基于隨機(jī)利率和通貨膨脹的繳費(fèi)確定型養(yǎng)老金計(jì)劃最優(yōu)資產(chǎn)配置策略

殷 俊，李媛媛

(武漢大學(xué)社會(huì)保障研究中心，湖北武漢 430072)

基于隨機(jī)利率和通貨膨脹的繳費(fèi)確定型養(yǎng)老金計(jì)劃最優(yōu)資產(chǎn)配置策略

殷 俊，李媛媛

(武漢大學(xué)社會(huì)保障研究中心，湖北武漢 430072)

在隨機(jī)利率和通貨膨脹的背景條件下，應(yīng)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，提出一個(gè)連續(xù)時(shí)間數(shù)學(xué)模型來(lái)分析動(dòng)態(tài)資產(chǎn)組合選擇，主要研究繳費(fèi)確定型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)資產(chǎn)配置策略，旨在使其最終實(shí)際財(cái)富的期望效用最大化。用Cox–Ingersoll–Ross(CIR)過(guò)程來(lái)模擬名義利率的動(dòng)態(tài)變化，用通貨膨脹指數(shù)化債券來(lái)有效的對(duì)沖通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)。通過(guò)應(yīng)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，得出在CRRA效用函數(shù)下的最優(yōu)資產(chǎn)配置策略。最后通過(guò)數(shù)值分析并計(jì)算出解析解來(lái)說(shuō)明動(dòng)態(tài)投資策略，可以幫助繳費(fèi)確定型養(yǎng)老金計(jì)劃的參與者建立自己的養(yǎng)老基金投資組合，根據(jù)其風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度從現(xiàn)有的個(gè)人養(yǎng)老金產(chǎn)品中進(jìn)行選擇，并提出基于養(yǎng)老金受益人生命周期及不同風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資策略。

繳費(fèi)確定型;養(yǎng)老金;隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃;資產(chǎn)配置;通貨膨脹

一、引言和文獻(xiàn)回顧

隨著世界經(jīng)濟(jì)和社會(huì)的發(fā)展，社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)制度在老年人的生活保障中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用，個(gè)人養(yǎng)老金的投資也得到廣泛關(guān)注。在養(yǎng)老金計(jì)劃的設(shè)計(jì)中，根據(jù)繳費(fèi)和支付方式的不同，可以分為待遇確定型(Defined Benefit，DB)和繳費(fèi)確定型(Defined Contribution，DC)計(jì)劃。由于DB計(jì)劃存在諸如供款與受益之間相關(guān)性較弱、難以與個(gè)人賬戶匹配等缺陷，DC計(jì)劃在近年得到迅猛發(fā)展。在DC模式中，通常采用企業(yè)和個(gè)人共同繳費(fèi)的方式，企業(yè)為每個(gè)計(jì)劃參與者建立個(gè)人賬戶，進(jìn)行賬戶式管理，個(gè)人賬戶資金采用完全積累的方式，投資收益計(jì)入職工個(gè)人賬戶。職工退休時(shí)可領(lǐng)取的養(yǎng)老金待遇就取決于繳費(fèi)總額、繳費(fèi)時(shí)間期限、基金投資組合收益等因素，而投資風(fēng)險(xiǎn)由職工個(gè)人承擔(dān)。因此，資產(chǎn)配置策略對(duì)于DC型養(yǎng)老基金的管理是至關(guān)重要的。

一些早期的研究解決了在常數(shù)利率下，DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)資產(chǎn)配置問(wèn)題，但忽視了通貨膨脹的影響(Browne，Cairns et al，Gerrard et al)。［1－3］在有關(guān)最優(yōu)資產(chǎn)配置的文獻(xiàn)中，Vasicek［4］的 Ornstein－Uhlenbeck過(guò)程是描述利率動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的著名模型，該利率模型被用于Battocchio，Menoncin及很多早期的著作中，如 Sφrensen，［5］Brennan，Xia，［6］Boulier et al［7］。但 Vasicek 模型中的利率是分布式的，允許利率為負(fù)數(shù)，這不利于模擬名義利率的動(dòng)態(tài)變化。Brennan，Schwartz，Lagnado［8］分析了基于債券、股票和現(xiàn)金三種資產(chǎn)的動(dòng)態(tài)投資問(wèn)題，他們假設(shè)短期利率、長(zhǎng)期債券利率和股票的分紅收益均服從馬爾可夫過(guò)程，并證明考慮資產(chǎn)預(yù)期收益的策略將顯著提高收益率。Brennan［9］研究了長(zhǎng)期投資者的投資組合問(wèn)題，研究表明不確定預(yù)期收益下，經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)了的投資者風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)配置比例的變化，變化的方向取決于對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的容忍程度。Xia［10］基于連續(xù)時(shí)間模型證明了忽略預(yù)期和學(xué)習(xí)過(guò)程將大大提高投資者的機(jī)會(huì)成本。Battocchio，Menoncin［11］研究了在通貨膨脹下DC型養(yǎng)老金資產(chǎn)的最優(yōu)配置問(wèn)題。

