李曉霞

(運城學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，山西 運城 044000)

一類狀態(tài)脈沖不育控制的單種群模型

李曉霞

(運城學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，山西 運城 044000)

建立了一類狀態(tài)反饋脈沖控制的不育單種群模型，當(dāng)害鼠的數(shù)量達(dá)到經(jīng)濟(jì)危害水平時，通過滅殺，從而控制種群數(shù)量的增長。首先利用微分方程幾何理論和后繼函數(shù)的方法得到系統(tǒng)階1周期解得存在性，并給出了階1周期解得漸近穩(wěn)定性的充分條件。

狀態(tài)脈沖；不育；階1周期解

健康的生態(tài)系統(tǒng)是穩(wěn)定、具有活力、有自調(diào)節(jié)能力的系統(tǒng)。系統(tǒng)為每一種植物、動物、微生物都準(zhǔn)備了它們所需要的食物和生存空間，任何一種植物、動物、微生物在系統(tǒng)中都有自己的位置；它們的存在不僅無害，還有助于維持整個系統(tǒng)的健康發(fā)展。然而在自然變化過程和人類不合理活動的影響下，系統(tǒng)平衡常常會被打破，有些生物會偏離它們原來的動態(tài)軌跡，發(fā)生種群數(shù)量的爆發(fā)，破壞生態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和功能，威脅人類的利益，從而變成有害生物，如果是鼠類，則稱為害鼠。害鼠的綜合治理早在20世紀(jì)60年代后期收到了人們的普遍關(guān)注，控制害鼠的方法分為化學(xué)控制，不育控制，生物防治，機(jī)械防治，物理防治等?；瘜W(xué)控制會污染環(huán)境破壞生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。近年來，不育控制下的數(shù)學(xué)模型已受到廣大學(xué)者關(guān)注[1-8]，研究了不育控制下的害鼠種群模型。但是，不育控制下種群的減小是一個緩慢的過程。

在害鼠防治中，不應(yīng)當(dāng)見鼠就治，而應(yīng)當(dāng)考慮充分考慮作物的補(bǔ)償作用，有研究結(jié)果表明，草木受害后不一定就造成生長損失。相反，在一定程度上，可增加草木生長量。當(dāng)受害程度達(dá)到補(bǔ)償點時，草木生長率最大，超過補(bǔ)償點以后，才出現(xiàn)生長損失。因此，有害鼠不一定造成危害。從而在海鼠防治中，應(yīng)當(dāng)充分考慮作物的補(bǔ)償作用，確定害鼠的經(jīng)濟(jì)危害水平，制定準(zhǔn)確的經(jīng)濟(jì)閾值。基于此想法，本文建立一類不育控制下狀態(tài)脈沖收獲的害鼠防治模型，即當(dāng)害鼠數(shù)量達(dá)到經(jīng)濟(jì)危害水平h，實施滅殺控制，在小于經(jīng)濟(jì)危害水平h實施不育控制，關(guān)于帶有狀態(tài)依賴的脈沖微分方程[9]。

1 模型

其中x(t)，y(t)分別是害鼠可育者，害鼠不育者在時刻t的密度。近幾年，有關(guān)學(xué)者對不育控制下的種群模型做了不少的研究，但關(guān)于狀態(tài)反饋脈沖不育控制的單種群模型還沒有見到，因此研究以下系統(tǒng)：

在文獻(xiàn)[8]中，討論了不育控制下的單種群模型：這里所有系數(shù)均為非負(fù)的，μ是每次投放不育劑使得害鼠可育者變?yōu)椴挥叩谋壤?。h定義為經(jīng)濟(jì)危害水平中導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)危害的害蟲數(shù)量。

