圖學(xué)計(jì)算基礎(chǔ)

于海燕， 蔡鴻明， 何援軍

（1. 東華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海 201620；2. 上海交通大學(xué)計(jì)算機(jī)系，上海 200240）

當(dāng)今計(jì)算機(jī)體系無法有效解決未來應(yīng)用對功能性提出的越來越高的要求，“人腦計(jì)算機(jī)時代”將挑戰(zhàn)統(tǒng)治計(jì)算機(jī)結(jié)構(gòu)50余年的馮·諾依曼體系[1]。同樣，圖學(xué)計(jì)算，作為圖學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)，對其計(jì)算精度要求越來越高，原有體系的穩(wěn)定性日益受到挑戰(zhàn)，一些原以為已成熟的算法逐漸暴露出問題。因此，有必要對圖學(xué)計(jì)算的內(nèi)涵、關(guān)鍵問題、研究方法進(jìn)行梳理與研究，探索穩(wěn)定、快速的圖形計(jì)算新理論與方法。

本文首先揭示圖形、圖像和視頻的本質(zhì)，探索圖學(xué)計(jì)算的內(nèi)涵，構(gòu)造圖學(xué)的公共基礎(chǔ)。從表現(xiàn)的視角理解圖形/圖像只是基本圖元不同組合的顯示方式，揭示圖形/圖像的幾何特性；從對圖形/圖像產(chǎn)生機(jī)理的梳理入手，分析圖形計(jì)算的矛盾，明確圖學(xué)計(jì)算的根本任務(wù)；從幾何奇異是造成幾何計(jì)算不穩(wěn)定性的本源入手，把握圖形計(jì)算的關(guān)鍵。

結(jié)合最新研究進(jìn)展，總結(jié)提煉圖學(xué)計(jì)算的研究動向，并基于計(jì)算與幾何兩個最核心的要素，進(jìn)一步闡述一種有別于代數(shù)化的幾何化計(jì)算理論。

1 圖學(xué)計(jì)算內(nèi)涵

回顧計(jì)算歷史，從石塊、貝殼到結(jié)繩計(jì)數(shù)，到算盤的出現(xiàn)，再到計(jì)算機(jī)的誕生，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人類社會進(jìn)入了一個嶄新的計(jì)算時代。從計(jì)數(shù)到推理、由實(shí)踐到理論，從自然科學(xué)到哲學(xué)命題，人類對于計(jì)算的認(rèn)識在不斷深入。

人類的思維是基于圖形的。人類的計(jì)算歷史與人從孩童到成年對數(shù)學(xué)的認(rèn)知?dú)v程一樣，也始于圖形，由具體的形，到抽象的形，再到更抽象的圖。至今我們?nèi)粤?xí)慣于通過在紙上涂涂畫畫的方式把復(fù)雜的問題分解提煉，抽象出其本質(zhì)，說明人類的計(jì)算是源于圖形、基于圖形的。

盡管圖形與圖像的處理方式存在差異，但是他們的計(jì)算基礎(chǔ)是相同的——從表現(xiàn)的視角理解，圖形與圖像都只是具有線形、寬度、顏色等屬性信息的基本圖元（點(diǎn)、線等幾何）的不同組合。例如，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的隱藏線消除算法與真實(shí)感圖形繪制算法是分別由三維場景生成圖形和圖像的典型算法。兩者在三維空間的主要計(jì)算都是直線（向量）與空間物體的求交計(jì)算，計(jì)算的目標(biāo)都是為了求得空間點(diǎn)，前者是2個點(diǎn)，后者是1個點(diǎn)，只是在最后的顯示階段，他們的工作才各走自己的路，一個取2個點(diǎn)得到線段及線的寬度、線型、顏色等屬性，組成圖形；另一個則只需計(jì)算1個點(diǎn)的色調(diào)、色飽和度和亮度等屬性，得到像素，組成圖像。

因此，組成圖形與圖像的基元是幾何，圖學(xué)計(jì)算的本質(zhì)是幾何計(jì)算。

1.1 圖、形、幾何與幾何計(jì)算

世界由形構(gòu)造，形由圖在畫面上顯示，形是圖之源。計(jì)算機(jī)背景下，圖學(xué)的主要工作是由圖顯示形，由圖構(gòu)造形，以及由一張圖變成另一張圖。