Grossman，Vila［12］探討了若投資者的目標(biāo)是財(cái)富不小于某個(gè)下限，如何進(jìn)行最優(yōu)資產(chǎn)配置的問(wèn)題。Grauer，Hakansson［13］研究了通貨膨脹對(duì)資產(chǎn)配置的影響，結(jié)論表明通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)會(huì)明顯改變投資者的資產(chǎn)配置決策。Campbell，Viceira［14］考慮的是最優(yōu)消費(fèi)－資產(chǎn)配置決策的遞歸效用投資者，無(wú)限投資期限，給出了近似解析解，他們認(rèn)為若允許投資者投資于指數(shù)化債券，將會(huì)在很大程度上增加其效用。Menoncin［15］研究了養(yǎng)老金多階段投資策略，考慮了多種背景風(fēng)險(xiǎn)，指出背景風(fēng)險(xiǎn)會(huì)影響投資者的財(cái)富水平，并且將隨機(jī)通貸膨脹因素包含在各個(gè)因素中，Haberman，Vigna［16］采用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法研究了離散時(shí)間下的DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資策略，他們特別考慮了兩種資產(chǎn)，即高風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和低風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，研究養(yǎng)老金受益人面臨的向下風(fēng)險(xiǎn)，并考慮了不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡的配置情況。Brennan，Xia［17］研究了動(dòng)態(tài)投資組合最優(yōu)化模型，模型將通貨膨脹引入狀態(tài)變量集中，認(rèn)為多種因素共同影響和決定債券價(jià)格，這里通貨膨脹作為影響長(zhǎng)期債券的狀態(tài)變量。Boulier et al，［7］Deelstra et al［18］用鞅方法解決了受保護(hù)的DC計(jì)劃的最優(yōu)資產(chǎn)配置問(wèn)題。Battocchio，Menoncin，Scaillet［19］假設(shè)金融市場(chǎng)中存在一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和n種價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，基于養(yǎng)老金受益人的隨機(jī)死亡時(shí)間，求解當(dāng)CRRA效用最大化時(shí)的資產(chǎn)配置問(wèn)題，并考慮了養(yǎng)老金的累積和給付階段，結(jié)論是最優(yōu)配置在第一階段風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例越來(lái)越小，而第二階段則越來(lái)越大。Munk，Sorensen［20］討論了投資者投資于現(xiàn)金債券和股票市場(chǎng)，目標(biāo)是期末效用最大化的模型，他們考慮了利率和通貸膨脹的風(fēng)險(xiǎn)因素對(duì)投資者資產(chǎn)配置決策的影響。Battocchio，Menoncin，Gao采用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法解決了連續(xù)時(shí)間下DC養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資組合管理問(wèn)題。在 Battocchio，Menoncin［11］的研究中，假定利率、供款流向及通貨膨脹率是隨機(jī)的，但沒(méi)有考慮對(duì)最終財(cái)富的最低擔(dān)保問(wèn)題。Gao［21］應(yīng)用勒讓德變換解決了DC計(jì)劃的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，但忽視了通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)與最低擔(dān)保問(wèn)題，而且假定繳費(fèi)率是確定性的。

李珍［22］對(duì)養(yǎng)老金多元化投資和入市的重要性、多元化投資工具以及入市的途徑和規(guī)模等問(wèn)題進(jìn)行了一定探討。李耀［23］提出了一個(gè)考慮發(fā)起企業(yè)的經(jīng)營(yíng)活動(dòng)現(xiàn)金回報(bào)率的年金組合理論模型，分析了當(dāng)前我國(guó)行業(yè)年金、地方企業(yè)年金以及保險(xiǎn)公司經(jīng)辦年金等三類年金的投資組合情況，并提出了相關(guān)政策建議。徐靜和張波［24］考慮了連續(xù)時(shí)間下的待遇確定型養(yǎng)老金模型的最優(yōu)控制問(wèn)題，在養(yǎng)老金期望給付為指數(shù)增長(zhǎng)、目標(biāo)函數(shù)為最小化貢獻(xiàn)率風(fēng)險(xiǎn)和償付能力風(fēng)險(xiǎn)線性組合的假設(shè)下，得到了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資時(shí)的最優(yōu)貢獻(xiàn)率和最小風(fēng)險(xiǎn)。葉燕程和高隨祥［25］利用隨機(jī)控制理論研究繳費(fèi)確定型企業(yè)年金最優(yōu)投資策略分別在固定繳費(fèi)和隨機(jī)繳費(fèi)情形下，建立基于給付損失最小化的企業(yè)年金最優(yōu)投資模型，通過(guò)求解HJB方程得到最優(yōu)投資策略和給付水平顯式解，并對(duì)固定繳費(fèi)時(shí)的最優(yōu)策略進(jìn)行蒙特卡洛仿真模擬。肖建武，翟紅，秦成林［26］對(duì)常方差彈性模型下退休前和退休后兩個(gè)階段進(jìn)行了投資策略研究，目標(biāo)是使最終期望財(cái)富效用函數(shù)最大化，利用隨機(jī)控制理論得到HJB方程，運(yùn)用勒讓德變換理論及對(duì)偶方法求解方程得到退休前和退休后兩個(gè)時(shí)期的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資數(shù)額。郭磊和陳方正［27］在常數(shù)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避效用函數(shù)的假定下，構(gòu)建了企業(yè)年金計(jì)劃退休前有固定投入，退休后有固定支出的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，求出了退休前和退休后的最優(yōu)投資策略。

