基于改進(jìn)廣義極值分布的核管道最大腐蝕深度預(yù)測(cè)

周國(guó)強(qiáng) ，王雪青，劉銳

(1. 天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津，300072；2. 交通運(yùn)輸部 規(guī)劃研究院，北京，100028；3. 環(huán)境保護(hù)部 核與輻射安全中心，北京，100082)

核管道的結(jié)構(gòu)完整性、可靠性是核動(dòng)力系統(tǒng)安全運(yùn)行的重要保障[1]，而腐蝕是引起核管道結(jié)構(gòu)破壞失效的重要原因之一[2-3]。核管道腐蝕段承受壓力和抗疲勞能力降低將導(dǎo)致核管道腐蝕區(qū)域發(fā)生破裂甚至核泄露，因而，有必要對(duì)核管道的腐蝕趨勢(shì)特別是最大腐蝕深度進(jìn)行預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)材料最大腐蝕深度一般有 2種方法：確定性方法和統(tǒng)計(jì)方法[4]。確定性方法是通過(guò)分析材料腐蝕具體過(guò)程的動(dòng)力學(xué)和熱力學(xué)規(guī)律，計(jì)算腐蝕速率來(lái)實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)控制[5]。由于核管道經(jīng)常在高溫、高壓、高濕、核輻射等復(fù)雜環(huán)境中工作，其腐蝕過(guò)程復(fù)雜，很難通過(guò)建立統(tǒng)一的數(shù)學(xué)公式來(lái)掌握各腐蝕因素的影響規(guī)律[6]，因而，對(duì)核管道最大腐蝕深度的預(yù)測(cè)研究大多使用統(tǒng)計(jì)方法。統(tǒng)計(jì)方法是通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析最大腐蝕深度，計(jì)算腐蝕失效概率來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)評(píng)估[7]。王水勇等[8]利用Gumbel極值分布和回歸期預(yù)測(cè)了不銹鋼除淤管道最大腐蝕深度；Relchers等[9]運(yùn)用Frechet極值分布預(yù)測(cè)了鋼制材料在海水條件下的最大腐蝕深度。但鑒于單個(gè)分布模型的限制，這在一定程度上降低了擬合精度[10]。本文作者利用廣義極值分布(generalized extreme value distribution，簡(jiǎn)稱GEV分布)作為最大腐蝕深度預(yù)測(cè)的近似模型，擬合樣本數(shù)據(jù)，避免模型局限性所帶來(lái)的擬合誤差；考慮到模型的復(fù)雜性，采用免疫遺傳算法(immune genetic algorithm，簡(jiǎn)稱IGA)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并利用計(jì)算結(jié)果來(lái)預(yù)測(cè)整條管道的最大腐蝕深度，同時(shí)評(píng)估超過(guò)預(yù)測(cè)的最大腐蝕深度的概率。

1 核管道腐蝕的極值分布

1.1 數(shù)學(xué)描述

應(yīng)用極值統(tǒng)計(jì)分析方法對(duì)核管道最大腐蝕深度進(jìn)行預(yù)測(cè)研究的原理是：通過(guò)收集現(xiàn)場(chǎng)核管道腐蝕深度對(duì)最大腐蝕深度進(jìn)行極值統(tǒng)計(jì)，采用統(tǒng)計(jì)推斷獲得最大極值的估計(jì)值，即擬合為某種漸近的極值分布類型，作為實(shí)際腐蝕深度的預(yù)測(cè)及評(píng)估依據(jù)。在腐蝕環(huán)境相同的核管道中，若選取的腐蝕深度樣本足夠多，則能得出整個(gè)核管道的腐蝕深度分布特點(diǎn)。由于小樣本空間與大樣本空間存在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的自相似性關(guān)系，因此，可以采用實(shí)驗(yàn)得到的小樣本對(duì)整個(gè)核管道的腐蝕深度分布模型進(jìn)行研究。

假設(shè)在腐蝕環(huán)境相同的某一腐蝕管道上，隨機(jī)變量Y是n個(gè)相等觀測(cè)面積上的腐蝕深度極值，第i個(gè)觀測(cè)面上的最大腐蝕深度為yi，按從小到大的次序編號(hào)排列，可以求取樣本序列：Y={y1,y2, …,yi, …,yn}；1≤i≤n。

第i個(gè)變量對(duì)應(yīng)的累積概率為

則累積概率序列為

設(shè)隨機(jī)變量Y與累積概率F(Y)存在近似映射：

并設(shè)非線性函數(shù)x=(·)逼近映射f1(·)，則函數(shù)x=(·)具有如下性質(zhì)[11]：

(1)F(yi) ≈(yi)；

(2) ?y∈R， ? 0 ≤x≤ 1 ；

(3)x1＜x2，則y1＜y2。

其中：性質(zhì)(1)保證了模型的準(zhǔn)確性；性質(zhì)(2)是計(jì)算小概率事件發(fā)生概率的必要條件；性質(zhì)(3)具有累計(jì)概率的性質(zhì)。