△x(t)=x(t+)－x(t)，△y(t)=y(t+)－y(t)，

p是實施滅殺控制時候的被捕獲的數(shù)量比例。

對系統(tǒng)(1)有以下結(jié)論：

定理1當(dāng)r-μ≤0時，系統(tǒng)(1)零平衡點(0，0)是全局漸近穩(wěn)定的；

2 階1周期解的存在性

主要利用微分幾何理論和后繼函數(shù)的方法討論狀態(tài)依賴的脈沖微分系統(tǒng)(2)的階1周期解的存在性。

為了使用方便，下面給出一些記號和定義。脈沖集為

脈沖函數(shù)為

I：(x，y)∈M→((1-p)h，(1-p)y)。

相集

N＝I(M)={(x，y)∈

x′(t)=0，y′(t)=0，

N1={(x，y)∈R2+|x=(1-p)h，y≥0}。

定義對于任意的點P∈N1，系統(tǒng)(2)存在過點P的軌線Γ，它與脈沖集M交與點P1，=I(P1)∈N，令yp+1，yp1，分別表示，P1與x軸距離，g(P)= yp+1-yp1那么g(P)就是點P的后繼函數(shù)，其中稱為點P的后繼點。

定理2當(dāng)r-μ＜0時，系統(tǒng)(2)的平衡點(0，0)是全局漸近穩(wěn)定的。

(Ⅰ)點B+與點A重合；(Ⅱ)點B+在點A正上方；(Ⅲ)點B+在點A正下方。

當(dāng)B+與點A重合時，顯然軌線Γ1就是系統(tǒng)(2)的階1周期解。下面證明在(Ⅱ)，(Ⅲ)這每種情形之下，都存在階1周期解。

當(dāng)B+在A正下方，在點A的正下方且充分接近取一點C′。經(jīng)過C′的軌線設(shè)其為，根據(jù)微分方程解函數(shù)的性質(zhì)，軌線Γ1與充分接近，且在兩軌線都沒有與脈沖集相交之前，它們沒有交點。又由于點是全局穩(wěn)定的焦點，所以經(jīng)過C′的軌線肯定與脈沖集M相交，設(shè)其交點為，則其坐標(biāo)可設(shè)為(h，)，顯然＜yB1，且充分接近B，根據(jù)系統(tǒng)(2)可得＜。從而C的后繼函數(shù)g(C)=＜yC1＜0。同樣取集合N1與x軸交點D′，則yD′=0。經(jīng)過D′的軌線設(shè)其為，由于點是全局穩(wěn)定的焦點，所以經(jīng)過D′的軌線肯定與脈沖集M相交，設(shè)其交點為，則其坐標(biāo)可設(shè)為(h，)，則yD′1＞0。從而點的相點為((1-p)h，(1-p))。從而的后繼函數(shù)g(D′)=-yD′＞0。由后繼函數(shù)的連續(xù)性1知，在線段D′C′一定存在一點E′，使得g(E′)=0，從而系統(tǒng)(2)存在階1周期解。

類似可證以下結(jié)論：

3 漸近穩(wěn)定性

由上面的分析可知，系統(tǒng)(2)在滿足一定條件下，存在階1周期解，下面討論階1周期解的穩(wěn)定性。

引理若乘子｜μ2｜＜1，則系統(tǒng)的T-周期解x＝ξ(t)，y＝η(t)是軌道漸近穩(wěn)定的，其中

P(x，y)=(r－k(x＋y)-μ)x，Q(x，y)＝μx－dy，

α(x，y)=－px，β(x，y)=-py，φ(x，y)＝x－h(huán)，

(ξ(T)，η(T))=(h+η0)，(ξ(T＋)，η(T+))=

((1－p)h，(1－p)η0)，

所以

令

那么，對于系統(tǒng)(2)有因為(x(t)，y(t))是系統(tǒng)(2)的周期為T的周期解，則

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A S ingle Modelw ith Contraception Im pulsive State Control

LI Xiao－xia
(Department of Applied Mathematics，Yuncheng University，Yuncheng Shanxi，044000)

In this paper，a single model with c ontraception i mpulsive state control is proposed.When it reach es the critical case，the controlmeasures are taken by harvesting.The sufficient conditions for existences of order-1 periodic solution are obtained by differential equation geometry theory and themethod of successor function.The order-1 periodic solution is orbitally asymptotically stable under some conditions.

i mpulsive state；contraception；order-1 periodic solution〔責(zé)任編輯 高 ?！?/p>

1674－0874（2013）03－0016－03

O175

A

2013-03-19

運城學(xué)院科研項目[YQ-2010011]

李曉霞(1984-)，女，山西臨猗人，碩士，助教，研究方向：泛函分?jǐn)?shù)。