本文延伸了 Boulier et al，Deelstra et al，Battocchio，Menoncin之前的研究。在 Boulier et al與Deelstra et al的研究中，考慮在DC型養(yǎng)老金計(jì)劃中采用最低收益率擔(dān)保，但忽視了通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)。Battocchio，Menoncin考慮了通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)對(duì)最優(yōu)DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的影響，但其模型中沒(méi)有引入最低收益率擔(dān)保，且經(jīng)濟(jì)中未包含通貨膨脹指數(shù)化債券。因此，本文基于隨機(jī)利率和通貨膨脹，提出一個(gè)連續(xù)時(shí)間數(shù)學(xué)模型來(lái)分析動(dòng)態(tài)資產(chǎn)組合選擇，主要研究DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)資產(chǎn)配置問(wèn)題。研究的思路和框架為:首先，用Cox–Ingersoll–Ross(CIR)過(guò)程來(lái)模擬名義利率的動(dòng)態(tài)變化，CIR模型是Cox，Ingersoll，Ross［28］提出的，該模型在 Vasicek 模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，模型資產(chǎn)價(jià)格及其隨機(jī)特性都是內(nèi)生確定的，依賴于真實(shí)經(jīng)濟(jì)變量，基本假定是每個(gè)投資者都通過(guò)對(duì)單一商品的選取達(dá)到預(yù)期效用最大化，模型利用理性的資產(chǎn)定價(jià)模型研究利率期限結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步把期限結(jié)構(gòu)理論推廣到一般均衡的環(huán)境中去。模型考慮了風(fēng)險(xiǎn)偏好、時(shí)間偏好、財(cái)務(wù)限制、風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)纫蛩亍Ｔ撃Ｐ偷淖钪匾獌?yōu)點(diǎn)是不允許出現(xiàn)負(fù)利率，這對(duì)于模擬名義利率來(lái)說(shuō)是更符合實(shí)際的假定。其次，假定瞬時(shí)的通貨膨脹遵循一個(gè)擴(kuò)散過(guò)程，通貨膨脹率及利率與股票收益部分相關(guān)。為了避免DC型養(yǎng)老金計(jì)劃出現(xiàn)基金短缺，有各種類型的最終收益擔(dān)保。本文假定在退休時(shí)，有一個(gè)與通貨膨脹指數(shù)化年金數(shù)量掛鉤的最低保證金，這有助于年金受益人對(duì)沖通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)。由于指數(shù)化年金的價(jià)值可被視為指數(shù)化附息票債券，因此，擔(dān)保的價(jià)值是隨機(jī)的，因退休時(shí)的利率和價(jià)格水平而異。

二、理論分析框架及實(shí)證模型設(shè)定

假定DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的參與者可將他們的資金投資于現(xiàn)金賬戶(貨幣市場(chǎng)基金)、名義債券基金、股票指數(shù)基金以及通貨膨脹指數(shù)化債券基金。該優(yōu)化問(wèn)題旨在使計(jì)劃參與者在退休時(shí)的期望效用最大化。本文假定利率、供款流向、通貨膨脹率及最低收益擔(dān)保是隨機(jī)變化的。在最低收益擔(dān)保的約束下，常數(shù)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡參與者的最優(yōu)資產(chǎn)配置策略可由閉合表達(dá)式推導(dǎo)出。

(一)金融市場(chǎng)結(jié)構(gòu)模型

金融市場(chǎng)的第一種資產(chǎn)為現(xiàn)金賬戶Mt，可以得出下式:

式中，Rt是瞬時(shí)名義無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，假定Rt遵循平方根CIR過(guò)程:

式中，a，b為常數(shù)，σR為利率的波動(dòng)率，Z1t是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，CIR過(guò)程不允許出現(xiàn)負(fù)Rt，這種非負(fù)特性在模擬名義利率時(shí)非常重要。若2a≥σ2R，瞬時(shí)利率對(duì)所有t＞0都有嚴(yán)格正實(shí)性。

金融市場(chǎng)的第二種資產(chǎn)為名義零息債券。令B(t，T)表示在到期時(shí)名義回報(bào)為1$且期限為T的名義零息債券在t時(shí)刻的價(jià)格。利率風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格由λR給定并且無(wú)套利，B(t，T)可從邊界條件為B(T，T)=1的偏微分方程中求出，如下式:

式中，BR與BRR代表B關(guān)于R的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)。B(t，T)的解由如下顯式公式得出:

正如Boulier et al.的研究中所討論的，個(gè)人不可能在經(jīng)濟(jì)中找到所有的零息債券，為了方便起見(jiàn)，我們?cè)诜治鲋幸胍粋€(gè)固定期限為T1的滾動(dòng)債券。該滾動(dòng)債券的動(dòng)態(tài)方程如下式:

