基于數(shù)值方法的內(nèi)超環(huán)面齒輪齒廓離散建模

洪 玫， 姚立綱

（福州大學(xué)機械工程學(xué)院，福建 福州 350108）

基于數(shù)值方法的內(nèi)超環(huán)面齒輪齒廓離散建模

洪 玫， 姚立綱

（福州大學(xué)機械工程學(xué)院，福建 福州 350108）

超環(huán)面行星蝸桿傳動系統(tǒng)中的關(guān)鍵零件內(nèi)超環(huán)面齒輪的齒面是一種復(fù)雜的空間曲面。為了實現(xiàn)復(fù)雜曲面的數(shù)控加工和采用有限元方法對其進(jìn)行接觸分析時，能否獲得精確的內(nèi)超環(huán)面齒輪的實體模型是解決問題的關(guān)鍵。本文針對內(nèi)超環(huán)面齒輪數(shù)字化建模問題，根據(jù)內(nèi)超環(huán)面齒輪的數(shù)學(xué)模型，對其螺旋齒面進(jìn)行網(wǎng)格劃分，提出基于數(shù)值方法的內(nèi)超環(huán)面齒輪離散建模方法。該方法采用截平面蔟將內(nèi)超環(huán)面齒輪模型離散成數(shù)據(jù)點云，從而獲得內(nèi)超環(huán)面齒輪離散模型，為后期的復(fù)雜曲面插值重構(gòu)提供了基礎(chǔ)。

超環(huán)面行星蝸桿傳動；內(nèi)超環(huán)面齒輪；離散建模；實體模型

超環(huán)面行星蝸桿傳動，如圖1所示，由中心蝸桿、行星蝸輪、內(nèi)超環(huán)面齒輪、行星架以及滾動體組成，它將蝸桿傳動和行星傳動有機地結(jié)合成一體，是一種滾動嚙合的行星蝸桿傳動。這種傳動機構(gòu)工作時，運動由中心蝸桿軸輸入并帶動行星蝸輪旋轉(zhuǎn)，當(dāng)內(nèi)超環(huán)面齒輪不動時，行星蝸輪作環(huán)狀的螺旋運動，并通過與輸出軸固連的行星架實現(xiàn)運動的輸出。運動過程中，行星蝸輪既繞自身軸線旋轉(zhuǎn)又繞中心蝸桿軸線公轉(zhuǎn)，形成了內(nèi)超環(huán)面齒輪。國內(nèi)外學(xué)者對超環(huán)面行星蝸桿傳動的嚙合理論[1-2]，加工制造[3-4]、承載能力[5-6]和摩擦、磨損[7-12]等方面進(jìn)行了深入研究。

圖1 超環(huán)面行星蝸桿傳動

超環(huán)面行星蝸桿傳動中內(nèi)超環(huán)面齒輪和中心蝸桿的齒廓都是復(fù)雜的空間曲面，為保證超環(huán)面行星蝸桿系統(tǒng)的傳動精度，建立內(nèi)超環(huán)面齒輪和中心蝸桿的齒廓的精確數(shù)字化模型是亟待解決的關(guān)鍵問題之一，也是嚙合傳動領(lǐng)域的研究熱點。目前，內(nèi)超環(huán)面齒輪和中心蝸桿的實體模型主要是采用solidworks，Pro/E等三維CAD軟件來建立[13]。該方法是利用特定截面齒廓,根據(jù)一定的路徑掃描生成內(nèi)超環(huán)面齒輪和中心蝸桿齒面的。以內(nèi)超環(huán)面齒輪建模為例，首先，根據(jù)內(nèi)超環(huán)面齒輪齒面的螺旋線方程，通過數(shù)值計算獲得螺旋線上一系列點的坐標(biāo)值，將坐標(biāo)值導(dǎo)入solidworks，得到螺旋線，然后在螺旋線法平面上畫出內(nèi)超環(huán)面齒輪齒面的法面齒形，將此法面齒形沿螺旋線掃面切除，即完成對內(nèi)超環(huán)面齒輪的三維實體建模。雖然內(nèi)超環(huán)面齒輪齒面的法面齒廓是圓，但在其他任何平面內(nèi)，其齒廓卻是一條空間曲線，因此，采用該種方法所生成的內(nèi)超環(huán)面齒輪實體模型存在理論誤差。

