數(shù)控機(jī)床用多步進(jìn)電機(jī)伺服系統(tǒng)控制

劉景林， 王帥夫

(西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院，陜西西安 710072)

0 引言

混合式步進(jìn)電機(jī)是一種能將數(shù)字脈沖轉(zhuǎn)換為模擬量輸出的機(jī)電元件，在電機(jī)參數(shù)確定時(shí)，轉(zhuǎn)子位移量只與輸入脈沖數(shù)有關(guān)，具有較高的控制精確度且控制方法簡單，起停迅速，工作可靠?；谝陨蟽?yōu)勢，步進(jìn)電機(jī)一般采用直接驅(qū)動方式，可以消除存在于傳統(tǒng)驅(qū)動方式(帶減速機(jī)構(gòu))中的間隙、摩擦等不利因素，增加伺服剛度，從而顯著提高伺服系統(tǒng)的終端合成速度和定位的精確度。因此，混合式步進(jìn)電機(jī)廣泛應(yīng)用于數(shù)控系統(tǒng)、機(jī)器人等高精確度控制領(lǐng)域［1－3］。

隨著工業(yè)應(yīng)用的不斷深入和相關(guān)技術(shù)的發(fā)展，對混合式步進(jìn)電機(jī)的性能要求日益提高。開環(huán)時(shí)存在的低頻轉(zhuǎn)矩脈動，高頻失步等問題越來越突出。此外，在數(shù)控加工領(lǐng)域，空間立體加工是發(fā)展趨勢，因此需要多個(gè)軸向相互配合完成。各個(gè)軸向如何協(xié)調(diào)動作，減小加工的輪廓誤差，這就對插補(bǔ)算法提出了更高的要求。以上都是多步進(jìn)電機(jī)伺服系統(tǒng)需要研究的問題。

不同于一般類型的電機(jī)，混合式步進(jìn)電機(jī)結(jié)構(gòu)特殊，內(nèi)部各控制變量高度非線性且相互耦合，難于用簡單的數(shù)學(xué)模型對其進(jìn)行描述。因此，傳統(tǒng)的經(jīng)典控制方法難以達(dá)到高精確度、高時(shí)效性的控制效果［4］。近年來，智能控制技術(shù)的發(fā)展為解決混合式步進(jìn)電機(jī)的上述問題提供了新的控制方法。模糊控制方法具有善于利用經(jīng)驗(yàn)知識、推理能力強(qiáng)等特點(diǎn)［5－6］;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法具有非線性映射、自學(xué)習(xí)等能力［7］;自適應(yīng)控制方法則能對被控對象進(jìn)行在線辨識，這些方法均已應(yīng)用于混合式步進(jìn)電機(jī)的控制中。然而，智能控制技術(shù)一般存在計(jì)算量大、迭代次數(shù)多、學(xué)習(xí)收斂速度慢等缺陷［8］。

20世紀(jì)末，學(xué)者們認(rèn)識到情感在人的認(rèn)知行為中的重要作用。其中Moren等人于2000年提出基于神經(jīng)生理學(xué)的大腦情感學(xué)習(xí)(brain emotional learning，BEL)模型［9］。該模型效仿大腦中杏仁核(Amygdala)與眶額皮質(zhì)(orbitofrontal)間信息傳遞方式的計(jì)算模型，簡稱A－O(amygdala－orbitofrontal)系統(tǒng)。此后，Lucas等人提出基于BEL模型的智能控制器(brain emotional learning based intelligent controller，BELBIC)［10］，并將該控制器應(yīng)用于開關(guān)磁阻電機(jī)［11－12］、感應(yīng)電機(jī)［13］、永磁同步電機(jī)［14－16］等電機(jī)的速度控制和磁通控制，使得電機(jī)的速度響應(yīng)能力和抗干擾性能都得到了提高。

本文將BEL模型智能控制方法學(xué)習(xí)能力強(qiáng)、計(jì)算簡單、對外界干擾不敏感，特別是對非線性和時(shí)變的被控對象有較好的適應(yīng)能力等特點(diǎn)，應(yīng)用于對混合式步進(jìn)電機(jī)的控制，從而減小低頻段的轉(zhuǎn)矩脈動和高頻時(shí)的失步現(xiàn)象。

