鎖相環(huán)穩(wěn)定性判定方法與分析

魏選平,侯方勇,樊葡萄

（西安財(cái)經(jīng)學(xué)院行知學(xué)院,陜西 西安,710024）

0 引言

一個(gè)系統(tǒng)要正常工作，必須保持穩(wěn)定狀態(tài)。如果一個(gè)系統(tǒng)的時(shí)域系統(tǒng)函數(shù)滿足，即時(shí)域系統(tǒng)函數(shù)滿足可積性，則系統(tǒng)穩(wěn)定。穩(wěn)定性判定是系統(tǒng)工作的前提。鎖相環(huán)也可近似為一個(gè)線性系統(tǒng)，要正常的工作，除了輸出信號的相位與輸入信號的相位的差值比較小外，還應(yīng)使環(huán)路保持穩(wěn)定狀態(tài)。所以環(huán)路的穩(wěn)定性判定是一個(gè)重要的值得深入研究的問題。本文通過兩種方法對鎖相環(huán)的穩(wěn)定性進(jìn)行了對照分析，得出了具有借鑒性的結(jié)論。

1 鎖相環(huán)穩(wěn)定性判定方法

1.1 羅斯霍爾維茨定理

一線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定的依據(jù)是求出復(fù)頻域系統(tǒng)函數(shù)，如果系統(tǒng)函數(shù)的所有極點(diǎn)全部位于復(fù)平面的左半面，則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。對簡單系統(tǒng)可以利用這種方法，但對復(fù)雜大系統(tǒng)需用羅斯霍爾維茨定理。

羅斯霍爾維茨定理的內(nèi)容是：首先判斷系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式是否為霍爾維茨多項(xiàng)式，如不是，則可斷定系統(tǒng)不穩(wěn)定。如是，再用羅斯霍爾維茨定理判定。其方法是：先構(gòu)建羅氏陣列，如果羅氏陣列的第一列元素全大于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

為方便起見，以理想二階環(huán)為例進(jìn)行研究，

理想二階環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

閉環(huán)傳遞函數(shù)為

顯然，羅氏陣列的第1列數(shù)全大于0，所以理想二階環(huán)穩(wěn)定。

1.2 伯德準(zhǔn)則

伯德準(zhǔn)則是奈奎斯特準(zhǔn)則在伯德圖上的應(yīng)用，它用鎖相環(huán)開環(huán)頻率響應(yīng)的伯德圖（簡稱開環(huán)伯德圖）來判斷鎖相環(huán)的閉環(huán)穩(wěn)定性。環(huán)路的開環(huán)伯德圖可由開環(huán)傳遞函數(shù)作出。

鎖相環(huán)路的開環(huán)零極點(diǎn)都位于左半S平面和原點(diǎn)。這種系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件是系統(tǒng)的相位余量大于零。

這就是伯德準(zhǔn)則。使用此準(zhǔn)則時(shí)，首先作出環(huán)路的開環(huán)伯德圖，包括開環(huán)復(fù)頻曲線和開環(huán)相頻曲線。然后，由開環(huán)復(fù)頻曲線得到，再由開環(huán)相頻曲線得到相位余量?；蛘咧蛔鞒鲩_環(huán)復(fù)頻曲線，得到后再由式得到相位余量。

圖2 理想二階環(huán)的開環(huán)伯德圖

相位余量大于0，所以理想二階環(huán)穩(wěn)定。

2 結(jié)論

本文利用羅斯霍爾維茨定理和伯德準(zhǔn)則兩種方法對鎖相環(huán)的穩(wěn)定性進(jìn)行了對照分析，得出了相同的結(jié)論，說明伯德準(zhǔn)則是羅斯霍爾維茨定理的特殊形式，羅斯霍爾維茨定理對系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定具有普遍性和指導(dǎo)性。

[1]王福昌，魯昆生。鎖相技術(shù)[M]。武漢：華中科技大學(xué)出版社，2006。

[2]Floyd M.Gardner.鎖相技術(shù)[M]。北京：人民郵電出版社，2007。

[3]張厥勝，鄭繼禹。北京：鎖相技術(shù)[M]。電子科大出版社，2006。

[4]J.L.Stensby.Phase-locked Loops[M].CRC Press,Ne w York.1997

[5]孫祥,徐流美.MATLAB7.0基礎(chǔ)教程[M].北京:清華大學(xué)出版社,2002