式中，Z2t是獨(dú)立于Z1t的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，λS表示相對(duì)于dZ2t的風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格。一攬子商品的名義價(jià)格水平由Pt表示，Pt的動(dòng)態(tài)方程由如下隨機(jī)微分方程給出:

式中，π是預(yù)期通貨膨脹率，Z3t是獨(dú)立于Z1t與Z2t的布朗運(yùn)動(dòng)，它代表除利率風(fēng)險(xiǎn)和股票市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)之外的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。

金融市場(chǎng)中的第四種資產(chǎn)是通貨膨脹指數(shù)化零息債券。該指數(shù)債券在到期日T確定支付PT。指數(shù)債券的價(jià)格I(t，T)由如下以邊界條件為I(T，T)=PT的偏微分方程決定:

式中，λP表示相對(duì)于dZ3t的風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格。I(t，T)的顯式解為:

式中，σI2≡σP2且σI3≡σP3。同時(shí)假定市場(chǎng)中交易的指數(shù)化債券是固定期限為τ2的滾動(dòng)指數(shù)化債券:

(二)最優(yōu)化問(wèn)題

在確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金計(jì)劃中，參與者在退休日T之前將持續(xù)繳費(fèi)。用Ct表示瞬時(shí)繳費(fèi)率，在完全市場(chǎng)假設(shè)下，Ct滿足以下隨機(jī)微分方程:

對(duì)于最終養(yǎng)老金待遇的擔(dān)保問(wèn)題，我們假定最終待遇可轉(zhuǎn)換成具有下行保護(hù)的終身年金。根據(jù)一攬子商品來(lái)確定實(shí)際最低年金g，一攬子商品在t時(shí)刻的價(jià)格為Pt，該年金的名義價(jià)值為gPt，?t∈［T，T'］，其中T'表示死亡日期。在時(shí)間T擔(dān)保水平的名義價(jià)值是一個(gè)指數(shù)化息票債券的價(jià)值，定義為:

由于I(T，s)取決于在s≥T條件下的RT與PT的價(jià)值，擔(dān)保水平GT取決于最終實(shí)現(xiàn)的RT與PT的值。讓W(xué)t表示t時(shí)刻退休賬戶的財(cái)富，W0為財(cái)富的初始值。DC計(jì)劃參與者將其賬戶中的財(cái)富投資于金融市場(chǎng)，目標(biāo)是使最終的實(shí)際財(cái)富超過(guò)最低收益擔(dān)保的期望效用最大化。參與者的最優(yōu)化問(wèn)題可以描述如下:

參與者的偏好由CRRA效用方程代表，γ是相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的程度。式(27)中，xBt，xSt，xIt分別為t時(shí)刻投資于名義零息債券、股票與指數(shù)化債券的投資組合權(quán)重。因此，投資于現(xiàn)金賬戶的基金財(cái)富比例為1－xBt－xSt－xIt。式(28)中，Λ為風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格向量，式(29)中，Γ是因子負(fù)荷矩陣。

(三)模型參數(shù)設(shè)定

表1列出了表征金融市場(chǎng)的各項(xiàng)參數(shù)，假定積累階段為40年，年金給付階段為20年，對(duì)年金g的擔(dān)保水平為g=10，相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)為γ=2。

表1 模型的參數(shù)值

三、最優(yōu)化問(wèn)題的解決方案

(一)變換初始問(wèn)題

通過(guò)運(yùn)用變量變化的方法，受保護(hù)的DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)資產(chǎn)配置問(wèn)題，可以由最初的非自籌資金并受最低收益擔(dān)保約束的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為自籌資金且無(wú)約束的問(wèn)題。在這種情況下，我們很容易在模型中運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法去尋找最優(yōu)投資規(guī)則的顯式解。

首先，在完全市場(chǎng)及無(wú)套利的假設(shè)條件下，我們構(gòu)建一個(gè)假定的金融工具，在s時(shí)刻的瞬時(shí)供款為CS。該假定的資產(chǎn)在t時(shí)刻(t≤s)的價(jià)值由D(t，s)表示，且D(t，s)必須滿足下列邊界條件為D(s，s)=CS的偏微分方程:

容易證明D(t，s)滿足下列隨機(jī)微分方程:

其次，我們定義一個(gè)新過(guò)程Ft:

實(shí)際上，F(xiàn)t代表假定的息票債券的價(jià)值，其瞬時(shí)票面利率為Ct，相當(dāng)于從時(shí)間t到T的未來(lái)供款的現(xiàn)值。Ft收益的動(dòng)態(tài)方程為:

即使Ft不直接在金融市場(chǎng)中交易，F(xiàn)t的收益由金融市場(chǎng)中可交易資產(chǎn)的投資組合所復(fù)制:

我們定義Gt為t時(shí)刻最低收益擔(dān)保GT的現(xiàn)值，如下:

這表明，Gt的動(dòng)態(tài)變化可由金融市場(chǎng)中交易的資產(chǎn)所復(fù)制。與該復(fù)制性投資組合的關(guān)系如下:

