時(shí)間步長(zhǎng)及網(wǎng)格尺度對(duì)物質(zhì)輸運(yùn)數(shù)值模擬結(jié)果的影響

曹 剛

（山西省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，山西 太原 030024）

1 引言

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的迅猛發(fā)展，水環(huán)境受到各方面的普遍重視。在此背景下，隨著環(huán)境水力學(xué)數(shù)值模擬技術(shù)及計(jì)算機(jī)水平的進(jìn)步，水動(dòng)力—物質(zhì)輸運(yùn)數(shù)學(xué)模型以其經(jīng)濟(jì)性好、所受限制少、信息完整、便于修改保存以及能夠滿足實(shí)際工作需求等優(yōu)勢(shì)，在環(huán)境影響評(píng)價(jià)、水資源保護(hù)、水利工程風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、水環(huán)境容量分析等方面得到越來越廣泛的應(yīng)用。從數(shù)值模擬的角度而言，水環(huán)境數(shù)值模擬結(jié)果的精度及可靠性與計(jì)算采用的時(shí)間步長(zhǎng)和網(wǎng)格尺度關(guān)系密切。文章依托國(guó)內(nèi)外普遍認(rèn)可的國(guó)際通用軟件，對(duì)給定的計(jì)算方案采用不同的時(shí)間步長(zhǎng)及網(wǎng)格尺度進(jìn)行多組次的平行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，通過對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果的分類對(duì)比分析，研究了時(shí)間步長(zhǎng)及空間網(wǎng)格尺度對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果的影響。

下文以長(zhǎng)10 000 m、寬100 m的平底矩形斷面明渠為對(duì)象，上游給定流量邊界200 m3/s，下游給定水位邊界（水深5 m），渠道中部偏上游位置投放保守物質(zhì)作為示蹤劑，投放時(shí)間30 s，以此模仿河道中有限時(shí)間排放源排放的物理過程。數(shù)值模擬組次包括不同時(shí)間步長(zhǎng)（變幅0.0~0.5 min）以及不同網(wǎng)格尺度（30 m×10 m，15 m×10 m，7.5 m×5 m）的多種組合工況。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 初始條件

本文研究初始條件采用冷啟動(dòng)，即給定初始水位，各流速分量初始值設(shè)定為0，初始保守物質(zhì)濃度為0，計(jì)算一定時(shí)間，待流場(chǎng)穩(wěn)定后，再按照設(shè)定濃度模擬投放保守物質(zhì)30 s。

2.2 控制方程的離散及求解

該模型的數(shù)值求解采用有限差分法對(duì)正交曲線坐標(biāo)下的平面二維水動(dòng)力連續(xù)方程、運(yùn)動(dòng)方程及物質(zhì)輸運(yùn)方程進(jìn)行離散，得到離散的控制方程，再對(duì)其采用交替方向隱式法（ADI）及迭代法進(jìn)行數(shù)值求解。

3 數(shù)值模擬結(jié)果及分析

3.1 不同時(shí)間步長(zhǎng)計(jì)算結(jié)果比較

表1給出了在網(wǎng)格尺度30 m×10 m時(shí)，不同時(shí)間步長(zhǎng)條件下，保守物質(zhì)投放后渠道內(nèi)峰值濃度的變化過程。數(shù)據(jù)分析可知，保守物質(zhì)投放后，隨水流逐漸向下游推移，在水體對(duì)流稀釋和擴(kuò)散作用下，示蹤劑的峰值濃度隨時(shí)間推移逐漸下降。

表1 30 m×10 m網(wǎng)格尺度時(shí)不同時(shí)間步長(zhǎng)的峰值濃度

本文還分別對(duì)15 m×10 m，7.5 m×5 m網(wǎng)格時(shí)，不同時(shí)間步長(zhǎng)條件下，保守物質(zhì)投放后渠道內(nèi)峰值濃度的變化過程進(jìn)行了數(shù)值模擬。計(jì)算結(jié)果表明，各種網(wǎng)格尺度下，渠道內(nèi)示蹤劑的峰值濃度變化過程表現(xiàn)出一致的規(guī)律性，僅在保守物質(zhì)投放初期，不同網(wǎng)格尺度下的峰值濃度之間存在一定差值，并有時(shí)間步長(zhǎng)越小、峰值濃度越大的趨勢(shì)，但實(shí)際數(shù)據(jù)數(shù)值相差極為有限，隨著時(shí)間的推移，各組數(shù)據(jù)很快趨于一致。且各時(shí)間步長(zhǎng)下峰值濃度變化的相位也保持一致。這一結(jié)果表明，此類數(shù)值模擬任務(wù)在保證計(jì)算穩(wěn)定性的前提下，計(jì)算結(jié)果對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)不敏感。

