶隙設(shè)計(jì)

對(duì)于等剛度系統(tǒng),k21=k31=1,(8)式簡化為

假如設(shè)計(jì)第一帶隙角頻率為11.5—18 rad/s,第二帶隙角頻率為25—40 rad/s,即圖2中①—④各極值點(diǎn)的數(shù)值分別為

則可取對(duì)應(yīng)無量綱頻率帶隙邊值條件w1=wI1=1.15,w2=wI2=1.8,w3=wII1=2.5,w4=wII2=4,在方程(14)關(guān)于w的解中分別找到與四個(gè)邊值條件對(duì)應(yīng)的三條色散曲線上①—④的數(shù)值,得到質(zhì)量比m21,m31需滿足的條件,畫出m21,m31的關(guān)系曲線,如圖3中①—④所示.

圖3 等剛度系統(tǒng)振子質(zhì)量比設(shè)計(jì)區(qū)域

實(shí)際帶隙的寬度不小于設(shè)計(jì)帶隙即滿足設(shè)計(jì)要求.具體來說,①點(diǎn)數(shù)值小于1.15,②點(diǎn)的數(shù)值大于1.8,③點(diǎn)數(shù)值小于2.5,④點(diǎn)數(shù)值大于4.易于驗(yàn)證在圖3中陰影區(qū)選擇m21和m31時(shí),上述要求即可滿足.以下通過例子驗(yàn)證這一結(jié)論是正確的.

今選取陰影區(qū)域中的一點(diǎn)m21=0.14,m31=0.43.再根據(jù)(15)式的設(shè)計(jì)要求,可以把頻率的數(shù)值取為10,實(shí)際參數(shù)選取如下：

將(16)式各值代入(6)式,畫出色散曲線如圖4(a)所示.從圖中可以看出,①—④點(diǎn)全部滿足(15)式的設(shè)計(jì)要求.為驗(yàn)證帶隙設(shè)計(jì)結(jié)果的正確性,畫出10個(gè)周期三振子系統(tǒng)振動(dòng)傳輸特性曲線,如圖4(b)所示,可以看出在振幅較大衰減的區(qū)域恰好與帶隙位置相對(duì)應(yīng).說明在等剛度情況下,本文提出的設(shè)計(jì)方法是有效的.

圖4 等剛度系統(tǒng)色散曲線與傳輸特性曲線圖

4.3 等質(zhì)量系統(tǒng)帶隙設(shè)計(jì)

對(duì)于等質(zhì)量系統(tǒng)m21=m31=1,(8)式簡化為

假設(shè)還按(15)式的帶隙設(shè)計(jì)要求,取對(duì)應(yīng)無量綱頻率帶隙邊值條件w1=wI1=1.15,w2=wI2=1.8,w3=wII1=2.5,w4=wII2=4,由方程(17)可得到質(zhì)量比k21,k31所需滿足的條件,畫出k21,k31的關(guān)系曲線,如圖5中①—④所示.在圖5陰影區(qū)域選擇滿足帶隙設(shè)計(jì)要求的一點(diǎn)k21=10,m31=2.5.仍然可以把頻率的數(shù)值取為10,實(shí)際參數(shù)選取如下：

將(18)式各值代入(6)式,畫出色散曲線如圖6(a)所示.圖6(b)為10個(gè)周期三振子系統(tǒng)的振動(dòng)傳輸特性曲線.從圖中可以看出,①—④點(diǎn)亦全部滿足(15)式的設(shè)計(jì)要求.因此在等質(zhì)量情況下,本文提出的設(shè)計(jì)方法也是有效的.對(duì)不等剛度和不等質(zhì)量的情況,由于受篇幅限制,此處不再舉例.

利用集中質(zhì)量法中振子質(zhì)量和彈簧剛度與連續(xù)介質(zhì)材料參數(shù)之間的關(guān)系,可將周期彈簧振子結(jié)構(gòu)帶隙設(shè)計(jì)方法應(yīng)用到一維桿狀周期結(jié)構(gòu)帶隙設(shè)計(jì)中,還可以對(duì)含有智能材料主動(dòng)構(gòu)件的周期結(jié)構(gòu)進(jìn)行帶隙設(shè)計(jì).也可應(yīng)用于聲子晶體的帶隙設(shè)計(jì),不僅有助于推動(dòng)聲子晶體在減振降噪中早日得到廣泛應(yīng)用,還將為光子晶體的帶隙設(shè)計(jì)提供參考.

