基于OD與LHS的復(fù)雜作用關(guān)系制造過(guò)程的計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)方法*

崔慶安

(鄭州大學(xué)管理工程學(xué)院，鄭州 450001)

0 引言

對(duì)于產(chǎn)品實(shí)現(xiàn)復(fù)雜且成本較高的自動(dòng)化加工制造過(guò)程，計(jì)算機(jī)仿真是實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品優(yōu)化設(shè)計(jì)的主要手段之一。其基本原理是根據(jù)物理或化學(xué)的先驗(yàn)知識(shí)，建立實(shí)際制造過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，而后利用有限元分析等數(shù)值計(jì)算方法，通過(guò)運(yùn)行計(jì)算機(jī)程序代碼對(duì)制造過(guò)程進(jìn)行仿真模擬［1］。由于計(jì)算機(jī)仿真模型的計(jì)算復(fù)雜度高，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，為提高優(yōu)化設(shè)計(jì)的效率，研究者引入了計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)(Computer experiments，CE)的方法［2］。即采用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)(Design of Experiments，DOE)的方法［3］，對(duì)計(jì)算機(jī)仿真過(guò)程的輸入輸出進(jìn)行采樣，擬合出該過(guò)程的統(tǒng)計(jì)學(xué)代理模型，并通過(guò)對(duì)代理模型的尋優(yōu)來(lái)實(shí)現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)。計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)已被廣泛地應(yīng)用于汽車制造、機(jī)械電子加工、生物醫(yī)藥合成、航空航天設(shè)計(jì)等領(lǐng)域［4-5］，取得了顯著的成效。

如何得到預(yù)測(cè)性能較好的統(tǒng)計(jì)代理模型，是計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵問(wèn)題。為提高模型對(duì)于復(fù)雜過(guò)程的全局性描述能力，多采用 Kriging［6］、ANN［7］、SVR［8］、B-樣條函數(shù)等結(jié)構(gòu)較為靈活的非參數(shù)模型作為基本代理模型，其中應(yīng)用最廣泛的是Kriging模型。此方面的研究較成熟，眾多研究者對(duì)于代理模型的性能對(duì)比、Kriging模型的優(yōu)勢(shì)等等進(jìn)行了深入研究［9-10］。模型形式確定后，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方式的選擇就成為關(guān)鍵。目前常用的是以超拉丁方抽樣［11］(Latin hypercube sampling，LHS)、均勻設(shè)計(jì)［12］(Uniform design，UD)為代表的空間填充設(shè)計(jì)。LHS與UD的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)個(gè)數(shù)與因子個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，并且實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在各因子維度上的投影是均勻和不重疊的，因此可以將少量的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)均勻地散布在可行域內(nèi)。但是當(dāng)因子個(gè)數(shù)較多時(shí)，少量的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)對(duì)于可行域空間的填充程度不夠，而且極有可能出現(xiàn)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)較為稀疏的子區(qū)域，極大影響了代理模型的性能。為提高代理模型的全局性預(yù)測(cè)性能，不得不采用較大的樣本量。對(duì)于空間填充設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，如何實(shí)現(xiàn)樣本量與模型的全局性預(yù)測(cè)性能的之間平衡，有價(jià)值的研究尚不多見(jiàn)。

事實(shí)上，對(duì)于計(jì)算機(jī)仿真過(guò)程來(lái)說(shuō)，由于輸入因子與輸出特性之間存在著復(fù)雜的非線性關(guān)系，因而輸出特性在可行域內(nèi)的變化是不均勻的，一味地追求實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的均勻分布，并不一定能夠反映這種變化特征。如果能夠根據(jù)輸出特性的變化情況，有針對(duì)性地調(diào)整空間填充設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的分布，在輸出特性變化較大的空間安排較多的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，而在輸出特性變化較小的空間安排較少的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，將會(huì)在降低實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本量的同時(shí)提高代理模型的預(yù)測(cè)性能。

本文提出一種基于正交設(shè)計(jì)和LHS的兩階段實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)策略，首先以正交設(shè)計(jì)初步探知輸出特性方差在可行域內(nèi)的變化規(guī)律，根據(jù)其變化程度，識(shí)別出輸出特性變化較大的子區(qū)域，而后在此子區(qū)域內(nèi)采用LHS來(lái)安排實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，再利用Kriging模型建立起過(guò)程的全局性模型。

