二維分立單原子FPU晶格中的q呼吸子存在及穩(wěn)定性分析

田 強，徐 權

(1.北京師范大學 物理系，北京 100875；2.大慶師范學院 物理與電氣信息工程學院，黑龍江 大慶 163712)

0 引言

非線性晶格振動的研究源于奇異的FPU統(tǒng)計難題。對于非線性晶格振動能量不均分以及回歸現(xiàn)象，F(xiàn)ord在1961年及Jackson在1963年做了進一步的驗證[1-2]，由此非線性晶格振動的研究圍繞FPU難題拉開了帷幕。首先比較圓滿地解釋FPU現(xiàn)象的是Zabusky和Kruskal，他們采用連續(xù)極限方法研究了一維低序、長波情況下的非線性晶格的振動行為[3-4]，得到了這一晶格系統(tǒng)的振動可用KdV方程來描述， KdV方程的解為孤子。而Chirikov等人則用動力學混沌閾值[5]圓滿地解釋了在什么條件下非線性晶格振動的能量才能滿足統(tǒng)計力學的性質——能量按自由度平均分配。同時，他們還指出，這個閾值與晶格的非線性和能量的大小有關。也就是說當所選定非線性和能量的初始值低于這個閾值時，非線性晶格的振動出現(xiàn)穩(wěn)定的局域模；而高于這個閾值則局域模出現(xiàn)不穩(wěn)定最后達到混沌狀態(tài)。接下來人們把目光都集中在空間非線性居于性，能量模式局域被遺忘在角落里。直到2005年Flach等人又研究了能量模式局域的問題，即真正的FPU問題。但只是從普適性給出了FPU模型中q呼吸子的存在及穩(wěn)定特性[6-10]。2010年徐權等人利用特殊函數(shù)討論了一維FPU晶格中的q呼吸子問題，讓人們更直觀地看到了q呼吸子存在的行為。本文則利用特殊函數(shù)討論二維FPU晶格q呼吸子存在的行為。

1 分立的二維單原子α-FPU晶格中的q呼吸子

對于二維單原子α-FPU晶格，在最近鄰相互作用近似下系統(tǒng)的哈密頓為：

(1)

(2)

這里取M=1，我們考慮各向同性正方晶格，對于固定邊界條件u0=uN+1=0，方程的解可以寫成如下簡正坐標形式：

(3)

這里我們只考慮單個q呼吸子情況，即，ql=qm=q0，Qq0(t)≠0，ql≠q0，qm≠q0，Qqlqm(t)=0，式(3)可改寫為：

(4)

將式(4)代入到方程(2)有

(5)

這里

(6)

方程(5)有解的條件是方程右邊與(l+m)的值無關，即為零，所以有，q0=(2k+1)(N+1),k=0,1,2,…方程(5)變?yōu)?/p>

(7)

方程(7)的數(shù)值解如圖1所示

圖1 方程(7)的數(shù)值解

通過圖1我們可以知道二維單原子α-FPU晶格中存在三種q呼吸子，一種是周期q呼吸子如圖1(a)所示，其中K=1；一種是準周期q呼吸子如圖1(b)所示，其中K=0.1×[1-0.8cos(2.236t)]；一種是混沌q呼吸子如圖(c)所示，其中K=1.1×[1-0.8cos(2.236t)]。

2 分立的二維單原子β-FPU晶格中的q呼吸子

對于二維單原子β-FPU晶格，在最近鄰相互作用近似下系統(tǒng)的哈密頓為：

(8)

(9)

將式(4)代入到方程(9)有

(10)

這里

(11)

方程(10)有解的條件是方程右邊與(l+m)的值無關，即為零，所以有，q0=(2k+1)(N+1),k=0,1,2,…方程(10)變?yōu)?/p>

(12)

方程(12)的數(shù)值解也如圖1所示。通過圖1我們可以知道二維單原子β-FPU晶格中存在三種q呼吸子，一種是周期q呼吸子如圖1(a)所示，其中K=1；一種是準周期q呼吸子如圖1(b)所示，其中K=0.1×[1-0.8cos(2.236t)]；一種是混沌q呼吸子如圖(c)所示，其中K=1.1×[1-0.8cos(2.236t)]。

3 結語

通過特殊函數(shù)的方法我們將FPU模型分解為純空間和純時間兩個空間。并得到了對于q0取特定單值的情況下，時間微分方程才有解。并利用數(shù)值方法，得到了K取常數(shù)和周期函數(shù)時不同解的形式。q0取特定單值表示能量空間的局域性，即說明有q呼吸子的存在。而K取值決定q呼吸子的穩(wěn)定性，當K取常數(shù)而且小量的時候，是周期q呼吸子，當K取周期函數(shù)且小量時是準周期q呼吸子，當K取周期函數(shù)且比較大的時候是混沌q呼吸子?？梢奒取值直接決定q呼吸子的穩(wěn)定性問題，由此我們得到可以通過控制K取值來控制q呼吸子穩(wěn)定性問題，在實驗中可以通過在兩原子之間加上線性周期作用來實現(xiàn)。這樣就可以實現(xiàn)系統(tǒng)非線性局域行為的控制。

[參考文獻]

[1] Ford J.J. Equipartition of energy for nonlinear systems[J].Math. Phys. 1961, 2: 387-393.

[2] Jackson E.A. Nonlinear coupled oscillators. I. Perturbation theory: ergodic problems[J].Math. Phys., 1963, 4: 551-558 .

[3] Zabusky N. ，Kruskal M..Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states [J].Phys. Rev. Lett. ，1965, 15: 240-243 .

[4] Zabusky N.J..Solitons and energy transport in nonlinear lattice [J]. Comput. Phys. Commun.，1973, 5: 1-10 .

[5] Izrailev F.M. ，Chirikov B.V..Statistical properties of a nonlinear string [J]. Sov. phys. Dokl.，1966, 11: 30.

[6] Flach S., Ivanchenko M.V. ，Kanakov O.I.q-Breathers and the Fermi-Pasta-Ulam problem[J]. Phys. Rev. Lett.，2005 95: 064102.

[7] Ivanchenko M. V., Kanakov O.I., Mishagin K.G.，et al.q-Breathers in finite two- and three-dimensional nonlinear acoustic lattices[J].Phys. Rev. Lett.，2006, 97: 025505.

[8] Flach S., Ivanchenko M.V. ，Kanakov O.I..q-Breathers in Fermi-Pasta-Ulam chains: Existence, localization, and stability[J]. Phys. Rev. E 2006 73: 036618.

[9] Flach S..q-Breathers in FPU lattices scaling and properties for large system[J].Int. J. Mod. Phys. B 2007, 21(23&24): 3925-3932.

[10] Mishagin K.G., Flach S., Kanakov O.I.，et al.q-Breathers in discrete nonlinear Schrodinger lattices[J].N. J. Phys.，2008(10): 073034.