最終擔(dān)保的復(fù)制性投資組合由名義與指數(shù)化債券組成，而與股票不相關(guān)。該復(fù)制性投資組合中指數(shù)化債券的權(quán)重為100%，是常數(shù)。這意味著指數(shù)化債券是復(fù)制退休時(shí)擔(dān)保水平的主要組成部分。上文提到，擔(dān)?？杀灰暈橹笖?shù)化息票債券。由于僅有一個(gè)固定期限的指數(shù)化零息債券在金融市場(chǎng)中交易，該復(fù)制性投資組合中的名義零點(diǎn)旨在調(diào)整指數(shù)化零息債券的期限與指數(shù)化息票債券的期限相匹配。由于投資于指數(shù)化債券的財(cái)富比例為100%，則投資于名義債券的財(cái)富比例以短期利率融資。

在Ft與Gt的幫助下，我們可將最初的非自籌資金的約束問(wèn)題轉(zhuǎn)換成一個(gè)自籌資金的無(wú)約束問(wèn)題。由此，可定義一個(gè)盈余過(guò)程Yt如下:

Yt的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程如下式:

將式(26)、(37)、(44)代入上面的等式得:

由定義，Yt≡WT+FT－ GT=WT－ GT，初始的最優(yōu)化問(wèn)題可轉(zhuǎn)換為根據(jù)盈余過(guò)程的無(wú)約束的自籌資金投資問(wèn)題:

(二)無(wú)約束問(wèn)題的解決方案

我們應(yīng)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法去解決式(54)定義的最優(yōu)化問(wèn)題。定義最優(yōu)化問(wèn)題的價(jià)值函數(shù)為J(Yt，Rt，t，T):

式中 Et［·］E［· /Ft］，F(xiàn)t是由{(Z1S，Z2S，Z3S:0≤s≤t}生成的σ域。由最優(yōu)性原則得到Hamilton–Jacobi–Bellman(HJB)方程:

當(dāng)價(jià)值函數(shù)J(·)的解給定時(shí)，該無(wú)約束問(wèn)題的最優(yōu)投資組合策略可相應(yīng)解決:

無(wú)約束投資組合的第一部分是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的短視或投機(jī)需求。這部分需求符合從傳統(tǒng)的均值－方差分析得出的結(jié)論。投資者持有短視的投資組合，為了獲得風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，短視需求與投資者的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)成反比。無(wú)約束投資組合的第二部分是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的對(duì)沖需求。式(58)中，對(duì)沖利率風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)為名義債券，因?yàn)樗c名義利率的變化是完全負(fù)相關(guān)的。無(wú)約束投資組合的最后一部分用于對(duì)沖通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)。這部分由持有多頭頭寸的指數(shù)化債券及持有空頭頭寸的名義債券組成。該部分中指數(shù)化債券的需求為財(cái)富的100%，這意味著指數(shù)化債券在對(duì)沖通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)時(shí)起著重要的作用。名義債券持有空頭頭寸說(shuō)明，由于指數(shù)化債券的收益也與名義利率相關(guān)，則名義債券可被指數(shù)化債券部分替代。

(三)初始問(wèn)題的解決方案

具有中期供款流向和最終通貨膨脹指數(shù)擔(dān)保的最優(yōu)投資策略可由下式得到:

最優(yōu)投資組合是三個(gè)不同部分的加權(quán)平均值。第一部分是上文得出的無(wú)約束投資組合。第二部分是復(fù)制了中期供款流向現(xiàn)值的投資組合。第三部分是復(fù)制了最終擔(dān)保水平的現(xiàn)值。由式(60)推導(dǎo)出的最優(yōu)投資組合權(quán)重取決于狀態(tài)變量 Wt，Yt，F(xiàn)t，Gt的實(shí)現(xiàn)。下一部分通過(guò)數(shù)值應(yīng)用來(lái)描述動(dòng)態(tài)投資組合策略的特征。

四、隨機(jī)利率及通貨膨脹下的資產(chǎn)配置模型求解與分析

(一)有最低收益擔(dān)保的情況

圖1 Yt，F(xiàn)t，Gt占 Wt的比例

根據(jù)設(shè)定的模型及參數(shù)值，運(yùn)用上文提出的最優(yōu)化問(wèn)題的解決方案，利用MATLAB軟件對(duì)該模型進(jìn)行數(shù)值模擬，探討在不同條件下，確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)資產(chǎn)配置策略。圖1顯示了Yt，F(xiàn)t，Gt在總基金財(cái)富Wt中所占的比例。在積累階段初期，未來(lái)供款流向的現(xiàn)值Ft較高，而擔(dān)保水平的現(xiàn)值Gt相對(duì)于總基金財(cái)富Wt較低。這使得基金的盈余Yt相對(duì)于基金財(cái)富較高，因?yàn)閅t≡Wt+Ft－Gt。當(dāng)臨近退休時(shí)，Yt/Wt及Ft/Wt下降而Gt/Wt上升。

