RS碼的實(shí)際應(yīng)用及編譯碼器設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)

宋 君， 文 磊， 雷 菁， 李文雯

（國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410073）

0 引言

自從香農(nóng)定理提出以后，人們一直在尋找一種性能好、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的糾錯(cuò)碼，但是事實(shí)是，性能好的碼字其編碼復(fù)雜度越高，難于在實(shí)際的設(shè)備中使用。在眾多的糾錯(cuò)碼中，RS碼已被很多領(lǐng)域證明是一種極具優(yōu)勢(shì)的好碼，由于 RS碼是一種線性分組碼，因此可以糾正隨機(jī)差錯(cuò)，RS碼又是一種多進(jìn)制碼，所以在糾正突發(fā)差錯(cuò)的能力，RS碼是一種循環(huán)碼，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，這些優(yōu)點(diǎn)使得 RS碼是最優(yōu)的線性分組碼，也是很多領(lǐng)域中應(yīng)用具有很好前景的碼字，目前 RS碼在智能探測(cè)車通信模塊中、水聲通信技術(shù)、低頻導(dǎo)航系統(tǒng)、超短波通信、車載無(wú)線通信、空空導(dǎo)航遙測(cè)系統(tǒng)、IPTV（網(wǎng)絡(luò)電視）以及現(xiàn)代數(shù)字電子技術(shù)領(lǐng)域中都有應(yīng)用，并且已被驗(yàn)證過(guò)在應(yīng)用中具有非常良好的性能，能夠更好的完成預(yù)達(dá)目的，所以 RS碼將在未來(lái)具有很強(qiáng)的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)和發(fā)展空間。

1 RS碼編碼實(shí)現(xiàn)

圖1 多項(xiàng)式除法電路

基于如上的除法電路，可以得到如圖 2的 RS碼編碼電路。

圖2 RS碼編碼電路

具體的編碼過(guò)程如下：

1）2t個(gè)移位寄存器的初態(tài)全為0，開(kāi)關(guān)0閉合，開(kāi)關(guān)1打至a端。信息組以高位先入的順序進(jìn)入電路，一路直接經(jīng)編碼輸出端輸出，另一路送入 ()g x的除法電路，即完成了的運(yùn)算。

2）k次移位后，信息組全部輸出，同時(shí)它也全部進(jìn)入除法電路完成相應(yīng)的除法運(yùn)算。移位寄存器中存儲(chǔ)的數(shù)值即為余式 ()r x的系數(shù)，即 RS碼的校驗(yàn)元。

3）開(kāi)關(guān)0打開(kāi)，開(kāi)關(guān)1打至b端，移位寄存器中的校驗(yàn)元經(jīng)過(guò)2t次移位后跟在信息組后面輸出，形成一個(gè)已完成編碼的完整碼字。

4）開(kāi)關(guān)0閉合，開(kāi)關(guān)1打至a端，送入下一個(gè)信息組重復(fù)上述過(guò)程[1]。

根據(jù)以上電路設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn) RS碼編碼器。設(shè)某個(gè)RS碼的信息元個(gè)數(shù)為k，校驗(yàn)元個(gè)數(shù)為2t，生成多項(xiàng)式為代表編碼電路中的移位寄存器，其中則校驗(yàn)元的計(jì)算流程如圖3所示。

在完成以上的流程后，2t個(gè)移位寄存器中存儲(chǔ)的結(jié)果即為 RS碼編碼信息序列所對(duì)應(yīng)的校驗(yàn)元。將原始信息序列與校驗(yàn)元排列為系統(tǒng)碼的形式，即可得到一個(gè)RS碼的完整的碼字[2]。

基于以上內(nèi)容，編程實(shí)現(xiàn)了RS碼的編碼函數(shù)，并將其與MATLAB軟件中內(nèi)置的RS碼編碼函數(shù)進(jìn)行比較，結(jié)果如表1所示。

由表2可以看出，自編函數(shù)的編碼結(jié)果與內(nèi)置函數(shù)的編碼結(jié)果完全相同。

圖3 RS碼校驗(yàn)元計(jì)算流程

表1 兩種編碼函數(shù)的編碼結(jié)果

2 RS碼譯碼的BM算法實(shí)現(xiàn)

在BCH碼和RS碼的譯碼問(wèn)題主要?dú)w結(jié)于一個(gè)關(guān)鍵方程的求解，即錯(cuò)誤位置多項(xiàng)式的求解。各種譯碼算法實(shí)際上也是錯(cuò)誤位置多項(xiàng)式的求解而展開(kāi)。由于BM算法適合于軟件實(shí)現(xiàn)，因此被應(yīng)用于本文，并在以下進(jìn)行詳細(xì)深入的討論。

設(shè)上文中提到的錯(cuò)誤位置多項(xiàng)式有如下形式：

很顯然可以看出，錯(cuò)誤位置數(shù)就是()xσ根的倒數(shù)[3]。

下面引入表征()xσ的系數(shù)和校正子分量之間關(guān)系的方程，即廣義牛頓恒等式：

設(shè)第μ次迭代確定的最低次數(shù)多項(xiàng)式為()()xμ σ =,使其滿足如下lμμ-個(gè)恒等式：

重復(fù)以上步驟，直至完成2t步迭代。在第2t步迭代中，得到：

當(dāng)碼元中的錯(cuò)誤數(shù)目不超過(guò)t時(shí)，這個(gè)多項(xiàng)式就是所求的錯(cuò)誤位置多項(xiàng)式[4]。