在計(jì)算機(jī)中，形與圖均由幾何描述，這里的幾何是點(diǎn)、線、面，常被稱為“幾何元”，這些不同的幾何元依照一定的拓?fù)潢P(guān)系構(gòu)造成不同的場景，在空間構(gòu)造形；通過投影在平面顯示圖，此時，點(diǎn)、線常被稱為“圖元”，不同屬性圖元的組合構(gòu)造了所有的圖形或圖像。

用兩個典型的例子說明圖、形、幾何與幾何計(jì)算的關(guān)系。隱藏線消除是由形顯示為圖形的典型算法。消隱過程是一條一條線的輸出，每條線需與場景中所有物體（面）進(jìn)行比較，線的各可見部分的交集即為此線的最終可見部分。因此，整個場景的輸出（顯示）過程就是一條一條地去確定場景中所有線條的哪些部分該顯示，哪些部分不該顯示。這涉及大量的幾何運(yùn)算和代數(shù)運(yùn)算。真實(shí)感圖形繪制是由形顯示為圖像的典型算法。這是一個光強(qiáng)與色彩的量化、紋理映射、圖像合成、幀緩存等基于物理、光學(xué)、色彩理論和技術(shù)的復(fù)雜計(jì)算過程。這里，貫穿整個算法的關(guān)鍵計(jì)算是從光源發(fā)出的每一條光線與景物表面的空間線面的求交，包括反射和折射計(jì)算，都是幾何求交、比較等的幾何計(jì)算。

基于以上分析，本質(zhì)上，圖、形、幾何與幾何計(jì)算的關(guān)系可以簡單的表述為：形是表示，是輸入，圖是展現(xiàn)、是輸出；形與圖的基本元素是幾何，形的構(gòu)造與圖的形成的本質(zhì)是幾何的定義、構(gòu)造、度量和顯示。

1.2 圖形的本質(zhì)

人工生命理論的創(chuàng)立者蘭頓(Chris Langton)認(rèn)為[2]，生命的本質(zhì)不在于具體的物質(zhì)，而在物質(zhì)的組織形式；這種組織原完全可以用算法或程序表達(dá)出來，所以，只要能將物質(zhì)按著正確的形式構(gòu)建起來，這個新的系統(tǒng)就可以表現(xiàn)出生命?！倍@種所謂的“正確的形式”就是生命的算法或程序。所以，算法和程序是把非生命和生命連接起來的橋梁，是生命的靈魂。這在圖上也體現(xiàn)出來，下面以兩個簡單例子說明這個論點(diǎn)。

圖1(a)表示平面上由4個點(diǎn)構(gòu)造的矩形，它們的拓?fù)潢P(guān)系為1-2-3-4-1。圖1(b)是保持拓?fù)潢P(guān)系而改變其中一個點(diǎn)(3)的幾何參數(shù)，它仍能揭示原圖的基本構(gòu)圖形狀。而圖1(c)則僅改變了4個點(diǎn)之間的連接關(guān)系，幾何參數(shù)完全相同的點(diǎn)因拓?fù)潢P(guān)系的不同而構(gòu)成了完全不同的圖形。

對圖 2左上角所顯示的三維空間框架施以不同的裁剪，就得到不同的圖，這些圖反映在人們大腦中是不同的形，或是實(shí)心的、或是空心的、或是盒子，等等。這里，空間線的幾何參數(shù)并沒有改變，只是線的部分被用于構(gòu)成圖形，本質(zhì)上也是幾何元的拓?fù)潢P(guān)系改變導(dǎo)致展現(xiàn)了不同的形。