在數(shù)控機(jī)床加工過程中，通常需要多個(gè)隨動軸相互配合。然而，目前的步進(jìn)電機(jī)伺服系統(tǒng)大多為對單個(gè)電機(jī)的控制［17－18］，沒有考慮各軸上電機(jī)之間的協(xié)調(diào)運(yùn)動，帶來較大的輪廓誤差。針對這個(gè)問題，提出一種混合式步進(jìn)電機(jī)的自適應(yīng)插補(bǔ)算法。采用變步長的思想，在保證誤差精度的情況下，快速進(jìn)行插補(bǔ)。并且通過把各軸上須行進(jìn)的位移轉(zhuǎn)換為該軸上步進(jìn)電機(jī)所需的脈沖，從而協(xié)調(diào)各軸上電機(jī)的運(yùn)動，達(dá)到相互配合的目的，減小輪廓誤差。該插補(bǔ)算法不存在累積誤差，只有弓高誤差，插補(bǔ)精確度較高。

1 多步進(jìn)電機(jī)伺服系統(tǒng)

多步進(jìn)電機(jī)伺服系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。主要包括以下幾個(gè)部分，執(zhí)行機(jī)構(gòu)所采用的電機(jī)為兩相混合式步進(jìn)電機(jī);控制部分，分別有位置控制和電流控制;功率驅(qū)動部分，為功率管H橋電路;檢測部分，包括位置檢測和電流檢測;插補(bǔ)控制，這部分主要負(fù)責(zé)運(yùn)行插補(bǔ)算法，協(xié)調(diào)各電機(jī)間相互運(yùn)動，為步進(jìn)電機(jī)提供脈沖。

圖1 多步進(jìn)電機(jī)伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Block diagram of multi-stepping motor servo system

2 大腦情感學(xué)習(xí)模型

大腦情感學(xué)習(xí)模型是建立在模仿杏仁核與眶額皮質(zhì)層的生理結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上［9］，其基本結(jié)構(gòu)如圖2所示。

模型中各部分的作用如下:丘腦主要對感知輸入信號進(jìn)行預(yù)處理，如過濾或降低噪聲。感知皮質(zhì)主要對丘腦輸出的信號進(jìn)行進(jìn)一步的細(xì)化和辨別。杏仁核和眶額葉皮層是整個(gè)模型中關(guān)鍵。杏仁核主要負(fù)責(zé)大腦的情感學(xué)習(xí)過程，用來感知情緒的刺激。而眶額皮質(zhì)層對杏仁核內(nèi)進(jìn)行的學(xué)習(xí)過程起監(jiān)督作用，防止出現(xiàn)過學(xué)習(xí)或者欠學(xué)習(xí)的情況。

圖2 大腦情感學(xué)習(xí)模型基本結(jié)構(gòu)Fig.2 Basic structure block diagram of BELBIC

BEL模型模擬了A－O組織之間的信息傳遞方式，對應(yīng)每個(gè)刺激輸入信號，杏仁核和眶額皮質(zhì)層內(nèi)都有對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)接收。刺激信號包括感官輸入信號S、獎(jiǎng)勵(lì)信號(reward，REW)以及丘腦信號Ath。丘腦接收感官輸入信號S中的最大值，并且只把這個(gè)值輸送到杏仁核部分，即

杏仁核接收感官輸入信號S、獎(jiǎng)勵(lì)信號REW以及丘腦信號Ath，并對其進(jìn)行學(xué)習(xí)。假設(shè)這些信號的個(gè)數(shù)為n，那么

式中:Vi為杏仁核中節(jié)點(diǎn)Ai的權(quán)值。杏仁核內(nèi)情感的學(xué)習(xí)過程即為權(quán)值的動態(tài)調(diào)節(jié)過程。權(quán)值Vi對應(yīng)獎(jiǎng)勵(lì)信號REW和節(jié)點(diǎn)Ai的差值成比例，其學(xué)習(xí)速度為