如果 0dμ= ，設(shè)；如果 0dμ≠ ，需要對(duì)做出相應(yīng)的修正。先返回第μ次迭代前的各步，確定多項(xiàng)式()()xρ σ ，使得 0dρ≠ 且 lρρ-具有最大值，lρ表示多項(xiàng)式()()xρ σ 的次數(shù)，然后令：

在非計(jì)算機(jī)運(yùn)算中，()xσ迭代過(guò)程表可以幫助更好地理解BM算法的迭代過(guò)程，也可以避免因較多的運(yùn)算而造成的計(jì)算錯(cuò)誤。()xσ迭代過(guò)程表如表2所示。

表2 迭代過(guò)程表

表2 迭代過(guò)程表

μ()xσdμ lμlμ μ--1 1 1 0 -1 0 1 1S 0 0 1 2?2 t

編程實(shí)現(xiàn)BM算法的具體步驟如下：

1）初始化。令(1)()1xσ-=，11d-=，10l-=；

3）計(jì)算1dμ+進(jìn)行下一次迭代，重復(fù)步驟2直至

BM算法的流程圖如圖4示。

圖4 BM算法流程

3 仿真比較分析

在對(duì)基本理論知識(shí)加以掌握和了解的基礎(chǔ)上，使用MATLAB軟件構(gòu)建了RS碼編譯碼器的仿真平臺(tái)，并對(duì)RS碼的糾錯(cuò)性能進(jìn)行了仿真。

首先將自編的RS碼譯碼函數(shù)性能與MATLAB內(nèi)置 RS碼譯碼函數(shù)性能相比較。設(shè) 5m= ，碼長(zhǎng)，糾錯(cuò)能力為 3t= ，發(fā)送端發(fā)送的為全0碼字，采用BPSK調(diào)制方式，模擬信號(hào)在二元對(duì)稱信道上傳輸，信道的信噪比從4 dB至7 dB遞增。兩種譯碼實(shí)現(xiàn)的性能如圖5示。

由圖5曲線可以看出，在相同信道條件下，兩種譯碼實(shí)現(xiàn)的誤碼率在數(shù)量級(jí)上基本保持一致。因此得知，自編RS碼譯碼函數(shù)性能與MATLAB內(nèi)置RS碼譯碼函數(shù)性能大致相同。但在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，盡管在性能上保持大致相同，但是自編函數(shù)在運(yùn)算速度上不及MATLAB內(nèi)置函數(shù)[7]。

圖5 3m= 時(shí)兩種譯碼實(shí)現(xiàn)性能的比較圖

圖6 RS碼糾錯(cuò)性能

由圖中曲線可以看出，傳輸信號(hào)的誤碼率總體上隨信噪比的增加而降低。在高信噪比的條件下，RS碼具有較為理想的糾錯(cuò)效果，能夠保證接收到的碼字在糾錯(cuò)后具有較低的誤碼率。但在低信噪比條件下，由于噪聲的增強(qiáng)，可能出現(xiàn)誤碼個(gè)數(shù)超出糾錯(cuò)能力的情況。在這種情況下，RS碼不僅不能實(shí)現(xiàn)糾錯(cuò)，甚至在誤碼個(gè)數(shù)超過(guò)碼的最小距離時(shí)，可能將接收到的碼字譯成另一個(gè)與原始碼字完全不同的碼，從而造成更大的誤差。同時(shí)也可以看出，在碼長(zhǎng)相同的條件下，t值越大碼的糾錯(cuò)性能越好。在具體工程實(shí)踐中，需要根據(jù)信道的實(shí)際情況和對(duì)通信質(zhì)量的具體要求，選擇合適的碼形[9]。

4 結(jié)語(yǔ)

本文主要介紹了 RS碼的實(shí)際應(yīng)用和編譯碼器的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)。在編碼方面，首先介紹了 RS碼編碼的基本原理，然后引入了使用生成多項(xiàng)式 ()g x編碼的n k- 級(jí)編碼器，它基于多項(xiàng)式的除法電路構(gòu)建，能夠生成所需要的系統(tǒng)碼。在譯碼方面，詳細(xì)分析了 RS碼譯碼算法中較為典型、也是在本項(xiàng)目中使用的BM算法，包括基本原理、具體步驟、算法流程等幾個(gè)方面。最后，依托 MATLAB軟件搭建的RS碼編譯碼器仿真平臺(tái)對(duì)RS碼的糾錯(cuò)性能進(jìn)行分析，得到相應(yīng)的結(jié)論。在此過(guò)程中，所使用的仿真函數(shù)都是自編函數(shù)，并將自編函數(shù)的性能與MATLAB軟件內(nèi)置函數(shù)的性能進(jìn)行了比較。

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