圖1 圖元關(guān)系的改變導(dǎo)致圖的大變形

圖2 幾何元的不同部分展現(xiàn)了不同的形

因此，圖形的本質(zhì)不是構(gòu)成圖形的圖元本身，而在于圖元的組織形式，決定于圖元之間的相互關(guān)系。

1.3 圖形計(jì)算的矛盾

還有一個問題存在于圖形計(jì)算的過程中：“形是二維或三維的，圖是二維的，計(jì)算是一維的?！逼鋵?shí)，長期以來人們習(xí)慣的基于代數(shù)的數(shù)計(jì)算一直蘊(yùn)涵著“一維計(jì)算處理二維問題”這樣一個矛盾，遺憾的是，這個矛盾并沒有引起人們足夠的重視。正如吳文俊先生總結(jié)數(shù)學(xué)機(jī)械化的實(shí)質(zhì)是“把質(zhì)的困難轉(zhuǎn)化為量的復(fù)雜”一樣，人們習(xí)慣于這樣的復(fù)雜。

計(jì)算不應(yīng)該僅僅局限于數(shù)的一維計(jì)算機(jī)制，也要考慮形的二維形計(jì)算機(jī)制。有必要厘清形、數(shù)、人在圖形計(jì)算中的特點(diǎn)與關(guān)系，盡可能充分的發(fā)揮各自的作用，探索形、數(shù)、人相結(jié)合的圖形計(jì)算理論，探索求解圖形問題的新方向、新方法。應(yīng)該以人的三維思維，從形的角度，依賴于幾何計(jì)算、數(shù)字計(jì)算以及計(jì)算機(jī)的算法等去構(gòu)建圖學(xué)的計(jì)算基礎(chǔ)。

1.4 圖形計(jì)算的關(guān)鍵

一種計(jì)算方法的提出，一個算法的設(shè)計(jì)首先要考慮的因素就是較高的穩(wěn)定性，較低的復(fù)雜性，再考慮易讀性、可交流性等伴隨要求。計(jì)算的復(fù)雜度與穩(wěn)定性是計(jì)算的兩個關(guān)鍵問題，也是圖學(xué)計(jì)算中的關(guān)鍵問題。

計(jì)算復(fù)雜度包括空間復(fù)雜性和時間復(fù)雜性?？臻g復(fù)雜性一般指存儲量的問題，時間復(fù)雜性則是指計(jì)算的工作量問題。一般從量與質(zhì)兩個方面去降低計(jì)算的復(fù)雜度，或者減少計(jì)算對象的數(shù)目，或者降低參與計(jì)算對象的復(fù)雜度。

計(jì)算穩(wěn)定性問題是一個長期的難題，本質(zhì)是計(jì)算正（準(zhǔn)）確性問題。即使在一些已被廣泛使用的大型應(yīng)用系統(tǒng)中，也存在幾何引擎的穩(wěn)定性問題。這里有理論問題，也有實(shí)施問題。導(dǎo)致幾何計(jì)算不穩(wěn)定主要有兩個原因，一是由數(shù)字計(jì)算誤差引起，通常與數(shù)制及計(jì)算方法有關(guān)；二是由幾何本身原因引起，因幾何間的重疊（共點(diǎn)、共線、共面等）引起的幾何奇異而造成判斷的不確定性。

2 研究動態(tài)

圖形計(jì)算基于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論、幾何與代數(shù)。由于計(jì)算機(jī)的介入，代數(shù)計(jì)算發(fā)揮了更多的作用，但是，對圖形來說，它的基本元素是點(diǎn)與線，因此在圖學(xué)中應(yīng)更多的發(fā)揮幾何本身的特性。國外在這方面做了很多的工作。

文獻(xiàn)[3]提出了一個隱式曲面（例如仿射度量、共線法線向量和法線向量、仿射高斯、平均曲率）的局部仿射結(jié)構(gòu)的估計(jì)量，給出了一個更加簡單和穩(wěn)定的幾何簡化，避免了直接求導(dǎo)而導(dǎo)致的巨大的計(jì)算量和數(shù)據(jù)的不穩(wěn)定。文獻(xiàn)[4]通過空間有理立方 Bezier曲線研究了拉格朗日幾何插值。此論文展示了在某些自然條件下，插值問題的解是存在并唯一的。論文中多個例子說明了非線性幾何細(xì)分算法的應(yīng)用前景。文獻(xiàn)[5]通過單調(diào)螺旋五次曲線研究了包含終點(diǎn)、切線、曲率的幾何Hermite數(shù)據(jù)插值?；趯臻gPythagorean速度曲線的Hopf映射方程，論文展現(xiàn)了通過解決某一單一變量 12維的多項(xiàng)式方程可以決定幾何Hermite插值。文獻(xiàn)[6]通過開發(fā)一套系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡描述機(jī)制來實(shí)現(xiàn)有效的運(yùn)動軌跡描述。論文作者提出了一個靈活的運(yùn)動軌跡信號描述工具，采用移動框架技術(shù)實(shí)現(xiàn)公式化運(yùn)動軌跡再生。該研究在機(jī)器人學(xué)習(xí)等方面將有較廣闊應(yīng)用前景。