關(guān)于其他復(fù)雜曲面齒輪三維幾何建模的國內(nèi)外主要研究方法如下，國外Litvin[14]、QiFan[15]分別通過接觸分析，加工原理建立了螺旋錐齒輪齒面數(shù)學(xué)模型，但沒有詳細(xì)的三維實體模型建立過程。國內(nèi)王裕清[16]等根據(jù)弧齒錐齒輪齒面4條邊界信息點構(gòu)造三維齒面模型，提出了運用NURBS進(jìn)行曲面逼近，從而實現(xiàn)輪齒實體模擬的方法。唐進(jìn)元[17]等利用虛擬制造方法模擬準(zhǔn)雙曲面齒輪加工過程，對其齒面和過度齒面包絡(luò)曲線蔟進(jìn)行曲面擬合得到含過渡曲面的準(zhǔn)雙曲面齒輪的三維幾何模型。譚昕[18-19]等運用數(shù)值方法得到平面二次包絡(luò)蝸輪理論齒面的離散模型，并采用三角B-B曲面片進(jìn)行插值重構(gòu)建模。

為了提高內(nèi)超環(huán)面齒輪實體模型的精確性，從而更好的實現(xiàn)復(fù)雜曲面數(shù)控加工，本文以網(wǎng)格狀曲面為基礎(chǔ)，提出基于數(shù)值方法的內(nèi)超環(huán)面齒輪齒廓離散建模方法。

1 內(nèi)超環(huán)面齒輪的數(shù)學(xué)模型

內(nèi)超環(huán)面齒輪齒廓離散建模的關(guān)鍵是齒廓數(shù)學(xué)模型的正確建立，如圖2所示，為剖視的內(nèi)超環(huán)面齒輪三維實體模型。它由螺旋齒廓齒面、旋轉(zhuǎn)曲面和兩個端面組成。

圖2 剖視的內(nèi)超環(huán)面齒輪三維實體模型和單個螺旋齒面

1.1 內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面的數(shù)學(xué)模型

內(nèi)超環(huán)面齒輪的螺旋齒面)3(Σ是由行星蝸輪齒面)2(Σ的運動包絡(luò)而成的。如圖3所示，建立的空間坐標(biāo)系，表示行星蝸輪與內(nèi)超環(huán)面齒輪的嚙合情況。在圖3中，內(nèi)超環(huán)面齒輪到行星蝸輪的中心距為0a， ),,(3333kjiS為內(nèi)超環(huán)面齒輪的參考坐標(biāo)系， ),,(2222kjiS為行星蝸輪的參考坐標(biāo)系；),,(3333′′′′kjiS為內(nèi)超環(huán)面齒輪的動坐標(biāo)系，與內(nèi)超環(huán)面齒輪固連，),,(2222′′′′kjiS為行星蝸輪的動坐標(biāo)系，與行星蝸輪固連。動坐標(biāo)系3′S、2′S分別跟隨內(nèi)超環(huán)面齒輪、行星蝸輪繞軸3′k、2′k以3ω、2ω的角速度旋轉(zhuǎn)，3φ、2φ分別為螺旋齒面)3(Σ、)2(Σ相對于它們的參考坐標(biāo)系3S、2S的轉(zhuǎn)角。

圖3 行星蝸輪與內(nèi)超環(huán)面齒輪嚙合坐標(biāo)系

行星蝸輪的球形輪齒是內(nèi)超環(huán)面齒輪齒廓的包絡(luò)母面，如圖4所示為其在空間坐標(biāo)系2'S中的位置， ),,(0000kjiS為球形滾動體的參考坐標(biāo)系，),,(0000′′′′kjiS為球形滾動體的動坐標(biāo)系，與球形滾珠固連。球形滾珠半徑為ρ，u、v為滾珠的球面參數(shù)。

圖4 行星蝸輪與內(nèi)超環(huán)面齒輪嚙合坐標(biāo)系

由圖4經(jīng)坐標(biāo)變換，可得行星蝸輪輪齒在坐標(biāo)系2S′中的方程為：

由齒輪嚙合原理[20]，兩共軛齒面Σ(2)、Σ( 3)的嚙合方程、嚙合函數(shù)為：

式(2)、式(3)中，n2′為行星蝸輪與內(nèi)超環(huán)面齒輪嚙合點處的公法幺矢；v(2′3′)為行星蝸輪與內(nèi)超環(huán)面齒輪在嚙合點處的相對速度矢量?？梢酝茖?dǎo)出內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面方程如下：

式(1)、式(4)中，r2、i23及a0都是已知常數(shù)，u、v均為滾珠球面參數(shù)。內(nèi)超環(huán)面齒輪齒面方程是關(guān)于 (φ3, φ2)的參數(shù)方程。u是隨行星蝸輪轉(zhuǎn)角φ2而改變的變量，當(dāng)給定一個φ2的范圍，u的取值范圍隨之確定。v的取值范圍是[- π / 2,π / 2]。

