幺正極限附近費(fèi)米氣體反常激發(fā)模式的渦旋*

周昱 周青春 馬曉棟

1)(江蘇科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院,鎮(zhèn)江 212003)

2)(新疆師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,烏魯木齊 830054)

(2013年3月12日收到;2013年3月20日收到修改稿)

1 引言

得益于實(shí)驗(yàn)技術(shù)的進(jìn)步和測量精度的提高,冷原子體系作為一種新穎的可操控宏觀量子系統(tǒng),近來受到廣泛關(guān)注和重視,已成為物理學(xué)重要交叉研究領(lǐng)域.這不僅是由于對該系統(tǒng)本身理論研究的重要性,而且由于冷原子體系,特別是費(fèi)米原子體系被認(rèn)為是可從實(shí)驗(yàn)角度研究從傳統(tǒng)BCS超流到玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)(BEC)轉(zhuǎn)變的一個(gè)重要載體.除已有的分別對BEC和BCS超流這兩種體系的研究外,從BCS超流到BEC的轉(zhuǎn)變已被公認(rèn)為是在實(shí)驗(yàn)室條件可控范圍內(nèi)對許多現(xiàn)實(shí)物理體系模擬的良好平臺[1],例如凝聚態(tài)物理中的一些強(qiáng)相互作用問題和天體物理中的一些以往無法通過實(shí)驗(yàn)?zāi)M的問題[2].由于冷原子體系的主要研究對象是稀薄原子(分子)體系,相比于普通凝聚態(tài)物質(zhì)具有更好的純凈性和可操控性,且一個(gè)重要方面是在這個(gè)體系中,原子間相互作用(粒子間散射長度)可以通過外加磁場調(diào)節(jié)[3],進(jìn)而使得體系在不同相互作用條件下處于不同超流態(tài).理論和實(shí)驗(yàn)針對這一系統(tǒng)進(jìn)行了大量研究并且仍在繼續(xù)[2].實(shí)驗(yàn)上,利用激光冷卻和囚禁技術(shù),可以使得體系的溫度低至nK數(shù)量級[3].

超流體與普通流體的最大區(qū)別除了其通過毛細(xì)管的無黏滯性外,是其中可出現(xiàn)量子化渦旋[4],這種量子行為沒有經(jīng)典對應(yīng).盡管已有大量有關(guān)費(fèi)米氣體的集體激發(fā)、自由膨脹、干涉、孤子等方面的結(jié)果可以從不同角度揭示體系的超流態(tài)性質(zhì)[5-14],但最有力的說明體系處于超流態(tài)的證據(jù)卻是在該系統(tǒng)中能夠產(chǎn)生量子化渦旋[15].已有一些文獻(xiàn)利用諸如博戈留波夫-德熱納(BdG)方程來研究體系的不含時(shí)性質(zhì)或靜態(tài)渦旋[16],但研究體系渦旋的含時(shí)演化卻更為重要和具有現(xiàn)實(shí)意義.本文利用含時(shí)密度泛函理論研究零溫超流費(fèi)米氣體在幺正極限附近的渦旋行為,給出具有負(fù)頻率的反常激發(fā)模式,這導(dǎo)致了在外勢旋轉(zhuǎn)速度小于某一臨界值時(shí)渦旋的進(jìn)動.

2 模型

考慮配對的費(fèi)米氣體的基態(tài),其密度ns=n/2(n是原子密度),定義無量綱的相互作用參數(shù)η=1/(kFas),其中kF和as分別是費(fèi)米波數(shù)kF=(6π2ns)1/3和s-波散射長度.可以通過如上無量綱相互作用參數(shù)η區(qū)分不同的超流區(qū)域,分別是 BCS(η＜-1),BEC(η＞1)和 BCS-BEC交叉(-1＜η＜1)區(qū)域;當(dāng)η→±∞時(shí)系統(tǒng)處于BCS(η→-∞)或 BEC(η→+∞)極限;η=0處稱為幺正極限,此時(shí)對應(yīng)于粒子間的散射長度發(fā)散(as→±∞),幺正極限附近的費(fèi)米氣體由于處于強(qiáng)相互作用區(qū)域且相互作用可調(diào),故而性質(zhì)尤為引人注意[3].諸多理論和實(shí)驗(yàn)研究都顯示從BCS到BEC的相變是連續(xù)且光滑的,這就表明可以用統(tǒng)一的理論框架描述處于不同超流區(qū)域的費(fèi)米氣體.

