從一道高考題談學(xué)生的運(yùn)算求解能力

安徽省黃山市屯溪第一中學(xué) 方 瑋 （郵編：245011）

運(yùn)算求解能力是高考對(duì)學(xué)生的能力要求之一，高考試卷中幾乎每一道題都要考查到這種能力.一道題解題思路的探究過(guò)程需要它；一道題有了正確的思路以后，能否得到最終結(jié)果取決于它；一道題運(yùn)算量的大小、運(yùn)算難度與強(qiáng)度的高低也離不開它.因此，學(xué)生的運(yùn)算求解能力直接關(guān)系到解題的效率和成敗.

本文以2013年高考（安徽卷）文科數(shù)學(xué)第17題的第（Ⅱ）問(wèn)為例，結(jié)合筆者所帶班級(jí)中63名高二學(xué)生的原始答題情況，談?wù)剬W(xué)生目前的運(yùn)算求解能力.

1 原題再現(xiàn)

為調(diào)查甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)情況，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級(jí)學(xué)生，以他們的數(shù)學(xué)成績(jī)（百分制）作為樣本，樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：

（I）略.

2 解法歸納

從學(xué)生的原始解法中歸納出比較典型的6種正確解法和3種錯(cuò)誤解法：

2.1 正確解法

正解2

2.2 錯(cuò)誤解法

錯(cuò)解2由莖葉圖可知甲、乙兩校樣本中有16人的成績(jī)相同，則

3 解法評(píng)注

此類解法總?cè)藬?shù)為43，約占68.25%，其中解法1人數(shù)為12，約占19.05%；解法2人數(shù)為13，約占20.23%；解法3人數(shù)為18，約占28.57%.

從上述數(shù)據(jù)來(lái)看，此類解法屬于該題的“通法”，其優(yōu)點(diǎn)是學(xué)生容易想到，思路也比較自然；但其缺點(diǎn)是運(yùn)算量較大，且運(yùn)算易出錯(cuò).尤其是解法1，學(xué)生計(jì)算的錯(cuò)誤率要高于解法2和解法3.實(shí)際上，解法1只考查到學(xué)生的運(yùn)算技能，而解法2和解法3則體現(xiàn)了對(duì)數(shù)據(jù)的處理能適當(dāng)降低運(yùn)算的難度，除了需要學(xué)生的運(yùn)算技能外，更有思維能力的運(yùn)用.正如《考試說(shuō)明》中所說(shuō)的：運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合.

解法4 是將同一根“莖”兩邊的“葉”相抵消；解法5是將樣本數(shù)據(jù)“分組”抵消；解法6是將樣本數(shù)據(jù)“兩兩”抵消.這與前一類解法相比，不僅少了一個(gè)步驟，而且通過(guò)“減法”運(yùn)算抵消了一部分?jǐn)?shù)據(jù)，大大降低了運(yùn)算的難度與強(qiáng)度，從而也降低了計(jì)算的“錯(cuò)誤率”.《考試說(shuō)明》中指出：運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算公式，確定運(yùn)算程序等一系列過(guò)程中的思維能力.第二類方法正是這一點(diǎn)的體現(xiàn)，尤其是解法4.（注：解法4是高考公布的參考答案）

但此類解法總?cè)藬?shù)僅為7，約占11.11%.其中解法4人數(shù)為3，約占4.76%；解法5人數(shù)為3，約占4.76%；解法6人數(shù)為1，約占1.59%.上述數(shù)據(jù)反映大部分學(xué)生在考場(chǎng)上短時(shí)間之內(nèi)不易想到此類思路，而且“先入為主”的是前一類思路.由此說(shuō)明學(xué)生目前的運(yùn)算求解能力中的“思維能力”部分還有待提高.

評(píng)注3 從學(xué)生的答題思路中也發(fā)現(xiàn)了三種比較典型的錯(cuò)誤解法，總?cè)藬?shù)為8，約占12.70%.其中錯(cuò)解1的思路同正解4，但它忽略了“莖”為5、6、7、9的“葉”不一樣長(zhǎng)，想當(dāng)然地將兩邊的“葉”的數(shù)據(jù)的和抵消，從而得到錯(cuò)誤的結(jié)果，甚是可惜.錯(cuò)解2與錯(cuò)解3則犯了“概念”上的錯(cuò)誤，而且這種錯(cuò)誤的隱蔽性高，不易發(fā)現(xiàn).錯(cuò)解2先將甲、乙兩校樣本中的相同數(shù)據(jù)抵消，再將剩下14個(gè)數(shù)據(jù)的差的和除以14，從而得到錯(cuò)誤結(jié)果.錯(cuò)解3先分別求出六組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求這六個(gè)平均數(shù)的平均數(shù)，錯(cuò)誤地把這個(gè)結(jié)果作為樣本平均數(shù)，這兩種錯(cuò)解都是混淆了樣本平均數(shù)的概念.