1.2 內(nèi)超環(huán)面齒輪旋轉(zhuǎn)曲面的數(shù)學(xué)模型

內(nèi)超環(huán)面齒輪旋轉(zhuǎn)曲面方程為：

式(5)中，r2是行星蝸輪計算圓半徑，γ3=[- π 3, π 3]，θ3=[0,2π]，γ3是結(jié)合內(nèi)超環(huán)面齒輪包容行星蝸輪的包角spE來取值的，而3θ則根據(jù)內(nèi)超環(huán)面齒輪繞其軸線旋轉(zhuǎn)一周的變化范圍所確定的。

2 內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面網(wǎng)格的劃分

內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面是復(fù)雜的空間曲面，為了獲得齒面精確的數(shù)字化模型，本文采用網(wǎng)格狀曲面模型來表達(dá)其理論齒面，如圖5所示。所謂網(wǎng)格狀曲面，就是用滿足一定精度要求的離散的小曲面片來近似表達(dá)整張曲面。根據(jù)內(nèi)超環(huán)面齒輪接觸線方程，提取網(wǎng)格曲面信息點，從而建立網(wǎng)格狀曲面模型來近似表達(dá)內(nèi)超環(huán)面齒輪理論螺旋齒面。

圖5 內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面網(wǎng)格狀模型（單齒）

2.1 網(wǎng)格曲面信息點的確定

為了將內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面離散化，可采用與內(nèi)超環(huán)面齒輪端面平行的截平面蔟如圖6所示與其理論接觸線求交來獲得齒面點。

圖6 截平面蔟位置

若用n個截平面與齒面n條接觸線求交，可獲得m×n個齒面信息點，這些齒面信息點就構(gòu)成了內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面的離散數(shù)據(jù)點云。決定這些離散小曲面片的大小和位置的就是這些離散數(shù)據(jù)點，用矩陣形式來表示即為：

可以通過網(wǎng)格加密來保證內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面的離散模型精度，即通過改變截平面的個數(shù)n和內(nèi)超環(huán)面齒輪接觸線的條數(shù)m來控制網(wǎng)格間距，網(wǎng)格間距越小，誤差越小。

2.2 螺旋齒面離散數(shù)據(jù)點的求解算法

如圖 6所示，設(shè)kz為截平面在z軸上的截距，則截平面方程為：

聯(lián)立式(4)和式(6)，可獲得內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面和截平面截交線的非線性方程組，即：

在給定截平面的情況下，運用對分法求解方程(7)

1） 確定有根區(qū)間

根據(jù)超環(huán)面行星蝸桿傳動系統(tǒng)基本設(shè)計參數(shù)確定行星蝸輪轉(zhuǎn)角φ2的工作范圍[φ2a, φ2b]，分別計算F(φ2a)和F(φ2b)。將φ2的工作范圍[φ2a, φ2b]分成n個單調(diào)區(qū)間，φ2i=φ2a+ih,h= ( φ2b-φ2a)/n，(i=1,…,n)，按步長逐步搜索，若F(φ2i)F(φ2i+1) ＜ 0，則確定了一個有根區(qū)間。

2） 對分法求方程的根

假設(shè)找到的有根單調(diào)區(qū)間為 [φ2a1, φ2b1]，取區(qū) 間 的 中 點 φm= ( φ2a1+ φ2b1)/2， 檢 查F(φ2a1)F(φm) ＜ 0是 否 成立 。 若成 立， 則 取[φ2a1,φm] 為搜索區(qū)間，否則，取 [φm, φ2b1]為搜索區(qū)間，反復(fù)執(zhí)行上述步驟，直到對分區(qū)間縮小到允許的誤差范圍之內(nèi)。

根據(jù)根據(jù)上述算法，在Matlab中建立內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面單齒離散模型，因為內(nèi)超環(huán)面齒輪有23個齒且均勻分布在其旋轉(zhuǎn)曲面上，因此，將所得的單齒螺旋齒面離散模型陣列為23等分，從而得到內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面離散模型，如圖7所示。

圖7 內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面單齒和23齒離散模型

3 內(nèi)超環(huán)面齒輪離散模型的建立

3.1 旋轉(zhuǎn)曲面離散模型

采用相同的方法，根據(jù)內(nèi)超環(huán)面旋轉(zhuǎn)曲面方程，用截平面蔟和旋轉(zhuǎn)曲面求交，可以獲得旋轉(zhuǎn)曲面離散信息點，在Matlab中建立內(nèi)超環(huán)面齒輪旋轉(zhuǎn)曲面離散模型，如圖8所示。