文獻(xiàn)[7]采用光線投射法(ray casting)表示圓球，避免了采用多邊形化(polygonization)方法表示帶來的缺陷，并提出了一種基于 GPU的快速光線投射方法來渲染圓球，很好地解決了因此帶來的大量計(jì)算。文獻(xiàn)[8]提出了一個渲染大型復(fù)雜場景下圖像的全局光照效果的軟件系統(tǒng)，通過采用GPU，大幅提高了整體的渲染速度。

文獻(xiàn)[9]提出了基于二維空間的光線傳播模型，建立了用來簡化復(fù)雜的全局光照理論的理論框架。這種概念上“降維”的方式帶來了不少切實(shí)的好處：各種全局光照概念在2D中的可視化變得更加容易；處理2D光線傳輸及其派生物所需的計(jì)算時間大幅減少，這使建模和實(shí)驗(yàn)更加簡單；由于2D中光線傳輸?shù)谋磉_(dá)式比較簡單，復(fù)雜的全局光照概念的導(dǎo)出變得相對容易；文中描述的2D全局光照框架也有在教育方面的潛在應(yīng)用。文獻(xiàn)[10]提出了一種從3D圖像中識別并提取出重復(fù)出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)的計(jì)算架構(gòu)，通過一種對相似變換(similarity transformations)的恰當(dāng)表示將該問題規(guī)約到2D的網(wǎng)格中，采用了一種優(yōu)化算法來探測這些網(wǎng)格。該算法在有異常值和缺失信息的情況下也有很好的穩(wěn)健性，因此在復(fù)雜且紊亂的圖中也可以有效地發(fā)現(xiàn)重復(fù)結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[11]介紹了一種分層發(fā)型合成架構(gòu)，它把發(fā)型同時看作一個3D向量場和一個發(fā)束在頭皮上的2D分布圖，只需提供一種真實(shí)的發(fā)型，就可以合成一個從空間的發(fā)束到幾何細(xì)節(jié)都滿足統(tǒng)計(jì)上相似的模型。

從以上文獻(xiàn)可以看出，近年，在代數(shù)化的基礎(chǔ)上，幾何問題已經(jīng)傾向于采用更簡潔直觀的幾何方法。這種方法的推進(jìn)，還需要理論層面的支撐。

3 幾何化的圖學(xué)計(jì)算理論與方法

圍繞圖學(xué)計(jì)算的矛盾與關(guān)鍵問題的研究，我們已經(jīng)建立了“幾何問題幾何化”的幾何計(jì)算的全新理論框架及整套實(shí)用算法，處理幾何表示、幾何創(chuàng)建和幾何計(jì)算中的各種問題。根據(jù)幾何問題幾何化的理論，國內(nèi)學(xué)者提出了以“形計(jì)算”補(bǔ)充“數(shù)計(jì)算”的論點(diǎn)，構(gòu)建了基于“幾何基”和“幾何數(shù)”的“形計(jì)算”機(jī)制，對數(shù)計(jì)算的非可讀性、幾何奇異引起的計(jì)算不穩(wěn)定性等方面有了較大的改善。