1 理論簡(jiǎn)介

1.1 計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)的基本原理

設(shè)計(jì)算機(jī)仿真過(guò)程的輸入因子為x=［x1，…xm］'，其可行域?yàn)閄∈Rm，輸出特性為 y，且 y與 x之間存在某種確定型關(guān)系，即：

式(1)通常高度復(fù)雜，不存在明確的解析表達(dá)式，一般采用有限元分析等數(shù)值計(jì)算的方法來(lái)表達(dá)。這樣一來(lái)，當(dāng)仿真模型的精度較高時(shí)，程序運(yùn)行需要耗費(fèi)大量時(shí)間。例如對(duì)于汽車車身結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，用于模擬車身正面碰撞過(guò)程的有限元模型的單元可達(dá)數(shù)萬(wàn)，完成一次車身結(jié)構(gòu)的優(yōu)化需要數(shù)百小時(shí)。此時(shí)，建立計(jì)算機(jī)仿真過(guò)程的統(tǒng)計(jì)學(xué)代理模型以簡(jiǎn)化計(jì)算就顯得十分有必要。即首先選擇某種形式的代理模型(例如Kriging模型)，而后根據(jù)某種準(zhǔn)則生成實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)集

分別以x1，…，xn為輸入，運(yùn)行計(jì)算機(jī)仿真過(guò)程，獲取對(duì)應(yīng)的輸出特性值y1，…，yn，形成樣本集：

再根據(jù)該樣本集擬合出式(1)的具體統(tǒng)計(jì)學(xué)代理模型：

由于g(x)一般較為簡(jiǎn)單，且具有明確的解析表達(dá)式，因此用其來(lái)近似的代替計(jì)算機(jī)仿真過(guò)程將會(huì)顯著地縮短計(jì)算時(shí)間，而且可以通過(guò)對(duì)g(x)的尋優(yōu)近似地實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品的優(yōu)化設(shè)計(jì)。為保證優(yōu)化結(jié)果的精度，希望在可行域X內(nèi)，g(x)對(duì)于f(x)的預(yù)測(cè)誤差越小越好，即：

1.2 超拉丁方抽樣

與傳統(tǒng)的因子設(shè)計(jì)、中心復(fù)合設(shè)計(jì)相比，空間填充設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的安排沒(méi)有特定的位置要求，只需滿足某些設(shè)計(jì)準(zhǔn)則即可。其實(shí)驗(yàn)點(diǎn)安排較為靈活，而且實(shí)驗(yàn)次數(shù)n與參數(shù)個(gè)數(shù)m無(wú)關(guān)，不會(huì)出現(xiàn)所導(dǎo)致的“維數(shù)災(zāi)難”，較適用于復(fù)雜作用關(guān)系過(guò)程的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與建模，代表性的方法包括LHS、均勻設(shè)計(jì)等。

假設(shè)輸入因子的個(gè)數(shù)為m，實(shí)驗(yàn)次數(shù)為n(n＞m)，LHS首先將可行域均勻分成nm個(gè)超立方體的子區(qū)域，選取其中的n個(gè)子區(qū)域，使所有子區(qū)域都能夠不重疊地投影在每一個(gè)維度上;而后在各個(gè)子區(qū)域內(nèi)隨機(jī)選取一個(gè)點(diǎn)組成n個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。LHS具有操作簡(jiǎn)單、樣本量小、不易導(dǎo)致維數(shù)災(zāi)難等優(yōu)點(diǎn)。但LHS是一種分層隨機(jī)抽樣方法，在某些情況下，生成實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的隨機(jī)性與均勻性不高，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的效果有待提高。

