關(guān)于一類(lèi)四階非線性微分方程的正解

張 芳

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037009）

關(guān)于一類(lèi)四階非線性微分方程的正解

張 芳

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037009）

通過(guò)使用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理，在適當(dāng)?shù)臈l件下，給出一類(lèi)四階非線性微分方程的一個(gè)正解的存在性結(jié)果。

正解；錐；不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)

兩端簡(jiǎn)單支撐的彎曲彈性梁的平衡狀態(tài)可用四階微分方程的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題來(lái)描述，關(guān)于該問(wèn)題解的存在性已有很多作者研究過(guò)并獲得一些存在性結(jié)果[1-3]。下面討論非線性四階邊值問(wèn)題的一個(gè)正解的存在性：

f∈C[I×R＋]，I=[0，1]，R＋=[0，＋∞）。同時(shí)引入以下符號(hào)：

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)G（t，s）是下面邊值問(wèn)題的格林函數(shù)：

引理1對(duì)于任意t，s∈[0，1]，G（t，s）有以下性質(zhì)：

（1）G（t，s）＞0；

（2）G（t，s）≤G（s，s）；

（3）G（t，s）≥G（t，t）≥G（s，s）。

下面在C[0，1]定義一個(gè)錐：

為了方便，定義：

Kr＝{u∈K∶｜｜u｜｜＜r}，?Kr＝{u∈K∶｜｜u｜｜=r}。

引理2 A∶K→K是全連續(xù)算子。

于是

引理3[4]設(shè)A∶K→K是全連續(xù)算子，如果μAu≠u(mài)對(duì)于每一個(gè)u∈?Kr和0＜μ≤1，那么i（A，Kr，K）＝1。

引理4[4]設(shè)A∶K→K是全連續(xù)算子，并且滿足以下兩個(gè)條件：

（1）infu∈?Kr｜｜Au｜｜＞0；

（2）μAu≠u(mài)，對(duì)于每一個(gè)u∈?Kr和μ≥1。那么i（A，Kr，K）＝0。

2 存在結(jié)論

設(shè)r∈（0，r0），下面證明對(duì)于任意u∈?Kr和0＜μ≤1有μAu≠u(mài)成立。事實(shí)上，如果存在u0∈?Kr和0＜μ0≤1滿足μ0Au0=u0，那么由A的定義，u0（t）滿足方程

由（1）和（2）可得

然不成立！

因此，由引理3有

f（t，u）≥（π4＋ε）u，t∈[0，1]，u≥H。

由于

那么f（t，u）≥（π4＋ε）u-C，t∈[0，1]，u≥0。選取R＞R0＝max{H蛐σ，r0}，設(shè)u∈?KR，則

f（t，u（t））≥（π4＋ε）u（t）≥（π4＋ε）σ｜｜u｜｜，

由引理1有

下面證明如果R充分大，那么μAu≠u(mài)對(duì)于?u∈?KR，μ≥1。事實(shí)上，如果存在u0∈?KR，μ0≥1滿足μ0Au0=u0，那么u0（t）滿足方程（2），在（2）第一個(gè)方程同乘以sinπt并積分，得

由（4）和（6）及不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的可加性，得

因此，A在KR＼Kˉr有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)滿足方程（1）。

下面證明μAu≠u(mài)對(duì)于?u∈?KR，μ≥1。事實(shí)上，如果存在u0∈?KR，μ0≥1滿足μ0Au0=u0，那么u0（t）滿足方程（2），由（2）和（7），得

f（t，u）≤（π4-ε）u，?t∈[0，1]，u≥H。

如果存在u0∈K和0＜μ0≤1滿足μ0Au0=u0，那么u0（t）滿足方程（2），由（2）和（9），得

于是由（8）和（10）及不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的可加性，得

因此，A在KR＼Kˉr有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)滿足方程（1）。

[1]LiYX.Positive solutionsof fourth-orderboundary value problems with two parameters[J].Math AnalAppl，2003（281）：477-484.[2]BaiZB，Wang H Y.On Positivesolutions of some nonlinear fourth-orderbeam equation[J].Math AnalAppl，2002（270）：357-368.[3]Ma R，Wang H.On the existence of positive solutionso f fourth-order differentiale quations[J].Math AnalAppl.1995（59）：225-231.[4]郭大鈞.非線性泛函分析[M].2版.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001：297-300.

〔責(zé)任編輯 高 ?！?/p>

Positive Solutions for Fourth-order Nonlinear Ordinary Dfferential Systems

ZHANG Fang
（School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）

In this paper，by using fixed point index theorem and under suitable conditions，we present the existence results of positive solutions to the fourth-order nonlinear ordinary differential systems.

positive solution；cone；fixed point index

O175.8

A

2012-11-07

張芳（1968-），女，山西陽(yáng)高人，碩士，講師，研究方向：拓?fù)鋵W(xué)與非線性泛函分析。

1674－0874（2013）01－0013－03