線性分布荷載作用下雙模量簡(jiǎn)支梁的Kantorovich解

吳曉，黃翀，孫晉

(湖南文理學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，湖南 常德，415000)

在工程實(shí)際中，石墨、增強(qiáng)復(fù)合材料、金屬合金、陶瓷、玻璃、鑄鐵等許多材料都具有拉壓彈性模量不同的雙模量性質(zhì)，所以，用雙模量本構(gòu)關(guān)系對(duì)這些材料制成的結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算分析已備受關(guān)注[1-3]。對(duì)于拉壓彈性模量不同的雙模量材料，彈性系數(shù)不僅依賴于結(jié)構(gòu)材料，而且與結(jié)構(gòu)材料、形狀、邊界條件及外載荷有關(guān)[4-6]。在梁、彈性平面等問(wèn)題的結(jié)構(gòu)中，人們考慮了材料的雙模量特性[7-10]，并采用Kantorovich法研究了柱形桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題，但未見(jiàn)采用Kantorovich法研究雙模量簡(jiǎn)支梁的平面應(yīng)力問(wèn)題的報(bào)道。經(jīng)典彈性理論研究線性分布荷載作用下簡(jiǎn)支梁的平面應(yīng)力問(wèn)題多采用半逆法或三角級(jí)數(shù)法，而采用半逆法時(shí)需要確定的待定常數(shù)較多，采用三角級(jí)數(shù)法時(shí)存在收斂慢且計(jì)算過(guò)程復(fù)雜繁瑣等缺陷。為此，本文作者采用Kantorovich法研究在線性分布荷載作用下雙模量簡(jiǎn)支梁的平面應(yīng)力問(wèn)題。

1 材料力學(xué)應(yīng)力表達(dá)式

由于雙模量梁在外荷載作用下彎曲時(shí)，會(huì)形成彈性模量不同的拉伸區(qū)和壓縮區(qū)，由彈性理論可知雙彈性模量梁彎曲時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系為：

式中：σ1為拉伸區(qū)應(yīng)力；σ2為壓縮區(qū)應(yīng)力；E1為拉伸區(qū)的彈性模量；E2為壓縮區(qū)的彈性模量；y為計(jì)算點(diǎn)至中性軸的距離；ρ為中性層的曲率半徑。

據(jù)彈性理論，雙模量梁彎曲時(shí)橫截面內(nèi)力應(yīng)滿足以下關(guān)系：

將式(1)代入(2)可得：

圖1中，雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處的彎矩為

式中：q0為梁上線性分布載荷最小值；q1為梁上線性分布載荷最大值；l為梁的跨長(zhǎng)。

圖1 雙模量簡(jiǎn)支梁Fig.1 Bimodulous simply supported beam

因此，圖1 中雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處的最大拉應(yīng)力σ1及最大壓應(yīng)力σ2分別為：

2 簡(jiǎn)支梁的Kantorovich解

對(duì)于圖1所示線性分布荷載作用下的雙模量簡(jiǎn)支梁，其線性分布荷載的集度表達(dá)式為

雙模量簡(jiǎn)支梁上下面邊界條件及中性軸上的應(yīng)力條件分別為：

假設(shè)線性分布荷載作用下雙模量簡(jiǎn)支梁受拉區(qū)應(yīng)力函數(shù)φ1(x,y)和受壓區(qū)應(yīng)力函數(shù)φ2(x,y)分別為：

式中：Y1(y)為梁拉伸區(qū)變量y的貢獻(xiàn)函數(shù)；Y2(y)為梁壓縮區(qū)變量y的貢獻(xiàn)函數(shù)。

則線性分布荷載作用下雙模量簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力表達(dá)式為：

式中：“+”表示拉伸區(qū)；“－”表示壓縮區(qū)。

對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，線性分布荷載作用下雙模量簡(jiǎn)支梁的余能為

將式(10)代入式(11)可得：

對(duì)式(12)進(jìn)行一階變分可得：

利用微分符號(hào)與變分符號(hào)可交換性及邊界條件式(8)可得：

將函數(shù)g1(y,Y1,Y1′,Y1′′) 和g2(y,Y2,Y2′,′ )表達(dá)式代入式(8)得：

由式(15)可以求得Y1(y)和Y2(y)的表達(dá)式：

將式(16)代入式(10)可求得拉伸區(qū)及壓縮區(qū)應(yīng)力表達(dá)式為：

利用式(17)及邊界條件式(8)可得：

常數(shù)K1，K2，K3，K4，K5，K6，K7，K8，K9，K10，K11，K12，R1，R2，R3，R4和R5分別為：

3 算例分析與討論

首先采用有限元法檢驗(yàn)本文 Kantorovich解的計(jì)算精度。假設(shè)某雙模量簡(jiǎn)支梁的b=1，E1=93.2 GPa，E2=124.36 GPa，采用式(17)和(6)及有限元法計(jì)算雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處的最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力。其中：采用有限元建立雙模量簡(jiǎn)支梁實(shí)體模型，模型由2層梁組成，梁高為100 mm，其中上層梁高46.4 mm，材料模型為mat1，E2=124.36 GPa；下層梁高為53.6 mm，材料模型為 mat2，E1=93.2 GPa。單元為 8節(jié)點(diǎn)SOLID185單元。具體的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1～4。其中：q0和q1見(jiàn)圖1；σ1為采用材料力學(xué)計(jì)算的最大拉應(yīng)力；σ2為采用材料力學(xué)計(jì)算的最大壓應(yīng)力。