圖2(上)顯示了最優(yōu)投資組合權(quán)重從t=5到t=40的變化過(guò)程。在積累階段初期，DC計(jì)劃參與者追求基金財(cái)富的增長(zhǎng)，因此大量投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。投資于名義債券與股票的財(cái)富比例最初較高，但隨時(shí)間逐漸降低，分別從初始值2.09與1.84降至 －0.06與0.32。投資于指數(shù)化債券與現(xiàn)金的財(cái)富比例最初較低，但隨時(shí)間逐漸增加。投資于指數(shù)化債券的比例從 －1.25增至0.64，投資于現(xiàn)金的比例從－1.68增至0.10。如圖1所示，由于在積累階段初期的約束較為寬松，盈余 /財(cái)富比(Yt/Wt)較高，參與者可采用較為激進(jìn)的投資策略來(lái)促進(jìn)基金的增長(zhǎng)。相反，當(dāng)逐漸接近退休日期時(shí)，上升的Gt/Wt比率促使參與者將基金財(cái)富轉(zhuǎn)向安全的資產(chǎn)。

圖2 股票、名義債券、指數(shù)化債券及現(xiàn)金的最優(yōu)投資組合權(quán)重① 圖2中，T=40，T'=60，g=10，左圖與右圖的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)分別為γ=2與γ=5。

圖3 股票、名義債券、指數(shù)化債券及現(xiàn)金的最優(yōu)投資組合權(quán)重② 圖3中，T=40，T'=60，g=0，左圖與右圖的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)分別為γ=2與γ=5。

為了進(jìn)行比較，我們模擬了一個(gè)受保護(hù)的養(yǎng)老基金的投資組合策略，其具有較高的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)γ=5，如圖2(下)所示。投資于名義債券與股票的財(cái)富比例最初較高，但隨時(shí)間逐漸下降，名義債券從0.69 降至 － 0.31，股票從0.27 降至0.12。投資于指數(shù)化債券與現(xiàn)金的財(cái)富比例在臨近退休時(shí)逐漸增加，指數(shù)化債券從0.52 增至0.86，現(xiàn)金從 － 0.48 增至0.33。當(dāng)γ=5時(shí)，通貨膨脹指數(shù)化債券從t=8開(kāi)始在基金投資組合中占有主要地位，比γ=2的情況早了很多。指數(shù)化債券與現(xiàn)金的組合權(quán)重大大高于前者，而風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票與名義債券)的組合權(quán)重則比前者更低。

這兩個(gè)例子的區(qū)別源于無(wú)約束投資組合的套期保值需求。根據(jù)式(58)，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)γ較高時(shí)，投機(jī)性的投資減少，從而減少了對(duì)股票的需求。另一方面，高風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)增加了名義債券與指數(shù)化債券的投資組合權(quán)重，以分別對(duì)沖利率風(fēng)險(xiǎn)與通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)。然而，增加的指數(shù)化債券的對(duì)沖需求將部分替代對(duì)名義債券的投資，因?yàn)橹笖?shù)化債券的收益與瞬時(shí)利率負(fù)相關(guān)。這就解釋了為什么風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)大的名義債券所占投資組合權(quán)重比風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)小的名義債券所占權(quán)重低的原因。

(二)無(wú)最低收益擔(dān)保的情況

在DC型養(yǎng)老金計(jì)劃不受保護(hù)的情況下，g=0，我們重新計(jì)算上例的結(jié)果。圖3(上)與圖3(下)分別顯示了當(dāng)γ=2與γ=5時(shí)，且無(wú)最低收益擔(dān)保的情況下，最優(yōu)投資組合的權(quán)重。該投資組合變化的主要特點(diǎn)類似于受保護(hù)情況下的投資組合，股票與債券所占權(quán)重最初較高，在臨近退休時(shí)逐漸減少。當(dāng)γ =2時(shí)，股票所占的組合權(quán)重從2.44降至1.03，名義債券從2.63降至0.43;當(dāng)γ=5時(shí)，股票所占的組合權(quán)重從0.51降至0.41，名義債券從0.92降至－0.42。指數(shù)化債券與現(xiàn)金所占的權(quán)重隨著時(shí)間推移而不斷上升。當(dāng)γ=2時(shí)，指數(shù)化債券所占權(quán)重從－ 1.93 升至 － 0.16，現(xiàn)金從 － 2.14升至 － 0.30;當(dāng)γ =5時(shí)，指數(shù)化債券所占權(quán)重從0.24升至0.53，現(xiàn)金從 －0.67升至0.47。由此可見(jiàn)，在無(wú)最低收益擔(dān)保的情況下，當(dāng)γ=5時(shí)，從t=22開(kāi)始，指數(shù)化債券在養(yǎng)老金投資組合中仍占有主導(dǎo)地位。圖3表明，只有無(wú)約束的投資者并且其風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度較低，如γ=2，會(huì)在整個(gè)積累階段持有指數(shù)化債券空頭頭寸。從經(jīng)驗(yàn)上看，對(duì)指數(shù)化債券有一個(gè)負(fù)通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，指數(shù)化債券可規(guī)避不確定的通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)，因此一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度較低的投資者將持有指數(shù)化債券的空頭頭寸以獲得通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。在數(shù)值應(yīng)用中得到的結(jié)果一致表明，除了低風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的無(wú)約束的投資者之外，指數(shù)化債券被證明是在養(yǎng)老金投資組合中最主要的資產(chǎn)，尤其是在積累階段的后期。