式中:R為獎(jiǎng)勵(lì)信號REW，α為調(diào)節(jié)系數(shù)，它是影響杏仁核學(xué)習(xí)速度的關(guān)鍵因素。從式(3)可以看出，ΔVi與SCi的符號保持一致，即與感官輸入信號Si的符號保持一致。

當(dāng)Si≥0時(shí)，則 ΔVi≥0，Vi增加，直至Vi≤R/Si;當(dāng)Si＜0時(shí)，則 ΔVi＜0，Vi減小，直至Vi＞R/Si。

眶額皮質(zhì)層的作用是當(dāng)學(xué)習(xí)過程不合適時(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)。它接收來自感知皮質(zhì)和杏仁核的信號，其節(jié)點(diǎn)輸出為

其中:Wi為眶額皮質(zhì)層中節(jié)點(diǎn)Oi的權(quán)值。其學(xué)習(xí)速度為

式中:β為調(diào)節(jié)系數(shù)。E'為不含丘腦刺激信號下的杏仁核的輸出減去節(jié)點(diǎn)O的值，即

從式(5)中可以看出，學(xué)習(xí)速度ΔWi可正可負(fù)，正值表示抑制杏仁核的學(xué)習(xí)，負(fù)值表示刺激杏仁核的學(xué)習(xí)。通過減小獎(jiǎng)勵(lì)信號與E'之間的差值，使杏仁核朝期望值學(xué)習(xí)。

整個(gè)BEL模型的輸出為

式中:A為杏仁核的輸出;O為眶額皮質(zhì)層的輸出;n為組織內(nèi)的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)(即感官輸入個(gè)數(shù))。

3 步進(jìn)電機(jī)的大腦情感學(xué)習(xí)控制

根據(jù)大腦情感學(xué)習(xí)控制機(jī)理，建立混合式步進(jìn)電機(jī)的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖3所示。

圖3 基于BEL模型的混合式步進(jìn)電機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.3 Hybrid stepping motor control system based on BEL model

把BEL模型應(yīng)用到實(shí)際系統(tǒng)當(dāng)中時(shí)，首先需確定感官輸入函數(shù)S和情感暗示函數(shù)(亦即獎(jiǎng)勵(lì)信號)REW的形式。

本文根據(jù)混合式步進(jìn)電機(jī)的特性，選取的S和R如式(8)、式(9)所示，有

式中:u為控制器輸出;e為誤差。K1至K4為權(quán)值調(diào)節(jié)系數(shù)。

在該控制系統(tǒng)中，利用混合式步進(jìn)電機(jī)的反電動勢來檢測位置。該方法不用安裝位置傳感器，減小了電機(jī)的體積和成本，更為簡便和經(jīng)濟(jì)。

兩相混合式步進(jìn)電機(jī)基于齒層比磁導(dǎo)法的簡化磁網(wǎng)絡(luò)模型如圖4所示，模型中忽略了漏磁的影響。齒層比磁導(dǎo)不是一個(gè)常數(shù)而是定、轉(zhuǎn)子齒中心線相對位置的一個(gè)變量，而且和齒層的結(jié)構(gòu)、尺寸有關(guān)。它是一個(gè)關(guān)于齒高、齒寬、齒距、氣隙和定轉(zhuǎn)子齒相對位置的函數(shù)。每極下的磁導(dǎo)主要由氣隙磁導(dǎo)、定轉(zhuǎn)子齒磁導(dǎo)和定轉(zhuǎn)子軛磁導(dǎo)組成。

圖4 兩相混合式步進(jìn)電機(jī)簡化的磁網(wǎng)絡(luò)模型Fig.4 Simplified magnetic network model of two-phase hybrid stepping motor

圖4中 Λa1、Λb1、Λc1、Λd1為I端鐵心相應(yīng)極下的磁導(dǎo);Λa2、Λb2、Λc2、Λd2為II端鐵心段相應(yīng)極下的磁導(dǎo)。這些磁導(dǎo)參數(shù)都是轉(zhuǎn)子位置角的周期函數(shù)。Λm為永磁體內(nèi)部磁導(dǎo)，F(xiàn)m為永磁體磁勢。