表1 q1=q0時(shí)采用本文方法所得雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處彎曲應(yīng)力Table 1 Bending stress of bimodulous simply supported beam at midpoint obtained by method in the paper at q1=q0 MPa

表2 q1=2q0時(shí)采用本文方法所得雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處彎曲應(yīng)力Table 2 Bending Stress of bimodulous simply supported beam at midpoint obtained by method in the paper at q1=2q0 MPa

表3 q1=q0時(shí)采用材料力學(xué)方法所得雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處彎曲應(yīng)力Table 3 Bending Stress of bimodulous simply supported beam at midpoint obtained by method of material mechanics at q1=q0 MPa

表4 q1=2q0時(shí)采用材料力學(xué)方法所得雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處彎曲應(yīng)力Table 4 Bending Stress of bimodulous simply supported beam at midpoint obtained by method of material mechanics at q1=2q0 MPa

由表1～2中本文方法與ANSYS計(jì)算結(jié)果的比較可知：采用Kantorovich法研究雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處彎曲應(yīng)力的計(jì)算結(jié)果與有限元法的計(jì)算結(jié)果很接近，這說(shuō)明采用 Kantorovich法研究雙模量簡(jiǎn)支梁彎曲應(yīng)力的計(jì)算精度高，所得雙模量簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力公式是可靠的。

由表1～2中采用相同彈性模量彈性理論計(jì)算結(jié)果與采用雙模量彈性理論計(jì)算結(jié)果的比較可知：采用相同彈性模量彈性理論得到雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處彎曲應(yīng)力，與采用雙模量彈性理論得到雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處彎曲應(yīng)力的誤差均在 5%以上。采用相同彈性模量彈性理論研究雙模量簡(jiǎn)支梁的彎曲應(yīng)力，拉壓區(qū)的彎曲應(yīng)力絕對(duì)值相等。事實(shí)上，雙模量簡(jiǎn)支梁的拉壓區(qū)的彎曲應(yīng)力絕對(duì)值不相等，隨雙模量簡(jiǎn)支梁拉壓區(qū)的彈性模量變化而變化。在本文中，雙模量簡(jiǎn)支梁的拉壓區(qū)的彎曲應(yīng)力相差均達(dá)10%以上，所以，對(duì)于雙模量簡(jiǎn)支梁的平面應(yīng)力問(wèn)題，不宜采用相同彈性模量彈性理論求解，而應(yīng)該采用雙模量彈性理論求解。

由表1～2可知：在外載荷作用下，隨著雙模量簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)高比的增大，雙模量簡(jiǎn)支梁的拉壓區(qū)的彎曲應(yīng)力也隨著增大。因?yàn)殡S著雙模量簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)高比的增大，將導(dǎo)致線性分布荷載對(duì)雙模量簡(jiǎn)支梁產(chǎn)生的彎矩也相應(yīng)增大。

比較表1與表2中的計(jì)算結(jié)果可知：在線性分布荷載(q1=2q0)作用下，雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處的彎曲應(yīng)力要大于在均布載荷(q1=q0)作用下雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處的彎曲應(yīng)力。這是因?yàn)榫€性分布荷載對(duì)雙模量簡(jiǎn)支梁產(chǎn)生的彎矩大于均布載荷對(duì)雙模量簡(jiǎn)支梁產(chǎn)生的彎矩。

本文方法計(jì)算結(jié)果與材料力學(xué)方法計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3和表4。從表3和表4可以看出：采用材料力學(xué)方法研究雙模量簡(jiǎn)支梁的彎曲應(yīng)力，得到的雙模量簡(jiǎn)支梁拉伸區(qū)的彎曲應(yīng)力與本文 Kantorovich法得到的雙模量簡(jiǎn)支梁拉伸區(qū)的彎曲應(yīng)力很接近；但是，采用材料力學(xué)方法得到的雙模量簡(jiǎn)支梁的彎曲應(yīng)力與本文Kantorovich法得到的雙模量簡(jiǎn)支梁壓縮區(qū)的彎曲應(yīng)力相差很大，相對(duì)誤差均在50%以上，并且有限元法的計(jì)算結(jié)果也證明了這一點(diǎn)。這說(shuō)明采用材料力學(xué)方法研究雙模量簡(jiǎn)支梁的彎曲應(yīng)力有其局限性。

4 結(jié)論

(1) 采用Kantorovich法研究雙模量簡(jiǎn)支梁彎曲應(yīng)力的計(jì)算精度高，所得雙模量簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力公式是可靠的。

(2) 采用材料力學(xué)方法研究雙模量簡(jiǎn)支梁的彎曲應(yīng)力有其局限性。對(duì)于雙模量簡(jiǎn)支梁的平面應(yīng)力問(wèn)題，不宜采用相同彈性模量彈性理論求解，而應(yīng)該采用雙模量彈性理論求解。

(3) 在外載荷作用下，隨著雙模量簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)高比的增大，雙模量簡(jiǎn)支梁的拉壓區(qū)的彎曲應(yīng)力也隨著增大；在線性分布荷載作用下，雙模量簡(jiǎn)支梁的彎曲應(yīng)力大于在均布載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支梁的彎曲應(yīng)力。

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