1.2 廣義極值分布模型

極值分布是指觀測(cè)值中極大值或極小值的概率分布。若極大值漸近分布存在且為非退化時(shí)，則只存在3種形式[12]：

(1) 極值I型(Gumbel)分布，

(2) 極值Ⅱ型(Frechet)分布(α＞0)，

(3) 極值Ⅲ型(Weibull)分布(α＞0)，

式中：z=σ-1(y-μ)；σ為尺度參數(shù)；μ為位置參數(shù)；α為形狀參數(shù)；y為極值變量。

在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于1個(gè)給定的極值序列，在這3種極值分布中作出正確選擇是一個(gè)關(guān)鍵性問(wèn)題。GEV分布模型通過(guò)對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，自動(dòng)找到最為符合的極值分布。GEV分布的累計(jì)概率分布函數(shù)表達(dá)式為

當(dāng)模型參數(shù)k→0時(shí)，表示Gumbel分布；當(dāng)k＞0時(shí)，表示Frechet分布；當(dāng)k＜0時(shí)，表示W(wǎng)eibull分布。3個(gè)關(guān)鍵參數(shù)μ，σ和k的取值決定樣本極值的具體分布情況。針對(duì)該模型的復(fù)雜性特點(diǎn)，采用免疫遺傳算法搜尋各參數(shù)的最優(yōu)值。

2 核管道最大腐蝕深度的預(yù)測(cè)方法

2.1 基于免疫遺傳算法的統(tǒng)計(jì)參數(shù)優(yōu)化

免疫遺傳算法是基于生物免疫機(jī)制中抗體濃度控制原理提出的一種改進(jìn)遺傳算法[13]。免疫遺傳算法在保留基本遺傳算法全局隨機(jī)搜索能力的基礎(chǔ)上，將目標(biāo)函數(shù)定義為抗原，待求問(wèn)題的解定義為抗體，通過(guò)引進(jìn)抗原記憶、抗體多樣性保持、抗體促進(jìn)與抑制等機(jī)制，在很大程度上避免早熟，加快搜索速度，提高了算法的整體性能[14]。

免疫遺傳算法通過(guò)抗原和抗體的親和力(適應(yīng)度)來(lái)描述可行解與最優(yōu)解的逼近程度，適應(yīng)度高的個(gè)體遺傳到下一代的概率就大，而適應(yīng)度低的個(gè)體遺傳到下一代的概率相對(duì)較小。對(duì)式(7)進(jìn)行變換得：

式(8)是對(duì)式(7)求反函數(shù)的變換式。

定義已知樣本極值點(diǎn)與逼近函數(shù)值之間偏差平方和的平方根E1為適應(yīng)度函數(shù)，即

將IGA應(yīng)用于核管道最大腐蝕深度預(yù)測(cè)問(wèn)題，定義目標(biāo)函數(shù)E1最小為抗原(minE1)。在設(shè)計(jì)過(guò)程中，μ，σ和k的中間結(jié)果為抗體，求取最優(yōu)參數(shù)μ，σ和k，使E1最小。免疫遺傳算法基本程序如圖1所示。

2.2 核管道最大腐蝕深度的預(yù)測(cè)

設(shè)隨機(jī)變量的最大值為ydi，從概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)角度，最大腐蝕深度超過(guò)ydi的概率為

一般根據(jù)小面積樣本的最大腐蝕深度估計(jì)大面積樣本的最大腐蝕深度，需要用到概率統(tǒng)計(jì)上回歸期的概念。在實(shí)際工程應(yīng)用中，定義回歸期T(ydi)為極值分布的隨機(jī)變量yi超過(guò)最大值為ydi所需的樣本的數(shù)量為

圖1 免疫遺傳算法基本程序流程圖Fig.1 Flowchart of immune genetic algorithm

回歸期的意義在于取得最大腐蝕深度ydi所需要測(cè)量的最大面積與單位測(cè)量面積的倍數(shù)[15]，即

其中：S為整個(gè)腐蝕管道面積；s為單位測(cè)量面積。

聯(lián)合式(8)，(11)和(12)并代入μ，σ和k的值，可計(jì)算得到核管道的整體最大腐蝕深度ydi。

3 應(yīng)用實(shí)例

為驗(yàn)證提出的核管道最大腐蝕深度預(yù)測(cè)及評(píng)估方法的可行性與有效性，給出如下2個(gè)計(jì)算實(shí)例。

(1) 某腐蝕核管道一定時(shí)間內(nèi)的平面觀測(cè)深度見(jiàn)表1[16]，其中T(ydi)=2 000/15=133.33，將最大腐蝕深度按從小到大排序，利用式(1)計(jì)算，累計(jì)概率見(jiàn)表1。

