平面2自由度并聯(lián)機構動力學性能優(yōu)化

高秀蘭，魯開講，史革盟

(寶雞文理學院，陜西寶雞721007)

近年來，并聯(lián)機器人的應用領域在不斷擴大，隨著科學技術的發(fā)展，對機構的性能提出了越來越高的要求。工作空間是機器人最重要的性能指標，合理地定義工作空間是機器人結構設計的首要環(huán)節(jié)。最大限度地提高機構的運動速度，是現(xiàn)代機器人技術發(fā)展的主要標志，為了適應高速和高加速度的要求，許多學者從運動學和動力學方面［1－8］提出了多種動態(tài)性能指標來量化機器人機構的動態(tài)性能。然而并聯(lián)機構的工作空間與動態(tài)性能之間往往是矛盾的，為了獲得良好的動態(tài)性能，只有放棄使用部分工作空間。目前并聯(lián)機構的結構設計主要是基于運動學［9－12］和動力學［10－12］性能指標進行的，而兼顧機器人工作空間［13－15］的設計較少，其主要原因是并聯(lián)機構工作空間的定義與描述本身就是一個難題。機構的工作空間與動態(tài)性能在很大程度上取決于機構的結構參數(shù)，對機構進行優(yōu)化設計將是一種可行的方法，它可以兼顧工作空間和動態(tài)性能這兩個方面，并使它們之間達到均衡，保證機構的總體性能最優(yōu)。作者以關節(jié)驅動力矩在預定設計空間的最大值作為評定機構動力學性能的指標，將機構對設計空間的要求看作是對結構參數(shù)的約束，從而將機構的優(yōu)化設計歸結為約束優(yōu)化問題，得到了兼顧設計空間和動力學性能的最優(yōu)結構參數(shù)。

1 平面2自由度并聯(lián)機構逆運動學分析

平面2自由度并聯(lián)機構的末端點C通過兩條支鏈與基座相連，如圖1所示。取參考坐標系Oxy。

圖1 平面2自由度并聯(lián)機構運動簡圖

選取機構一個分支，構成開式運動鏈，該分支關節(jié)速度到動平臺的運動速度˙x的映射關系

式中:x為末端點C的位置矢量，x=［x y］T，上標r表示分支序號，中的下標表示分支中運動副的序號。

當已知動平臺的速度，可求得該分支關節(jié)相對速度

同樣，可以得到每個分支關節(jié)運動加速度¨φ(r)到動平臺的運動加速度矢量的映射關系

式中:xm、ym、xn、yn的下標與該分支關節(jié)序號對應。

2 并聯(lián)機構凱恩方程

2.1 輸入構件廣義主動力和廣義慣性力計算

選取末端點C的坐標x、y為廣義坐標。由式(1)得

輸入桿質心Gr的速度

輸入構件ArBr對各獨立速度的偏角速度分別為

作用在輸入構件上的主動力有重力及驅動力矩，取質心為簡化中心，其主矢和主矩分別為

輸入構件對各獨立速度的廣義主動力和廣義慣性力

r'表示質量微元dm相對簡化中心 (質心)的矢徑，a'i為微元dm相對簡化中心的加速度。

2.2 從動構件廣義主動力和廣義慣性力計算

由式 (1)得關節(jié)的相對角速度

從動構件角速度矢量

質心Q的速度

按獨立速度整理

機構在末端點C處作用有集中力Fx和Fy(見圖2)，它使得從動桿產生附加力，由于桿的重力比Fx和Fy要小得多，因而忽略桿的重力而將從動桿看作二力桿，認為從動桿對末端點的作用力沿桿軸線方向，對末端點進行靜力分析求得附加力

圖2 末端點C的受力分析

作用在從動構件上的主動力有重力和附加力。取質心為簡化中心，其主矢和主矩分別為

從動構件對各獨立速度的廣義主動力和廣義慣性力

將所有構件上的廣義主動力和廣義慣性力分別求和，得到機構相對于各個獨立速度廣義主動力和廣義慣性力

基于凱恩方法，可以得到機構的動力學方程

寫成矩陣形式

式中:τ為主動關節(jié)驅動力矩矢量，τ=［τ1τ2］T;

V(x)為操作空間的慣性矩陣，B(x)∈R2×2×2;

P(x)是克服外界負載和重力所需的關節(jié)驅動力矩，僅與機構的位形有關。

3 動力學性能優(yōu)化

3.1 機構的工作空間與設計空間

機構每個分支的工作空間是以Ar為中心的環(huán)形區(qū)域，如圖3所示，機構的工作空間是各支鏈子空間的交集，它由圖中4段圓弧圍成。如果要求工作空間能包容一個邊長為b的正方形，中心在P(x0，y0)，其頂點為Ci

式中:αi為PiCi與x軸的夾角，α1，i=1～4。

圖3 機構工作空間解析

如果給定設計空間，則機構結構尺寸必須滿足下面的幾何約束條件:

(1)過A1向C1C4引垂線，如果垂足 D1位于C1C4之間，則要求

如果垂足位于C1C4之外，則要求

同樣對于分支2，如果垂足位于C1C2之間，則要求

如果垂足位于C1C2之外，則要求

(2)在三角形A1G1A2中

(3)各支鏈子空間外邊界應包含 C1、C2、C3、C4，即

3.2 機構動力學性能指標和動力學優(yōu)化設計

對機器人進行軌跡規(guī)劃或實際控制時，必須考慮在整個設計空間以及機構運行速度和加速度的范圍內，關節(jié)驅動力矩的最大值τmax

式中:b為設計變量，包括機構的結構參數(shù)和動力參數(shù);i為分支序號;D為設計空間;、分別為允許運行的最大速度和加速度;τi為主動關節(jié)的驅動力矩。

τmax可以作為評定機構動力學品質優(yōu)劣的性能指標，它代表機器人在整個工作空間的總體性能。

并聯(lián)機構由多條分支組成，其工作空間是各分支子空間的交集，與傳統(tǒng)的串聯(lián)機器人相比，并聯(lián)機構最大的不足就是工作空間相對較小。另外在工作空間中心部位，動力學性能良好，由里向外，機構的動力特性變差。為了獲得良好的動力學性能，就要放棄使用靠近邊界的這部分工作空間。對機構進行動力學優(yōu)化設計，就是要兼顧設計空間與動力學性能這兩個矛盾的方面，將機構對設計空間的要求看作是對結構尺寸的約束，從而將動力學優(yōu)化描述成:給定機構的設計空間，確定一組結構參數(shù)和動力學參數(shù)，在結構參數(shù)滿足工作空間要求的幾何約束條件下，使機構的某種全局性能指標在整個設計空間最優(yōu)。有實用意義的優(yōu)化模型有:

(1)對于僅在低速運行的機構，為了使機構結構最緊湊，占用的空間最小，應使其結構尺寸的總和最小，即在結構尺寸滿足第3.1節(jié)中的幾何約束條件下，使

(2)對于加減速頻繁和高速運行的機構，在結構尺寸滿足第3.1節(jié)中的幾何約束條件下，應使機構的動力性能最優(yōu)，即

式 (6)的性能指標的含義是:在給定機構的結構參數(shù)和動力學參數(shù)以后，使機構的末端點以允許范圍的速度和加速度在整個設計空間運行時，各個主動關節(jié)驅動力矩的最大值。

4 應用實例

根據(jù)使用要求，機構工作空間包含一個邊長b=200 mm、中心坐標P(50 mm，300 mm)的正方形區(qū)域，將其視為機構預定的設計空間，并且要求機構工作時，末端點在此空間能達到的最大速度和加速度=(±2.5，±2.5)m/s，¨xmax=(±250，±250)m/s2。桿AB和BC為均質桿，直徑分別為32 mm和25 mm。

讓性能指標τmax分別取一系列指定值，可以得到關節(jié)驅動力矩在工作空間的等位線，如圖4所示?？梢?在工作空間的中部，關節(jié)驅動力矩小，機構動力學性能良好，由里向外，機構的動力學性能逐漸變差。如果將預定設計空間也表示在圖中，將不難看出機構在設計空間中的最大驅動力矩。

圖4 工作空間邊界及關節(jié)驅動力矩等位線圖

以機構結構參數(shù)為設計變量b=［L1，L2，L3，L4，a］，求解優(yōu)化模型 (7)和 (8)，得到這兩種情形下的最優(yōu)結構參數(shù)，如表1所示。按尺度最優(yōu)的設計方案繪制機構的工作空間，如圖5所示，它與設計空間的關系表明，所得的結構參數(shù)是滿足設計空間要求的最緊湊的構型要求。

表1 兩種情形下的最優(yōu)結構參數(shù)

圖5 尺度最優(yōu)方案下的工作空間與設計空間

為了測試優(yōu)化結果對動力學性能影響的程度，用動力學仿真的方法，計算末端點在整個設計空間運動時的關節(jié)驅動力矩，結果如圖6所示，關節(jié)驅動力矩在整個預定的設計空間峰值小，變化平緩，變化范圍小。這預示著，按最優(yōu)結構參數(shù)設計的機構，在預定的設計空間具有較好的動力學性能。

圖6 動力性能優(yōu)化后關節(jié)驅動力矩在設計空間的變化規(guī)律

5 結論

采用影響系數(shù)理論，分析了機構逆向運動學，以機構末端點坐標為廣義坐標，建立機構動力學模型，關節(jié)驅動力矩能用解析式表示，為動力學性能的靈敏度分析創(chuàng)造了條件。將機構對設計空間的要求處理為對結構參數(shù)的幾何約束，從而將機構的優(yōu)化設計歸結為基于性能指標的約束優(yōu)化問題，所得的最優(yōu)結構參數(shù)，兼顧了設計空間與動力學性能。在實例中，采用動力學仿真的方法，驗證了方法的有效性。

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