4 教學(xué)反思

對(duì)于這次學(xué)生的答題情況，筆者感到大部分學(xué)生的運(yùn)算求解能力還未達(dá)到高考的要求，當(dāng)然這里有各種各樣的原因，有教師方面的，也有學(xué)生方面的.學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)的這樣那樣的錯(cuò)誤也不僅僅是粗心、馬虎所造成的，而應(yīng)該是多方面原因的綜合表現(xiàn)，所以應(yīng)引起我們的足夠重視.

4.1 不足之處

（1）平常在“莖葉圖”等知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中，不大重視運(yùn)算環(huán)節(jié)，總認(rèn)為學(xué)生只要會(huì)算就可以了，沒(méi)必要占用過(guò)多的教學(xué)時(shí)間，沒(méi)有給學(xué)生創(chuàng)造訓(xùn)練“思維能力”和“運(yùn)算技能”的機(jī)會(huì).

（2）教學(xué)中忽略了“基本概念”的重要性，輕描淡寫、一帶而過(guò)，導(dǎo)致學(xué)生不能準(zhǔn)確、清晰、完整地掌握概念.而一旦出現(xiàn)了概念錯(cuò)誤，則使解題中的有些運(yùn)算成為“無(wú)用功”.

（3）教學(xué)中缺乏訓(xùn)練“處理數(shù)據(jù)”的能力，導(dǎo)致學(xué)生見到大量的數(shù)據(jù)后，迷失了方向，很難在短時(shí)間內(nèi)找到簡(jiǎn)捷的運(yùn)算思路.

（4）學(xué)生考慮問(wèn)題時(shí)“思維定勢(shì)”比較嚴(yán)重，不能靈活變通.解題時(shí)急于動(dòng)筆，忽略了思考，導(dǎo)致解題過(guò)程中存在較大的運(yùn)算量，事倍功半，降低了解題的效率.

（5）學(xué)生對(duì)運(yùn)算求解能力缺乏足夠的認(rèn)識(shí)，認(rèn)為只要聽懂思路，知道怎么做就行了，好高騖遠(yuǎn)且惰性嚴(yán)重，缺少動(dòng)筆練習(xí).

（6）學(xué)生考慮問(wèn)題不夠全面、不夠深入，思考時(shí)只停留在問(wèn)題的表面，或被一些表面現(xiàn)象所蒙蔽，導(dǎo)致犯了“想當(dāng)然”的錯(cuò)誤.

（7）學(xué)生平時(shí)過(guò)分依賴于計(jì)算器，錯(cuò)失動(dòng)手、動(dòng)腦的機(jī)會(huì)，從而影響了思維發(fā)展及運(yùn)算技巧的掌握.

（8）學(xué)生在運(yùn)算時(shí)往往顯得不夠自信，心理壓力大，畏首畏尾，導(dǎo)致一些“低級(jí)錯(cuò)誤”的發(fā)生.

4.2 改進(jìn)方向

（1）教學(xué)中，對(duì)一些表面上簡(jiǎn)單的“運(yùn)算”要端正態(tài)度，積極引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真對(duì)待.課堂上要?jiǎng)?chuàng)造機(jī)會(huì)，給學(xué)生一個(gè)自主思考的空間.

（2）培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，遇到一些復(fù)雜的式子、復(fù)雜的運(yùn)算，要細(xì)心去觀察、比較，找出其中的聯(lián)系、其中的規(guī)律，盡可能將其轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)捷的運(yùn)算.

（3）尋找思路時(shí)應(yīng)從通法入手，但也不能思維定勢(shì)，要結(jié)合問(wèn)題的條件，靈活地選擇運(yùn)算公式，確定運(yùn)算程序.

（4）培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成“慢思考、快動(dòng)筆”的習(xí)慣，要有耐性，不急不躁，克服急于求成的心理.考慮成熟后，方可減少運(yùn)算量，提高解題的效率.

（5）培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真計(jì)算的習(xí)慣，即使是簡(jiǎn)單的運(yùn)算也要小心謹(jǐn)慎，計(jì)算時(shí)要書寫工整、格式規(guī)范.保留好每一次計(jì)算的草稿紙，以便訂正時(shí)與老師的思路對(duì)比，找到錯(cuò)誤的原因，才能更有效地糾正錯(cuò)誤.

（6）重視對(duì)“概念”的教學(xué)，讓學(xué)生全方位、多角度地去理解概念，才能減少學(xué)生“想當(dāng)然”方面的錯(cuò)誤.

（7）加強(qiáng)對(duì)學(xué)生心理素質(zhì)方面的訓(xùn)練，以平和的心態(tài)對(duì)待運(yùn)算，既要做到“謹(jǐn)慎”，又要充滿“自信”，要敢于做題、敢于計(jì)算，才能提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確率.

（8）任何能力都是有計(jì)劃、有目的地訓(xùn)練出來(lái)的.因此，要加強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算練習(xí)，而且要按照一定的步驟和一定的規(guī)則進(jìn)行多練、巧練、反復(fù)練.

總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要的是創(chuàng)造能力，而解題則是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的最好手段.只有運(yùn)算求解能力提高了，解題水平才可以提高，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就一定可以搞好.