2 方法研究

2.1 基本思路

由上述分析可知，LHS的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的個(gè)數(shù)與在各因子維度上的投影較為均勻，但這并不意味著該實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方式對(duì)于復(fù)雜的計(jì)算機(jī)仿真過(guò)程具有良好代表性。首先，對(duì)于因子個(gè)數(shù)為m的LHS設(shè)計(jì)，若在nm個(gè)子區(qū)域中隨機(jī)選擇n個(gè)子區(qū)域安排實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，則共有nm－n個(gè)子區(qū)域未被填充。當(dāng)m較大時(shí)，有nm－n?n，這樣一來(lái)，雖然樣本點(diǎn)較為均勻分散，但是相對(duì)稀疏，仍有大量的未安排實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的子區(qū)域。其次，由于計(jì)算機(jī)仿真過(guò)程的輸出特性與輸入因子之間存在復(fù)雜非線性作用關(guān)系，因而輸出特性在整個(gè)可行域內(nèi)的分布是不均勻的，既有輸出特性的變化較為平坦的子區(qū)域，也有變化較大的子區(qū)域，還有存在局部極值的子區(qū)域。顯然，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的均勻分散并不能夠刻畫(huà)輸出特性的不均勻變化，樣本點(diǎn)的利用效率不高。

事實(shí)上，為提高實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的效率，應(yīng)該根據(jù)子區(qū)域內(nèi)輸出特性的變化情況有針對(duì)性地安排實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)目，對(duì)于輸出特性變化較大的子區(qū)域多安排實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，而對(duì)于輸出特性變化較小的子區(qū)域少安排實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。進(jìn)一步地，在沒(méi)有過(guò)程先驗(yàn)知識(shí)的情況下，可以采用對(duì)稱(即各因子水平數(shù)均相等)的正交設(shè)計(jì)來(lái)初步探知輸出特性在可行域內(nèi)的變化情況。根據(jù)正交設(shè)計(jì)的理論，對(duì)于一個(gè)因子數(shù)為m，各因子水平數(shù)均為q，實(shí)驗(yàn)次數(shù)為n的對(duì)稱正交設(shè)計(jì)，有n=qm－p，1≤p≤m－2，因此實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在每一個(gè)因子的每一個(gè)水平上的投影均有重復(fù)，且重復(fù)次數(shù)為n/q。那么根據(jù)這n/q次重復(fù)即可估計(jì)出在該水平處過(guò)程輸出特性的方差，而方差變化較大的水平處則提示該因子水平附近過(guò)程輸出特性的變化較大。據(jù)此識(shí)別出過(guò)程輸出特性變化較大的子區(qū)域，在該子區(qū)域內(nèi)采用樣本量較小的LHS實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，即可在降低樣本量同時(shí)，提高實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)效率及模型性能。

2.2 實(shí)現(xiàn)步驟

根據(jù)上述分析，這里提出基于正交設(shè)計(jì)與LHS的計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及建模方法如下：

Step1：根據(jù)輸入因子的個(gè)數(shù)m及問(wèn)題規(guī)模，確定正交設(shè)計(jì)的各因子的水平數(shù)q，利用正交表，選擇合適的正交設(shè)計(jì)集POD：

Step2：根據(jù)正交設(shè)計(jì)POD，運(yùn)行計(jì)算機(jī)仿真代碼，獲得初始樣本集：

Step4：將各因子維度上過(guò)程輸出特性變化較大的區(qū)間進(jìn)行組合，確定需要進(jìn)行LHS設(shè)計(jì)的子區(qū)域X*;

Step5：在子區(qū)域內(nèi)X*安排適當(dāng)數(shù)目的LHS實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，運(yùn)行計(jì)算機(jī)仿真代碼，獲取補(bǔ)充樣本集：

Step6：根據(jù)樣本集SOD∪S，擬合計(jì)算機(jī)仿真過(guò)程的Kriging模型。

3 算例研究

3.1 仿真算例

為考察方法的性能，這里給出了一個(gè)較為復(fù)雜的算例。設(shè)計(jì)算機(jī)仿真過(guò)程的輸入輸出之間存在如下關(guān)系：

圖1給出了在x3= －3，0，3時(shí)，y關(guān)于x1，x2的等高線圖，可以看出，這是一個(gè)典型的非線性復(fù)雜作用關(guān)系過(guò)程。

圖1 過(guò)程的等高線圖

為說(shuō)明方法的性能，選擇與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本集不同的測(cè)試樣本集：

令yi代表測(cè)試樣本集的實(shí)際輸出，^yi代表Kriging模型對(duì)于測(cè)試樣本集的預(yù)測(cè)輸出，則預(yù)測(cè)誤差可表示為：