許多理論研究是利用推廣的BCS平均場理論求解體系的渦旋性質(zhì),但這些利用不含時(shí)BdG方程來研究渦旋的做法無法應(yīng)用到對含時(shí)演化等問題的研究上.考慮到超冷情況下,低能集體激發(fā)不可能由于形成單粒子激發(fā)而衰減(熱激發(fā)效應(yīng)的影響很小),故該體系可以認(rèn)為是處于超流態(tài).利用含時(shí)密度泛函理論,作∫用泛函可寫為[7,14]

其中Ψ是超流體序參量,這里的拉格朗日密度為

H?0=-hˉ2/2M+Vs為 單[個(gè) 費(fèi) 米 子對 的]哈 密 頓量,諧振子勢Vs=Mω⊥2(x2+y2)+λ2z2/2,各向異性參數(shù)λ=ωz/ω⊥,費(fèi)米子對質(zhì)量 M=2m.(2)式中額外的能量項(xiàng)-ΩL?z計(jì)入考慮是因?yàn)榧俣ㄍ鈩菀越撬俣圈咐@軸轉(zhuǎn)動,角動量算符L?z=-ihˉ(x?y-y?x);μs0,ns0分別為參考化學(xué)勢和粒子對密度,ns0通常取為費(fèi)米氣體在諧振子中心的密度.μs0= εF0[σ(η0)-η0σ(′(η0)/5)],其中εF0=hˉk2F0/2m,η0=1/kF0as,kF0=6π2ns01/3.將不同大小的不同|η0|內(nèi)插關(guān)于σ(η0)的一些理論漸進(jìn)表達(dá)式,代入可以得到普遍公式σ(η0)=α1-α2arctan[α3η0(β1+|η0|)/(β2+|η0|)],內(nèi)插參數(shù)αi(i=1,2,3)和βj(j=1,2)已由文獻(xiàn)[14]給出,有效多方指數(shù)也隨之可寫為 γ=(2σ/3-2η0σ′/5+η02σ′′/15)/(σ-η0σ′/5).

描述Ψ的歐拉-拉格朗日方程可以通過對作用泛函(1)式取極小得到,這樣得到描述超流費(fèi)米氣體的序參量Ψ(r,t)所滿足的推廣的Gross-Pitaevskii(GP)方程這里μs(ns)=μs0(ns/ns0)γ是系統(tǒng)的態(tài)方程(化學(xué)勢),不同的超流區(qū)域可以由不同的μs刻畫.利用多方近似可在不同超流區(qū)得到渦旋激發(fā)模式的本征頻率和本征值的表達(dá)式.實(shí)際上,γ隨η0的慢變性質(zhì)使得所研究的相關(guān)問題可以得到與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)符合的解析表達(dá)[7-10].

3 渦旋態(tài)反常模的動力學(xué)及其解

現(xiàn)在考慮在幺正極限附近單個(gè)渦旋的動力學(xué)演化.為方便起見,引入無量綱變量√ (x′,y′)=(x,y)/R⊥,z′=z/Rz,t′√= ω⊥t,Ψ′=Ψ√/ns0,Ω′=Ω/ω⊥,其中R⊥=hˉ/Mω⊥,Rz=hˉ/Mωz,如此,將撇號去掉后,拉格朗日密度可以∫重寫為

其中

這里 μ?=μs0/[2π(γ+1)hˉω⊥],Vtr(r)=(x2+y2+λ2z2)/2,? =(?/?x,?/?y,λ?/?z).

假定系統(tǒng)中產(chǎn)生近軸的單個(gè)渦旋線,則選取形如[17,18]

的試探波函數(shù)描述渦旋的含時(shí)演化,系數(shù)A(t)滿足歸一化條件;函數(shù)f(r)代表了勢阱內(nèi)遠(yuǎn)離渦旋核心的渦線,其近似形式為 f(r)=eiφ;函數(shù)F(r)描述體系的密度分布;渦旋線和體系的中心位置分別由矢量rv(t)=(xv(t),yv(t),0)和rf(t)=(xf(t),yf(t),0)表示,考慮渦旋的動力學(xué),這里也必須包括凝聚體的速度αx(t)和αy(t).

考慮渦旋和系統(tǒng)整體的運(yùn)動,假設(shè)體系形狀較小,也就是系統(tǒng)處于弱耦合極限,于是試探波函數(shù)可以取為形如

對展開做近似,取有限項(xiàng)得到

而

至此,得到了在幺正極限附近含單個(gè)渦旋的旋轉(zhuǎn)超流費(fèi)米氣體

這里令d=rf-rv及s=2rf-rv,且利用近似C2γ+2≈1-(γ+1)d2.當(dāng) γ=1 時(shí) (8)式可以褪化到BEC極限的情形[17,18].從Leff的表達(dá)式可得由六個(gè)參數(shù)表示的六個(gè)耦合一階微分方程,用來描述速度場和體系及渦旋中心的位置.利用消去αx(t)和αy(t)得到兩個(gè)分別描述位置d和s的方程組如下：

其中頻率

上述微分方程描述了系統(tǒng)的運(yùn)動,所以下面將看到d和s分別與不同的描述渦旋運(yùn)動的激發(fā)模式相聯(lián)系.我們所關(guān)注的是反常模式d的激發(fā).