五、結(jié)論與啟示

本文主要研究繳費(fèi)確定型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資組合策略，旨在使其最終實(shí)際財(cái)富的期望效用最大化。假定利率、供款流向、通貨膨脹率都是隨機(jī)變化的。在年金化階段給付的年金被假定是與通貨膨脹指數(shù)掛鉤的，以保護(hù)年金受益人退休后的購(gòu)買力。同時(shí)，也考慮了對(duì)年金的最低收益擔(dān)保問(wèn)題。除了傳統(tǒng)的資產(chǎn)類別，如現(xiàn)金、股票及名義債券，金融市場(chǎng)還包括通貨膨脹指數(shù)化債券，使得DC計(jì)劃參與者能建立一個(gè)投資組合，實(shí)現(xiàn)對(duì)通貨膨脹指數(shù)化年金的擔(dān)保，同時(shí)也幫助參與者在積累階段對(duì)沖通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)。在風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)較高或提供了下行保護(hù)的情況下，養(yǎng)老金投資組合應(yīng)集中投資于指數(shù)化債券，而不是其他的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。通貨膨脹指數(shù)化債券對(duì)于養(yǎng)老金計(jì)劃對(duì)沖通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)以及為年金受益人提供下行保護(hù)是必不可少的。因此，通貨膨脹指數(shù)化基金的發(fā)行以及通貨膨脹指數(shù)化債券市場(chǎng)的發(fā)展有助于養(yǎng)老基金行業(yè)的健全與完善。

通過(guò)運(yùn)用變量變化的方法，受保護(hù)的DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)資產(chǎn)配置問(wèn)題，可由最初的非自籌資金并受最低收益擔(dān)保約束的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為自籌資金且無(wú)約束的問(wèn)題。通過(guò)應(yīng)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，我們得出了在CRRA效用函數(shù)下的最優(yōu)資產(chǎn)配置策略。結(jié)果表明，股票與名義債券所占的權(quán)重最初較高，隨著時(shí)間的推移而逐漸下降;通貨膨脹指數(shù)化債券與現(xiàn)金所占權(quán)重最初較低，隨著時(shí)間的推移而逐漸增加。與早期沒(méi)有包含指數(shù)化債券的研究相比，通貨膨脹指數(shù)化債券在風(fēng)險(xiǎn)厭惡的DC計(jì)劃參與者的養(yǎng)老金投資組合中占有主導(dǎo)地位，這反映了在到期時(shí)提供一定實(shí)際收益的指數(shù)化債券，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看是僅有的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(扣除物價(jià)因素)。本文應(yīng)用數(shù)值分析并通過(guò)計(jì)算出解析解來(lái)說(shuō)明動(dòng)態(tài)投資策略，可以幫助DC計(jì)劃的參與者建立自己的養(yǎng)老基金投資組合，根據(jù)其風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度從現(xiàn)有的個(gè)人養(yǎng)老金產(chǎn)品中進(jìn)行選擇。還可應(yīng)用于設(shè)計(jì)養(yǎng)老金產(chǎn)品，給客戶提供與年齡相關(guān)的投資策略，比如專門為養(yǎng)老理財(cái)規(guī)劃設(shè)計(jì)的生活方式基金和生命周期基金，根據(jù)投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好和年齡自動(dòng)改變基金的投資風(fēng)格和投資組合。

隨著風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)的增大，投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例顯著下降，現(xiàn)金資產(chǎn)所占比重上升。隨著年齡的增大，投資期限的減小，風(fēng)險(xiǎn)承受能力逐漸降低，投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例應(yīng)越來(lái)越低。總而言之，宏觀經(jīng)濟(jì)是影響?zhàn)B老金資產(chǎn)配置的重要因素，通過(guò)本文建立的模型，能夠有效地對(duì)資產(chǎn)進(jìn)行最優(yōu)配置，使養(yǎng)老金投資人受益。

［1］Browne S.Beating a moving target:Optimal portfolio strategies for outperforming a stochastic benchmark［J］.Finance and Stochastics，1999，3:275 –294.

［2］Cairns A，Blake D，Dowd K.Stochastic lifestyling:Optimal dynamic asset allocation for defined contribution pension plans［J］.Journal of Economic Dynamics and Control，2006，30:843–877.

［3］Gerrard R，Harberman S，Vigna E.Optimal investment choices post－retirement in a defined contribution pension scheme［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2004，35:321–342.

［4］Vasicek O.An equilibrium characterization of the term structure［J］.Journal of Financial Economics，1977，5:177–188.

［5］S?rensen C.Dynamic asset allocation and fixed income management［J］.Journal of Financial and Quantitative A－nalysis，1999，34:513–531.

［6］Brennan M J，Xia Y.Stochastic interest rates and the bond － stock mix［J］.European Finance Review，2000，4:197–210.

［7］Boulier J F，Huang S J，Taillard G.Optimal management under stochastic interest rates:the case of a protected defined contribution pension fund［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2001，28:173–189.

［8］Brennan M J，Schwartz E S，Lagnado R.Strategic asset allocation［J］.Journal of Economic Dynamics and Control，1997，21:137 －140.

［9］Breanan M J.The role of learning in dynamic portfolio decisions［J］.European Economic Review，1998，1:295－306.