采用如下指標(biāo)評(píng)價(jià)模型的性能：

(1)預(yù)測(cè)的均方誤差

(2)預(yù)測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差

(3)預(yù)測(cè)的最大絕對(duì)偏差：

3.2 計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果

按照3.2所示步驟，首先選擇L50(51121)正交表的前3列作為正交設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)集，如表1所示。表1還給出了正交實(shí)驗(yàn)點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的輸出特性值。圖2給出了各因子維度上5個(gè)不同水平處的過(guò)程輸出特性的樣本方差，在x1、x3的維度上各有一個(gè)局部極值，而在x2的維度上有兩個(gè)局部極值。進(jìn)一步，可以根據(jù)式(8)確定了各因子維度的包含過(guò)程輸出特性方差極值的區(qū)間，分別為：

表1 第一階段的正交設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)及輸出特性值

圖2 各因子水平處的輸出特性的樣本方差

圖3 兩階段設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)LHS的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)對(duì)比(樣本量 =80)

而后在上述兩子區(qū)域內(nèi)添加樣本量大小相同的LHS實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。為說(shuō)明方法的性能，選取了不同樣本量大小(n2=10+10，n2=15+15，n2=20+20)的LHS設(shè)計(jì)，與原有的正交設(shè)計(jì)組成樣本集，而后采用Kriging方法進(jìn)行建模。作為對(duì)比，單純地采用LHS設(shè)計(jì)生成樣本量相同的全部實(shí)驗(yàn)點(diǎn)集進(jìn)行Kriging建模。在可行域內(nèi)隨機(jī)生成5000個(gè)測(cè)試樣本點(diǎn)，利用式(14)至式(16)考察各類模型的預(yù)測(cè)性能，其對(duì)比結(jié)果如表2所示。圖3給出了在每個(gè)子區(qū)域LHS樣本量大小為15的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)集與正交設(shè)計(jì)點(diǎn)集的分布，圖3還給出了作為對(duì)比的樣本量大小為80的LHS設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)集的分布。

表2 不同樣本量條件下方法的建模性能對(duì)比

(續(xù)表)

3.3 結(jié)果討論

(1)關(guān)于模型預(yù)測(cè)性能。從表2可以看出，采用本文所提出的兩階段的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，在樣本量相同的情況下，所擬合的Kriging模型的預(yù)測(cè)性能均優(yōu)于傳統(tǒng)的LHS。具體來(lái)說(shuō)，在三次對(duì)比中，所提方法的Kriging模型的MSE的均值比傳統(tǒng)LHS的MSE的均值降低了52.4%;MaxE的均值降低了19.2%;StdE的均值則降低了28.8%。

(2)從圖3可以看出，本文所提方法實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的安排與傳統(tǒng)LHS有顯著區(qū)別。在輸出特性變化較大的區(qū)域，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)密度較高，且分布較為均勻分散，而在其他區(qū)域，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的密度較低，但分布較為均勻整齊。這種實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的分布結(jié)合了正交設(shè)計(jì)與LHS的優(yōu)點(diǎn)，使得實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在整個(gè)可行域內(nèi)的分布具有較強(qiáng)的均勻性和針對(duì)性。與之對(duì)比，傳統(tǒng)LHS設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)雖然在可行域全局范圍內(nèi)的較為均勻分散，但是并沒(méi)有針對(duì)性，導(dǎo)致有相當(dāng)數(shù)量的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)安排在輸出特性變化不顯著的區(qū)域，這在很大程度上影響了模型性能。

4 結(jié)論

本文研究了計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)過(guò)程的小樣本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及過(guò)程建模方法。理論研究與仿真分析表明，對(duì)于輸出特性與輸入因子之間作用關(guān)系復(fù)雜的計(jì)算機(jī)仿真過(guò)程，通過(guò)正交設(shè)計(jì)可以初步探知輸出特性波動(dòng)較大的子區(qū)域，而后再利用LHS可以有針對(duì)性地安排實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。在樣本量相同的條件下，本文所提方法的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)效率與模型的預(yù)測(cè)性能均優(yōu)于傳統(tǒng)的LHS設(shè)計(jì)。

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