運(yùn)用免疫遺傳算法對(duì)廣義極值分布模型參數(shù)μ，σ和k進(jìn)行優(yōu)化。經(jīng)過(guò)50次迭代最終得到各參數(shù)最優(yōu)值分別為：μ=3.201 2；σ=0.333 7；k=0.001 9。k＞0，說(shuō)明該分布符合Frechet模型。計(jì)算得到該核管道最大腐蝕深度ydi=4.840 3 mm，超過(guò)最大腐蝕深度ydi的概率為0.75%。

樣品組1全局最優(yōu)解的進(jìn)化過(guò)程見(jiàn)圖2，極值擬合曲線見(jiàn)圖3。由圖2可以看到：適應(yīng)度函數(shù)E1的最優(yōu)解能夠以較快的速度收斂到穩(wěn)態(tài)值，同時(shí)保證了總體擬合誤差最小。而圖3也反映出所求模型能夠較好地?cái)M合樣本極值深度。圖4所示為本文方法所得深度與文獻(xiàn)[16]中計(jì)算深度擬合誤差的比較。從圖4可以看出：本文方法最大擬合誤差較小，避免局部偏差過(guò)大的情況；擬合函數(shù)更好地逼近真實(shí)，提高了預(yù)測(cè)精度。

表1 樣本組1某核管道腐蝕深度Table 1 Sample group 1 of corrosion depth of some nuclear pipes

圖2 樣本組1全局最優(yōu)解的進(jìn)化過(guò)程Fig.2 Evolutionary process of global optimal solution for sample group 1

圖3 樣本組1極值擬合曲線Fig.3 Fitting curve of extreme value for sample group 1

圖4 樣本組1擬合誤差曲線Fig.4 Fitting error curves for sample group 1

(2) 某核電站設(shè)冷水系統(tǒng)除淤管道不銹鋼部分運(yùn)行 1 a后的超聲測(cè)量厚度見(jiàn)表 2[8]，其中T(ydi)=5 980/40=149.5。將最大腐蝕深度按從小到大排序，利用式(1)計(jì)算累計(jì)概率，見(jiàn)表2。

表2 樣本組2某核管道腐蝕深度Table 2 Corrosion depths of some nuclear pipes for sample group 2

仍按照算例(1)所采用的計(jì)算方法，經(jīng)過(guò) 50次迭代計(jì)算，得到各參數(shù)的最優(yōu)值分別為：μ=4.724 2；σ=1.344 7；k=-0.166 8。k＜0，說(shuō)明該分布符合 Weibull模型。計(jì)算得到該核管道最大腐蝕深度ydi=9.3 mm，超過(guò)最大腐蝕深度ydi的概率為0.67%。

樣品組2全局最優(yōu)解的進(jìn)化過(guò)程見(jiàn)圖5，極值擬合曲線見(jiàn)圖6。由圖5可以看到：適應(yīng)度函數(shù)的最優(yōu)解能夠以較快的速度收斂到穩(wěn)態(tài)值。由圖6可以看出所求模型能夠較好地?cái)M合出樣本極值分布。圖7所示為本文方法所得結(jié)果與文獻(xiàn)[8]中計(jì)算結(jié)果的擬合誤差比較。從圖7可以看出：采用本文方法所得總體擬合誤差較小，擬合函數(shù)更好地逼近于真實(shí)結(jié)果，提高了預(yù)測(cè)精度。

由以上2個(gè)算例可以看出：針對(duì)不同的應(yīng)用實(shí)例，即使樣本極值數(shù)據(jù)的分布類型不同，采用免疫遺傳算法優(yōu)化參數(shù)的廣義極值分布模型也能較好地進(jìn)行分布擬合，從而可以有效地避免分布類型選擇不當(dāng)所帶來(lái)的誤差。

圖5 樣本組2全局最優(yōu)解的進(jìn)化過(guò)程Fig.5 Evolutionary process of global optimal solution for sample group 2

圖6 樣本組2極值擬合曲線Fig.6 Fitting curve of extreme value for sample group 2

圖7 樣本組2擬合誤差曲線Fig.7 Fitting error curves for sample group 2

4 結(jié)論

(1) 針對(duì)核管道最大腐蝕深度預(yù)測(cè)問(wèn)題，選用具有普遍適用性的廣義極值分布模型，能夠避免以往單獨(dú)采用某一分布的不足。該模型不受限于樣本極值數(shù)據(jù)的具體分布，具有較好的通用性。

(2) 應(yīng)用免疫遺傳算法優(yōu)化改進(jìn)廣義極值分布模型的參數(shù)，模型參數(shù)尋優(yōu)過(guò)程收斂速度較快，擬合效果理想。

(3) 將該方法應(yīng)用到核管道腐蝕深度的預(yù)測(cè)和評(píng)估，核管道監(jiān)測(cè)管理人員可以分析潛在的事故發(fā)展趨勢(shì)，制定管網(wǎng)的維護(hù)方案，延長(zhǎng)管網(wǎng)使用壽命。

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