［10］Xia Y.Learning about predictability:The effects of parameter uncertainty on dynamic asset allocation［J］.Journal of Finance，2000，56:585－594.

［11］Battocchio P，Menoncin F.Optimal pension management in a stochastic framework［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2004，34:79–95.

［12］Grossman S J，Vila J L.Portfolio insurance in complete markets:A note［J］.The Journal of Business，1989，19:473－478.

［13］Grauer R，Hakansson N.On timing the market:The empirical probability assessment approach with an inflation adapter in worldwide asset and liability modeling［M］.Cambridge University Press，1998:149－181.

［14］Campbell J Y，Viceira L M.Who should buy long term bonds?［J］.American Economic Review，2001，91:99–127.

［15］Menoncin F.Optimal portfolio and background risk:An exact and an approximated solution［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2002，31:249－265.

［16］Haberman S，Vigna E.Optimal investment strategies and risk measures in defined contribution pension schemes［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2002，31:35–69.

［17］Brennan M J，Xia Y.Dynamic asset allocation under inflation［J］.Journal of Finance，2002，57:1201 –1238.

［18］Deelstra G，Grasselli M，Koehl P F.Optimal investment strategies in the presence of a minimum guarantee［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2003，33:189–207.

［19］Battocchio P，Menoncin F，Scaillet Q.Optimal asset allocation for pension funds under mortality risk during the accumulation and decumulation phases［R］.FAME Discussion Paper No，66，2003.

［20］Munk C，S?rensen C，Vinther T N.Dynamic asset allocation under mean－reverting returns，stochastic interest rates and inflation uncertainty are popular recommendations consistent with rational behavior?［J］.International Review of Economics and Finance，2004，13:141–166.

［21］Gao J.Stochastic optimal control of DC pension funds［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2008，42:1159–1164.

［22］李珍，劉子蘭.我國(guó)養(yǎng)老基金多元化投資問(wèn)題研究［J］.中國(guó)軟科學(xué)，2001(10):4 －8.

［23］李耀.企業(yè)年金基金投資:基于理論模型和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的研究［J］.商業(yè)經(jīng)濟(jì)與管理，2007(1):46－51.

［24］徐靜，張波.給付確定型養(yǎng)老金計(jì)劃的動(dòng)態(tài)最優(yōu)控制［J］.自然科學(xué)進(jìn)展，2006，16(9):1174 －1180.

［25］葉燕程，高隨祥.繳費(fèi)確定型企業(yè)年金最優(yōu)投資策略研究［J］.中國(guó)科學(xué)院研究生院學(xué)報(bào)，2007，24(2):149－153.

［26］Xiao J W，Zhai H，Qin C L.The constant elasticity of variance(CEV)model and the legendre transform －dual solution for annuity contracts［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2007，40:302 －310.

［27］郭磊，陳方正.基于CRRA效用函數(shù)的企業(yè)年金最優(yōu)個(gè)體投資策略［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，36(3):424 －426.

［28］Cox J C，Ingersoll J E，Ross S A.A theory of the term structure of interest rates［J］.Econometrica，1985，53:385－407.

Stochastic Interest Rate and Inflation Based Optimal Asset Allocation Tactics for Defined-Contribution Pension Plans

YIN Jun，LI Yuan－yuan
(Center for Social Security Studies of Wuhan University，Wuhan 430072，China)

In this paper，we propose a continuous－time mathematical model by using the stochastic dynamic programming approach under the background of stochastic interest rate and inflation to study the optimal asset allocation for a defined－contribution pension plan to maximize the expected utility of its terminal real wealth.The dynamic changes of nominal interest rate are simulated by the Cox－Ingersoll－Ross process.In order to hedge against the inflation risk more efficiently，the inflation－indexed bonds are used .The stochastic dynamic programming approach can be used to find the optimal asset allocation tactics in CRRA utility function.Finally，this paper helps the participants of defined－contribution pension plan build their own pension investment portfolio and choose from the current individual pension products according to their risk aversion by numerical value analysis and calculating resolution solution to explain dynastic investment tactics and raises the investment tactics based on the life cycle and different risk aversion of pension beneficiaries.

Defined－Contribution;Pension;Stochastic Dynamic Programming;Asset Allocation;Inflation

A

1002－2848－2013(02)－0011－10

2013－01－08

教育部人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地重大項(xiàng)目《社會(huì)保障精算研究》，項(xiàng)目負(fù)責(zé)人:殷俊，項(xiàng)目編號(hào):11JJD840017。

殷俊(1962－)，湖北省武漢市人，管理學(xué)博士，教授，博士生導(dǎo)師，武漢大學(xué)社會(huì)保障研究中心(國(guó)家人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地)專職研究員，國(guó)家“985工程”科技創(chuàng)新平臺(tái)和哲學(xué)社會(huì)科學(xué)創(chuàng)新基地核心成員，研究方向:社會(huì)保險(xiǎn)與金融投資;李媛媛(1984－)女，新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市人，武漢大學(xué)社會(huì)保障研究中心博士研究生，研究方向:社會(huì)保障基金投資與管理。

責(zé)任編輯、校對(duì):郭燕慶