3.2 不同網(wǎng)格尺度計(jì)算結(jié)果比較

表2給出了時(shí)間步長(zhǎng)為0.01 min時(shí)不同網(wǎng)格尺度下，保守物質(zhì)投放后渠道內(nèi)峰值濃度的變化過程。由表2中數(shù)據(jù)可見，保守物質(zhì)投放后，隨水流逐漸向下游推移，在對(duì)流稀釋和擴(kuò)散作用下，峰值濃度逐漸下降。

表2 時(shí)間步長(zhǎng)0.01 min時(shí)不同網(wǎng)格尺度下峰值濃度變化

本文還分別對(duì) 0.05 min，0.10 min，0.25 min條件下，不同網(wǎng)格尺度條件下，保守物質(zhì)投放后渠道內(nèi)峰值濃度的變化過程進(jìn)行了分析研究。研究結(jié)果表明，在0.05 min，0.10 min，0.25 min時(shí)間步長(zhǎng)下，渠道內(nèi)保守物質(zhì)峰值濃度變化過程規(guī)律性一致，且這一規(guī)律與不同時(shí)間步長(zhǎng)下結(jié)果一致。在保守物質(zhì)投放初期，不同網(wǎng)格尺度下峰值濃度之間存在明顯差值，并呈現(xiàn)網(wǎng)格尺度越小、峰值濃度越大的趨勢(shì)，峰值濃度變化的相位也有微小差別。隨著時(shí)間的推移，各組數(shù)據(jù)逐漸趨于重合，但其差別遠(yuǎn)較不同時(shí)間步長(zhǎng)下情況明顯。計(jì)算結(jié)果表明，在此類數(shù)值模擬中，網(wǎng)格尺度對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響局限在一定的區(qū)域內(nèi)，但其影響程度與范圍遠(yuǎn)較時(shí)間步長(zhǎng)變化的作用明顯。

4 結(jié)論

本文采用二維平面水動(dòng)力—傳質(zhì)數(shù)學(xué)模型模擬了明渠有限時(shí)間排放源的情況下，保守物質(zhì)在水流中的輸運(yùn)過程，計(jì)算了不同時(shí)間步長(zhǎng)及網(wǎng)格尺度情況下保守物質(zhì)的濃度分布變化情況，得到了多組次的平行計(jì)算結(jié)果。

數(shù)值模擬結(jié)果表明，保守物質(zhì)投放后，隨水流逐漸向下游推移，在對(duì)流稀釋和擴(kuò)散作用下，峰值濃度逐漸下降。在不同的時(shí)間步長(zhǎng)下，僅在保守物質(zhì)投放初期，峰值濃度之間存在微小差值，峰值濃度變化的相位保持一致，隨著時(shí)間的推移，各組數(shù)據(jù)很快趨于重合，表明此類數(shù)值模擬任務(wù)在保證計(jì)算穩(wěn)定性的前提下，計(jì)算結(jié)果對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)不敏感。

在保守物質(zhì)投放初期，不同網(wǎng)格尺度下峰值濃度之間存在明顯差值，并呈現(xiàn)網(wǎng)格尺度越小、峰值濃度越大的趨勢(shì)，峰值濃度變化的相位也有微小差別。隨著時(shí)間的推移，各組數(shù)據(jù)逐漸趨于重合，表明在此類數(shù)值模擬中網(wǎng)格尺度對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響局限在一定的區(qū)域內(nèi)，但其影響程度與范圍遠(yuǎn)較時(shí)間步長(zhǎng)變化的作用明顯。進(jìn)一步分析數(shù)值模擬過程可知，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果在一定范圍內(nèi)對(duì)網(wǎng)格尺度敏感性較高的原因在于，模型計(jì)算中，將一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)投放的保守物質(zhì)在一個(gè)網(wǎng)格單元中進(jìn)行瞬間稀釋，時(shí)間步長(zhǎng)相同時(shí)，單元越小，初始濃度越高，故初始階段的峰值濃度也隨之升高。但數(shù)值模擬結(jié)果表明，這種影響僅在有限的時(shí)間與空間尺度上發(fā)生作用，對(duì)遠(yuǎn)區(qū)無明顯影響，遠(yuǎn)區(qū)結(jié)果已屬于網(wǎng)格無關(guān)解。

因此，對(duì)網(wǎng)格尺度應(yīng)根據(jù)所作研究的具體需要進(jìn)行選擇，若關(guān)心物質(zhì)排放點(diǎn)附近的分布情況，則應(yīng)加密網(wǎng)格，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量已不滿足數(shù)值模擬的經(jīng)濟(jì)性和可實(shí)現(xiàn)性要求時(shí)，應(yīng)考慮采用其他研究方法。