Orlicz序列空間中p－Amemiya（1≤p≤∞）范數(shù)的可達(dá)性＊

段麗芬，王宏志，崔云安

（1.通化師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林通化 134002；2.哈爾濱理工大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150080）

Orlicz序列空間中p－Amemiya（1≤p≤∞）范數(shù)的可達(dá)性＊

段麗芬1，王宏志1，崔云安2

（1.通化師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林通化 134002；2.哈爾濱理工大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150080）

基于一般Orlicz序列空間，定義了p－Amemiya（1≤p≤∞）函數(shù).利用實分析與泛函分析基本理論，研究一般Orlicz序列空間中p－Amemiya函數(shù)的特征和p－Amemiya范數(shù)的可達(dá)問題，得到了p－Amemiya函數(shù)的一系列性質(zhì)，并由這些結(jié)論確定了對任何1≤p≤∞，p－Amemiya范數(shù)都是可達(dá)的，指出了其可達(dá)區(qū)間.

Orlicz序列空間；p－Amemiya函數(shù)；p－Amemiya范數(shù)；可達(dá)性

眾所周知，Orlicz函數(shù)空間和序列空間幾何理論既有區(qū)別又有聯(lián)系，多年來始終呈現(xiàn)并行發(fā)展的局面.崔云安等［1］引入p－Amemiya范數(shù)（1≤p≤∞）的概念，并對賦p－Amemiya范數(shù)（1≤p≤∞）的一般Orlicz函數(shù)空間（與大多數(shù)文獻(xiàn)如［2－8］討論的由N－函數(shù)生成的Orlicz空間相比要復(fù)雜得多）范數(shù)可達(dá)性及可達(dá)區(qū)間進(jìn)行了詳盡的研究.筆者將對賦p－Amemiya范數(shù)（1≤p≤∞）的一般Orlicz序列空間范數(shù)可達(dá)性及可達(dá)區(qū)間進(jìn)行討論.

1 預(yù)備知識及引理

文中以X表示一個Banach空間，B（X），S（X）分別表示X的閉單位球和單位球面.

成為Banach空間，并且這些范數(shù)是等價的.簡記lM，p＝［l，‖x‖M，p］（1≤p≤∞）.記

2 主要結(jié)果及證明

定理1 當(dāng)1≤p＜∞時，對任何x＝（x（i））i∈lM，p＼｛0｝，都有：

（?。?，θ－1（x））?｛k＞0：Ap（x，k）＜∞｝；

（ⅱ）p－Amemiya函數(shù)Ap（x，k）關(guān)于k在（0，θ－1（x））內(nèi)連續(xù)；

（ⅲ）p－Amemiya函數(shù)Ap（x，k）關(guān)于k在（0，k（x））內(nèi)遞減；

（ⅳ）p－Amemiya函數(shù)Ap（x，k）關(guān)于k在（0，k（x））內(nèi)非增；

（ⅴ）p－Amemiya函數(shù)Ap（x，k）關(guān)于k在（k（x），θ－1（x））內(nèi)遞增；

（ⅵ）p－Amemiya函數(shù)Ap（x，k）關(guān)于k在（k（x），θ－1（x））內(nèi)非減.

證明 （ⅰ）設(shè)k∈（0，θ－1（x）），則ρM（kx）＜∞，sp（ρM（kx））＜∞，從而Ap（x，k）＜∞，結(jié)論得證.

［1］ CUI Yun－an，DUAN Li－fen，HUDIZIK H，et al.Basic Theory of p－Amemiya Norm in Orlicz Spaces（1≤p≤∞）：Extreme Points and Rotundity in Orlicz Spaces Endowed with These Norms［J］.Nonlinear Analysis，2008，69：1 796－1 816.

［2］ CUI Yun－an，HUDIZIK H，NOWAK M，et al.Some Geometric Properties in Orlicz Sequence Spaces Equipped with Orlicz Norm［J］.Journal of Convex Analysis，1999，6（1）：91－113.

［3］ 趙 亮，吳從炘.賦Orlicz范數(shù)的Musielak－Orlicz序列空間的暴露點［J］.黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2006，23（2）：184－187.

［4］ ZUO Ming－xia，CUI Yun－an，HUDIZIK H.On the Points of Local Uniform Rotundity and Weak Local Uniform Rotundity in Musielak－Orlicz Sequence Spaces Equipped with the Orlicz Norm［J］.Nonlinear Analysis，2009，71：4 906－4 915.

［5］ 石鐘銳，劉春艷.Musielak－Orlicz序列空間的暴露性［J］.應(yīng)用泛函分析學(xué)報，2012，14（1）：14－22.

［6］ CUI Yun－an，HUDIZIK H，LI Jing－jing.Some Fundamental Properties for Dual of Orlicz Spaces［J］.Nonlinear Analysis，2010，73：2 353－2 360.

［7］ 段麗芬，許 晶，崔云安.賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz空間的一致凸性［J］.吉林大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2011，49（5）：809－813.

［8］ 崔云安，安紅娜，姜澤宏.弱Orlicz的單調(diào)系數(shù)及單調(diào)性［J］.吉首大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，29（5）：10－13.

［9］ CHEN S T.Geometry of Orlicz Spaces［M］.Warszawa：Dissertations Math.，1996.

（責(zé)任編輯 向陽潔）

Attainability of p－Amemiya（1≤p≤∞）Norm in Orlicz Sequence Spaces

DUAN Li－fen1，WANG Hong－zhi1，CUI Yun－an2
（1.College of Mathematics，Tonghua Normal University，Tonghua 134002，Jilin China；2.College of Applied Sciences，Harbin University of Science Technology，Harbin 150080，China）

In consideration of the Orlicz sequence spaces，p－Amemiya function is defined.By means of real and functional analysis method，feature of p－Amemiya（1≤p≤∞）function and the characterizations over attainability of p－Amemiya norm in the Orlicz sequence spaces are discussed.A whole series of properties of p－Amemiya function are presented.Based on the conclusions，attainability of p－Amemiya norm is derived.And the intervals for p－Amemiya norm attainability are described.

Orlicz sequence space；p－Amemiya function；p－Amemiya norm；attainability

O177.3

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.04.003

1007－2985（2013）04－0011－05

2012－12－13

波蘭國家自然科學(xué)基金資助項目（201362236）；吉林省教育廳“十二五”科技項目（吉教科合字［2011］第456號）

段麗芬（1967－），女，吉林梨樹人，通化師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，主要從事Orlicz空間幾何理論研究.