各磁路磁導(dǎo)表達(dá)式為

式中:Λ0為一端鐵心段一相兩個(gè)極齒層磁導(dǎo)的平均分量;Λ1為一端鐵心段一相兩個(gè)極齒層磁導(dǎo)的基波分量;Λ2、Λ3、Λ4為一端鐵心段一相兩個(gè)極齒層磁導(dǎo)的各諧波分量。

通過分析不通電勵(lì)磁時(shí)和某一相通電勵(lì)磁時(shí)的磁場變化情況，得出各情況下的磁通表達(dá)式。

當(dāng)電機(jī)未通電勵(lì)磁時(shí)，則氣隙磁通為永磁體產(chǎn)生的磁通為

當(dāng)電機(jī)按A、B、/A、/B的順序逐一通電時(shí)，參照圖4所示的模型，利用節(jié)點(diǎn)法分析，Φ1、Φ2、Φ3、Φ4為

當(dāng)步進(jìn)電機(jī)采用雙四拍通電方式即AB→/AB→/A/B→A/B時(shí)，則總磁通Φ為

式中:Fj=N×Ij;j=a，b，c，d;N為繞組線圈匝數(shù);Ij為定子繞組相電流。

則反電勢為

當(dāng)定子繞組開路，則Im=0，Im是定子繞組各相電流的有效值。電機(jī)被拖動旋轉(zhuǎn)時(shí)，反電勢的值僅含式(14)中的第一項(xiàng)，如圖5(a)所示;而當(dāng)電機(jī)通電時(shí)，定子繞組和轉(zhuǎn)子永磁體共同作用，它們的疊加反應(yīng)了混合式步進(jìn)電機(jī)反電動勢的變化，如圖5(b)所示。

圖5 反電勢波形Fig.5 Back electromotive force waveform

4 自適應(yīng)插補(bǔ)算法

本文中提出一種自適應(yīng)的變步長插補(bǔ)算法，它不固定每一步的長度，而是根據(jù)下一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)處的曲率和撓率，在保證輪廓誤差的情況下，自動調(diào)節(jié)插補(bǔ)的步長，這樣既保證了精確度也加快了速度。

一般空間曲線c的參數(shù)方程為

在一個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)，Δl的表達(dá)式為

式中:i=0，1，2，…，n－1需滿足 Δt=ti+1－ti＞0。

如果空間曲線在定義域內(nèi)都有連續(xù)二階可導(dǎo)，曲率κ(t)、撓率τ(t)存在并連續(xù)，則可由弦長代替弧長，即

令f(t)=|c’(t)|，用泰勒公式可以得到

把式(18)代入式(17)中，并保證Δti＞0的情況下，得到

通過上式計(jì)算出Δti，代入?yún)?shù)方程式(15)，從而得出各軸上的插補(bǔ)分量。

步進(jìn)電機(jī)角位移量與步距角θ和脈沖數(shù)相關(guān)，當(dāng)電機(jī)參數(shù)確定時(shí)，其轉(zhuǎn)過的角度只與脈沖數(shù)成比例。因此，將各軸上的插補(bǔ)分量通過步進(jìn)電機(jī)的脈沖當(dāng)量求取各軸上所需的脈沖數(shù)。

本文采用的自適應(yīng)插補(bǔ)算法，用折線l逼近曲線c時(shí)，每個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)均落在曲線上，因此不存在累積誤差，只有弓高誤差。弓高誤差即為輪廓誤差ε。

最大插補(bǔ)步長Δlimax與輪廓誤差ε之間的關(guān)系可表示為

式中:R為插補(bǔ)點(diǎn)處的曲率半徑。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

應(yīng)用文中的自適應(yīng)插補(bǔ)算法對方程為2z=(x2/100)－(y2/400)的空間曲面進(jìn)行插補(bǔ)，如圖6所示。

圖6 空間曲面插補(bǔ)仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results of surface interpolation

對于零件上的被加工曲面，不可能一次走到加工完，通常只能按一定的加工路徑逐行進(jìn)行，圖6中曲面上的線段，是按照參數(shù)方程為c(t)={t，a，(4t2－a2)/800}進(jìn)行插補(bǔ)，a逐一變化則生成曲面上的插補(bǔ)線段族。