4 渦旋進(jìn)動的反常激發(fā)模式

反常激發(fā)模式對應(yīng)于渦旋核心繞勢阱中心的進(jìn)動,由當(dāng)s=0時(shí)的d來表示,這首先在BEC中在對博格留波夫方程的研究中被發(fā)現(xiàn)[4].(11)式中頻率為ωan的模式具有2rf=rv的性質(zhì),亦即渦旋距阱中心的位置是凝聚體中心位置的兩倍,這同樣也對可從限制條件xfyv=xvyf看出.對應(yīng)的運(yùn)動方程和方程(10a)形式類似,是一組二維線性微分方程,其通解形如

從上面的解可以看出渦旋核心和體系本身處于進(jìn)動,小振幅運(yùn)動rv的大小為rf的兩倍.這表明一種動力學(xué)不穩(wěn)定性,這種系統(tǒng)除了在有外加角動量的情況下本性地具有不穩(wěn)定性.在這種系統(tǒng)中,甚至可以出現(xiàn)具有負(fù)頻率的模式,使得渦旋在沿外勢軸的繞行中不穩(wěn)定.

圖1 外勢臨界轉(zhuǎn)動頻率在不同徑向囚禁頻率時(shí)隨粒子間相互作用的變化關(guān)系

反常模式的性質(zhì)與原子間相互作用密切相關(guān),因?yàn)橛?11)式知其表達(dá)式ωan中含有γ(η0),當(dāng)ωan=0時(shí)的臨界頻率Ωc刻畫了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性,此時(shí)渦旋不再進(jìn)動.考慮配對的40K原子,粒子數(shù)目為N=1.3×104,徑向囚禁頻分別為ω⊥=60,130,270,520×2πHz.圖1中顯示臨界頻率Ωc隨著系統(tǒng)從BCS往BEC區(qū)域過渡的過程中越來越大,最終在BEC區(qū)域趨向于定值1.并且,在幺正極限附近,尤其是左側(cè)(BCS區(qū)域)隨著ω⊥的增加Ωc迅速減小;但是如果考慮BEC端,則可以發(fā)現(xiàn)Ωc將逐漸趨向于一個(gè)常數(shù)值.當(dāng)η0＞1,這些不同頻率的ω⊥對應(yīng)的曲線最終將重合.還可以發(fā)現(xiàn),BCS區(qū)的臨界頻率比在BEC區(qū)的小,而這也和在集體激發(fā)的計(jì)算和實(shí)驗(yàn)中所得到的結(jié)果一致.所有的Ωc曲線都趨于同一個(gè)值的行為與在BEC情況下得到的結(jié)論一致,表明了在BEC中這種反常模式發(fā)生的臨界頻率與ω⊥無關(guān).

如果沒有外加角動量(即Ω=0),則ωan=-Ωc,得到逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的渦旋解,其負(fù)頻率由(11)式給出,周期為 T0=2π/|ωan|(在圖 2 中給出).這個(gè)周期當(dāng)系統(tǒng)從BCS到BEC轉(zhuǎn)化的過程中逐漸變小,最終在BEC區(qū)域趨向于一個(gè)定值;并且,當(dāng)徑向囚禁頻率增強(qiáng)時(shí),這個(gè)周期在BCS區(qū)域迅速增加;而在BEC區(qū),當(dāng)η0＞1時(shí)隨著不同的徑向囚禁頻率則很難區(qū)分不同曲線的值.當(dāng)增加外勢旋轉(zhuǎn)頻率Ω,負(fù)的反常模頻率逐漸增加并趨向于零,最終在Ω=Ωc處消失.當(dāng)Ω＞Ωc時(shí),顯然運(yùn)動開始反向,變?yōu)轫槙r(shí)針方向.反常模式的頻率(周期)在BCS區(qū)域比在BEC區(qū)域更小(大),這也和已有的集體激發(fā)的結(jié)果符合.

圖2 渦旋周期在不同徑向囚禁外勢下隨粒子間相互作用的關(guān)系

5 結(jié)論

通過選取適當(dāng)?shù)脑囂讲ê瘮?shù),本文利用變分法研究了處于幺正極限附近的超流費(fèi)米氣體的單個(gè)渦旋隨時(shí)間的演化行為,得到了反常激發(fā)模式的解及其進(jìn)動,討論了幺正極限附近反常模式產(chǎn)生的條件.給出了系統(tǒng)囚禁外勢的臨界轉(zhuǎn)動頻率隨不同徑向囚禁勢阱頻率的關(guān)系,并給出渦旋周期隨不同徑向囚禁外勢下隨粒子間相互作用的變化.發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)從BCS端過渡到BEC端時(shí),外勢的臨界轉(zhuǎn)動頻率越來越大,并且徑向囚禁越大,臨界轉(zhuǎn)動頻率越小;而渦旋運(yùn)動的周期則隨不同徑向囚禁頻率在從BCS到BEC轉(zhuǎn)變過程中越來越小.外勢的臨界轉(zhuǎn)動頻率和渦旋的運(yùn)動周期在BEC端都趨于一個(gè)常數(shù).本文給出的費(fèi)米氣體的相關(guān)結(jié)論在BEC端的結(jié)果和已有的BEC結(jié)論符合.

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