1） 以形學(xué)統(tǒng)一幾何與畫法幾何理論

現(xiàn)在似乎沒有人將畫法幾何列入幾何的范疇。其實(shí)，畫法幾何研究的基本對象也是幾何，也是研究形的科學(xué)。國內(nèi)學(xué)者已經(jīng)從形的角度去揭示畫法幾何與幾何的共性問題，將其應(yīng)用于幾何計(jì)算中[12-14]。探索以形為核心，綜合地、巧妙地融合幾何、畫法幾何、代數(shù)與計(jì)算機(jī)的多學(xué)科理論與方法，將各學(xué)科的長處融合在一起。反過來，這又為畫法幾何計(jì)算化提供了一條新途徑，這是多學(xué)科理論與方法的融合與相輔相成。

2） 以圖統(tǒng)一圖形與圖像

傳統(tǒng)意義上的圖形與圖像是有區(qū)別的。計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展使圖形與圖像的區(qū)別逐漸被模糊化，例如在計(jì)算機(jī)屏幕上，展現(xiàn)在人們面前的，不管是圖形還是圖像，都是由離散的像素組成的畫面（圖）。因此，在計(jì)算機(jī)語境下用“圖”來統(tǒng)稱圖形與圖像是合適的，這種統(tǒng)一對圖學(xué)科學(xué)的發(fā)展是十分有益的，它統(tǒng)一了圖學(xué)計(jì)算的源頭。

3） 數(shù)計(jì)算與形計(jì)算構(gòu)成完整的算學(xué)

上世紀(jì) 80年代起，國內(nèi)外就利用現(xiàn)代計(jì)算工具對畫法幾何等傳統(tǒng)形計(jì)算進(jìn)行改造，但大都采取代數(shù)化思路，掩蓋了其本身的光芒。其實(shí)，形一般是二維以上的，它的關(guān)鍵是幾何間的拓?fù)潢P(guān)系，代數(shù)是一維的，它是線性的有序的運(yùn)算，兩者的矛盾十分明顯。在Leibniz“形式化整個數(shù)學(xué)，使之變成一個龐大的代數(shù)機(jī)器”的學(xué)術(shù)目標(biāo)影響下，圖形本身的直觀、簡潔優(yōu)勢似乎蕩然無存，更減弱了人類直覺這個最有力的武器。圖學(xué)計(jì)算的關(guān)鍵字是圖，計(jì)算也應(yīng)基于圖，因此，用包含形計(jì)算與數(shù)計(jì)算的算學(xué)來統(tǒng)一圖學(xué)的計(jì)算基礎(chǔ)更為合理。

4） 幾何計(jì)算理論

文獻(xiàn)[12]首次以“幾何計(jì)算”的方式闡述幾何算法，認(rèn)為幾何的定義、構(gòu)造、度量、顯示以及相關(guān)處理（幾何相交、幾何碰撞、幾何分析等）就是幾何計(jì)算。與數(shù)字計(jì)算是以“數(shù)字”作為計(jì)算對象不同，幾何計(jì)算以各種“幾何”作為計(jì)算對象，研究基于幾何（元）計(jì)算的理論與方法。通過引入幾何基與幾何數(shù)，構(gòu)建了一個幾“幾何問題幾何化的幾何計(jì)算的理論體系和實(shí)施框架。將求解幾何問題變成為如何尋找這些幾何基的某一個序列，使計(jì)算的每一個步驟帶有幾何意義，形成一種形計(jì)算機(jī)制。 主要包括以下理論：

· 幾何問題幾何化：幾何代數(shù)化并非是解決幾何問題的必由之路，順其自然是處理問題的最好方式，回歸幾何，淡化幾何問題的代數(shù)（方程）方法，強(qiáng)調(diào)從幾何的角度，用幾何的方法去處理幾何問題。

· 解表述的多樣化：在計(jì)算機(jī)科學(xué)高度發(fā)達(dá)的今天，有必要重新審視計(jì)算結(jié)果的表述形式，不能一味追求所謂顯式解，應(yīng)該考慮幾何、代數(shù)、畫法幾何、計(jì)算機(jī)科學(xué)等綜合的理論、計(jì)算方法、方式與計(jì)算結(jié)果表述。