圖5 等質(zhì)量系統(tǒng)彈簧剛度設(shè)計(jì)區(qū)域

圖6 等質(zhì)量系統(tǒng)色散曲線與傳輸特性曲線圖

5 結(jié)論

針對(duì)一維三振子周期結(jié)構(gòu),對(duì)其色散方程進(jìn)行奇異性分析,表明色散曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不隨質(zhì)量和剛度等參數(shù)的變化而變化,進(jìn)而確定帶隙范圍,給出兩個(gè)帶隙起止頻率公式.作為帶隙設(shè)計(jì)實(shí)例,分別對(duì)等剛度和等質(zhì)量系統(tǒng)兩種情況進(jìn)行了討論,給出了具體設(shè)計(jì)過程,通過具體算例進(jìn)行了驗(yàn)證.設(shè)計(jì)結(jié)果能夠達(dá)到預(yù)期目的.這為在減振降噪等領(lǐng)域設(shè)計(jì)周期結(jié)構(gòu)提供了一定的理論依據(jù)和參考.

附錄 g,gw0和gw0w0的表達(dá)式

[1]Chen B,Huang X C 2011 Noise and Vibration Control 31 37(in Chinese)[陳斌,黃修長2011噪聲與振動(dòng)控制31 37]

[2]Wen X S2006 Theoryand Technologyof Photonic and Phononic Crystals(Beijing：Science Press)p4(in Chinese)[溫熙森 2006 光子/聲子晶體理論與技術(shù)(北京：科學(xué)出版社)第4頁]

[3]Wen JH 2005 Ph.D.Dissertation(Changsha：National University of Defense Technology)(in Chinese)[溫激鴻2005博士學(xué)位論文(長沙：國防科技大學(xué))]

[4]Asiri S,Baz A,Pines D 2006 Smart Mater.Struct.15 1707

[5]Richards D,Pines D J2003 J.Sound Vib.264 317

[6]Huang X C,Feng G P,Zhang Z Y,Hua H X 2010 Noise and Vibration Control 30 9(in Chinese)[黃修長,馮國平,張志誼,華宏星2010噪聲與振動(dòng)控制30 9]

[7]Cheng S X 2012 M.S.Dissertation(Shanghai：Shanghai Jiao Tong University)(in Chinese)[程世祥2012碩士學(xué)位論文(上海：上海交通大學(xué))]

[8]Shen H J,Wen JH,Yu D L,Wen X S 2009 Acta Phys.Sin.58 8357(in Chinese)[沈惠杰,溫激鴻,郁殿龍,溫熙森2009物理學(xué)報(bào)58 8357]

[9]Cao Y J,Yun GH,Na RS2011 Acta Phys.Sin.60 077502(in Chinese)[曹永軍,云國宏,那日蘇2011物理學(xué)報(bào)60 077502]

[10]Kafesaki M,Sigalas M M,Garcia N 2000 Phys.Rev.Lett.85 4044

[11]Psarobas IE,Stefanou N,Modinos A 2000 Phys.Rev.B 62 278

[12]Wang G,Wen JH,Liu Y Z 2004 Phys.Rev.B 69 184302

[13]Wen JH,Wang G,Liu Y Z,Yu D L 2004 Acta Phys.Sin.53 3384(in Chinese)[溫激鴻,王剛,劉耀宗,郁殿龍2004物理學(xué)報(bào)53 3384]

[14]Baz A 2001 J.Vib.Acoust.123 472

[15]Singh A,Pines D J,Baz A 2004 Smart Mater.Struct.13 698

[16]Wang G,Chen SB,Wen JH 2010 Smart Mater.Struct.20 015026

[17]Thorp O,Ruzzene M,Baz A 2001 Smart Mater.Struct.10 979

[18]Ruzzene M,Baz A 2000 Smart Mater.Struct.9 805

[19]Yeh JY,Chen L W 2006 Compos.Struct.73 53

[20]Su X L,Gao Y W 2010 J.Functional Mater.41 368(in Chinese)[宿星亮,高原文2010功能材料41 368]

[21]Wu M L,Wu L Y,Yang WP 2009 Smart Mater.Struct.18 115013

[22]Huang K 1988 Solid State Physics(Beijing：Higher Education Press)p154(in Chinese)[黃昆1988固體物理學(xué)(北京：高等教育出版社)第154頁]

[23]Golubitsky M,Schaeffer D G 1985 Singularitiesand Groupsin Bifurcation Theory(Vol.1)p140(New York：Springer-Verlag)