圖7為使用本文的插補(bǔ)算法和使用直接函數(shù)法［19］插補(bǔ)的輪廓誤差的數(shù)據(jù)對比(取步長為1 mm)。實(shí)線為使用直接函數(shù)法時(shí)的輪廓誤差曲線，虛線為使用本文中的自適應(yīng)插補(bǔ)算法時(shí)的輪廓誤差曲線。可以看出，本文的方法能減小插補(bǔ)過程中的輪廓誤差，而且插補(bǔ)步數(shù)少，能使插補(bǔ)過程更加迅速。

圖7 兩種方法輪廓誤差對比Fig.7 Contour error comparison of two methods

圖8所示為使用本文中的大腦情感學(xué)習(xí)控制(BELBIC)與PID方法下，步進(jìn)電機(jī)速度響應(yīng)的對比仿真圖?？梢钥匆姡竽X情感學(xué)習(xí)控制下步進(jìn)電機(jī)的速度響應(yīng)更快，超調(diào)更小，提高了電機(jī)性能。

在自行研發(fā)的數(shù)控系統(tǒng)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。該系統(tǒng)是基于DSP2812為控制核心。實(shí)驗(yàn)參數(shù)及所用步進(jìn)電機(jī)的參數(shù)如下:步進(jìn)電機(jī)工作在整步運(yùn)行狀態(tài)下，電流為0.6 A，電壓25 V，相電阻R=30 Ω，電感L=0.037 H，轉(zhuǎn)子齒數(shù)Zr=50，極對數(shù)P=2。

圖9所示為實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場，圖10為實(shí)測自適應(yīng)插補(bǔ)算法的輸出脈沖波形，驗(yàn)證了該算法的有效性。

圖8 BELBIC與PID控制速度響應(yīng)曲線Fig.8 Velocity response curve under BELBIC and PID control

圖9 試驗(yàn)現(xiàn)場Fig.9 Experimental site

圖10 實(shí)際輸出脈沖波形Fig.10 Output pulse waveform

圖11所示為使用大腦情感學(xué)習(xí)控制(BELBIC)與PID控制下的兩相混合式步進(jìn)電機(jī)的矩頻特性對比?？梢钥匆夿ELBIC的控制效果較好，在較寬頻率內(nèi)，步進(jìn)電機(jī)輸出的轉(zhuǎn)矩穩(wěn)定，魯棒性較強(qiáng)。

圖11 BELBIC與PID控制下的矩頻特性Fig.11 Torque-frequency characteristics under BELBIC and PID control

6 結(jié)語

針對兩相混合式步進(jìn)電機(jī)，建立了基于大腦情感回路的人工情感智能模型，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了基于BEL模型的智能控制器，應(yīng)用于步進(jìn)電機(jī)的位置控制當(dāng)中。它能較好的適應(yīng)混合式步進(jìn)電機(jī)強(qiáng)耦合、非線性的特點(diǎn)，并且具有運(yùn)算速度快、學(xué)習(xí)能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，BELBIC能夠使步進(jìn)電機(jī)運(yùn)行的更平滑，魯棒性更強(qiáng)。

插補(bǔ)算法是數(shù)控加工系統(tǒng)的關(guān)鍵部分之一，它的好壞將影響到系統(tǒng)的加工精確度和實(shí)時(shí)性。本文中提出的自適應(yīng)插補(bǔ)算法適用于對以參數(shù)方程表示、且Frenet標(biāo)架存在的正則曲線的擬合加工。因?yàn)椴逖a(bǔ)點(diǎn)均落在曲線上，所以不存在累積誤差而只存在弓高誤差。在計(jì)算曲率半徑時(shí)，誤差精確度作為一項(xiàng)參數(shù)代入計(jì)算。因此每步的插補(bǔ)均能保證在誤差要求范圍內(nèi)。該算法在得到參數(shù)變化值之后，能夠直接通過參數(shù)方程知道各軸上需插補(bǔ)的進(jìn)給量，然后轉(zhuǎn)換成脈沖數(shù)，直接輸出給各軸刀具的執(zhí)行機(jī)構(gòu)——步進(jìn)電機(jī)，該算法比較符合步進(jìn)電機(jī)的特點(diǎn)。.

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