圖8 內(nèi)超環(huán)面齒輪旋轉(zhuǎn)齒面離散模型

3.2 螺旋曲面和旋轉(zhuǎn)曲面離散模型的合并與裁剪

為了獲得內(nèi)超環(huán)面齒輪的離散模型，必須將螺旋曲面和旋轉(zhuǎn)曲面合并，合并后發(fā)現(xiàn)兩個曲面有交叉，如圖9所示。因此，必須裁剪掉這些多余曲面。只要找到旋轉(zhuǎn)曲面和螺旋齒面的交線，然后將兩條交線之間的多余曲面裁剪掉，即可獲得內(nèi)超環(huán)面齒輪離散整體模型。

圖9 內(nèi)超環(huán)面齒輪離散合并模型

根據(jù)內(nèi)超環(huán)面齒輪接觸線方程，當(dāng)取v=-π / 2和v=π / 2時，可得到兩條邊界線。這兩條邊界線是內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面的兩個極限位置同時也是螺旋齒面和旋轉(zhuǎn)齒面的交線，如圖10所示。

指定一個截平面與旋轉(zhuǎn)曲面和螺旋曲面都相交，比較同一截平面處邊界數(shù)據(jù)點和旋轉(zhuǎn)曲面數(shù)據(jù)點坐標(biāo)的正切值，把正切值介于兩邊界數(shù)據(jù)點之間的旋轉(zhuǎn)曲面數(shù)據(jù)點屏蔽。從而解決了螺旋曲面和旋轉(zhuǎn)曲面合并后多余曲面的裁剪問題，如圖11所示。

圖10 內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面邊界線

圖11 內(nèi)超環(huán)面齒輪離散模型

由上述提出的內(nèi)超環(huán)面齒輪離散建模方法，本文利用南平南孚電池有限公司的 Marzak數(shù)控加工中心進(jìn)行了內(nèi)超環(huán)面齒輪的實際加工。圖12所示為在 Marzak數(shù)控加工中心上粗銑內(nèi)超環(huán)面齒輪內(nèi)圓環(huán)螺旋面的照片，圖13為精銑內(nèi)超環(huán)面齒輪內(nèi)圓環(huán)螺旋面的照片。圖14為在數(shù)控加工中心中加工制造出來的內(nèi)超環(huán)面齒輪的實物照片。

圖12 內(nèi)超環(huán)面內(nèi)圓環(huán)螺旋面粗銑過程

圖13 內(nèi)超環(huán)面齒輪內(nèi)圓環(huán)螺旋面精銑過程

圖14 內(nèi)超環(huán)面齒輪實物照片

4 結(jié) 論

齒形復(fù)雜的齒輪副的數(shù)字化造型一直是個難點，現(xiàn)有的商業(yè)化CAD軟件solidworks，Pro/E等，建模的精度不夠高。本文通過截平面法將內(nèi)超環(huán)面齒輪模型表達(dá)為離散數(shù)據(jù)點云，從而獲得了內(nèi)超環(huán)面齒輪的離散模型。將提取的坐標(biāo)數(shù)據(jù)點導(dǎo)入solidworks等三維建模軟件進(jìn)行后期的插值處理，可獲得滿足數(shù)控加工要求的高精度的三維數(shù)字化模型，為實現(xiàn)超環(huán)面行星蝸桿傳動系統(tǒng)的數(shù)控加工提供了良好的基礎(chǔ)。

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Discrete Modeling of the Tooth Profile of the Stationary Internal Toroidal Based on Numerical Method

Hong Mei, Yao Ligang
( School of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fuzhou Fujian 350108, China )

The tooth surface of the stationary internal toroidal gear that is the key parts of the toroidal drive is a complex space curved surface. In order to realize the complex surface of the NC processing and using the finite element method for the contact analysis, whether obtaining the accurate entity model of the stationary internal toroidal gear or not is the key to resolving the problem. In this paper aiming at the stationary internal toroidal gear digital modeling problems,according to the mathematical model of the stationary internal toroidal gear, the grid division method of the helical tooth surface is given, the method of the stationary internal toroidal gear discrete modeling based on the numerical method is put forward. The method adopts cutting planes to scatter the stationary internal toroidal gear model into data point cloud, so as to get the stationary internal toroidal gear discrete model as the basis for later complex curved surface interpolation reconstruction.

toroidal drive; stationary internal toroidal gear; discrete modeling; entity model

TH 132

A

2095-302X (2013)04-0088-06

2012-10-29；定稿日期：2012-12-25

提高超環(huán)面行星蝸桿傳動精度的研究，國家自然科學(xué)基金資助項目（50675035）；超環(huán)面行星蝸桿傳動系統(tǒng)的修形設(shè)計與加工的研究，?？萍及l(fā)展基金項目（ 600621）

洪 玫（1980-），女，福建廈門人，講師，博士研究生，主要研究方向為數(shù)字化設(shè)計。E-mail：ahiahm@sohu.com