· 形計(jì)算機(jī)制：提出了一種基于幾何的形計(jì)算機(jī)制，它是對傳統(tǒng)數(shù)計(jì)算的一種補(bǔ)充。這個形計(jì)算機(jī)制基于以下兩點(diǎn)認(rèn)識基礎(chǔ)。引入“幾何基”，用幾何基的序列構(gòu)造幾何解。在數(shù)計(jì)算層面，充分利用笛卡兒創(chuàng)立的坐標(biāo)幾何思想，用幾何代數(shù)化方法構(gòu)建一些基本幾何基，作為常用的作圖工具。在形計(jì)算層面，則是從幾何的角度，去尋求幾何問題的幾何基求解序列。

· 幾何計(jì)算的穩(wěn)定性：計(jì)算的復(fù)雜度與穩(wěn)定性是計(jì)算的兩個關(guān)鍵問題。一種計(jì)算方法的提出，一個算法的設(shè)計(jì)首先要考慮的因素就是較高的穩(wěn)定性，較低的復(fù)雜性，再考慮其他易讀性、可交流性等伴隨要求。引入“幾何數(shù)”，用幾何數(shù)更好的表示問題的幾何結(jié)構(gòu)和幾何性質(zhì)，使幾何奇異的判定與解決轉(zhuǎn)化成幾何數(shù)的簡單數(shù)字運(yùn)算，從理論上構(gòu)建了一個解決幾何奇異問題的完整解決方案。簡化幾何計(jì)算的復(fù)雜性，使幾何計(jì)算的穩(wěn)定性和計(jì)算效率大大提高。

文獻(xiàn)[15]對這種幾何化的圖學(xué)計(jì)算理論的應(yīng)用作了探索，提出了一種基于投影降維的空間兩三角形求交檢測算法。引入“計(jì)算坐標(biāo)系”，如圖3所示，使“幾何奇異”狀態(tài)最后歸結(jié)為平面上線段被三角形裁剪時的共點(diǎn)、共線問題，如圖4所示，簡單而明晰，從理論上保證了算法的魯棒性。

圖3 計(jì)算坐標(biāo)系下兩三角形交線的計(jì)算

圖 4 水平線段與三角形位置分布的奇異情況

4 總 結(jié)

圖學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)面臨新的挑戰(zhàn)，為此需要更優(yōu)秀的圖學(xué)計(jì)算理論、算法和系統(tǒng)架構(gòu)，從而滿足精確性、魯棒性和可擴(kuò)展性的需要。圖學(xué)計(jì)算將向著多元化、多學(xué)科相融合的方向發(fā)展，穩(wěn)定性將成為圖學(xué)計(jì)算的研究熱點(diǎn)與難點(diǎn)。

本文從圖形計(jì)算的內(nèi)涵與本質(zhì)分析出發(fā)，指出幾何代數(shù)化方法存在的用一維的代數(shù)方法決定二維幾何關(guān)系的矛盾；結(jié)合圖形計(jì)算的最新動態(tài)與應(yīng)用需求，指出圖學(xué)計(jì)算基礎(chǔ)革新的趨勢：探索一種發(fā)揮幾何直觀簡潔特點(diǎn)的幾何化求解方法，追求形、數(shù)結(jié)合的新突破。

幾何問題幾何化理論是具有革新意義的基礎(chǔ)理論，它與形計(jì)算機(jī)制將挑戰(zhàn)數(shù)百年來的幾何代數(shù)之路。具體而言：淡化幾何問題的代數(shù)化方法，“回歸幾何”，擴(kuò)大幾何的自然屬性在幾何問題求解中的作用，解決“用一維的代數(shù)方法去決定二維幾何關(guān)系”的矛盾；探索一種“從定性、直觀的角度去思考，以定量、有序的方式去求解”的圖學(xué)計(jì)算理論和方法，達(dá)到形思考、數(shù)計(jì)算或定性思考、定量求解的境界；尋求建立一種“三維思維，二維圖解，一維計(jì)算”的多維空間融合，追求形、數(shù)結(jié)合突破的形計(jì)算機(jī)制。此外，今后的研究會更關(guān)注于計(jì)算穩(wěn)定性問題。完善基于“幾何基”和“幾何數(shù)”的“形計(jì)算”機(jī)制，將對數(shù)計(jì)算的非可讀性、幾何奇異引起的計(jì)算不穩(wěn)定性等方面有較大的改善。

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