關(guān)于正定Hermite矩陣跡的不等式*

宋 園，周其生

(1.安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶 246133;2.滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽滁州 239000)

關(guān)于正定Hermite矩陣跡的不等式*

宋 園1，2，周其生1

(1.安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶 246133;2.滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽滁州 239000)

研究了正定Hermite矩陣跡不等式的問題，在2個已知實數(shù)不等式的基礎(chǔ)上，利用Neumann不等式，得到了2個正定Hermite矩陣跡的不等式.

不等式;正定Hermite矩陣;跡

矩陣不等式的研究在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中發(fā)揮著重要的作用.矩陣的跡是矩陣重要的數(shù)字特征，在實際問題(如濾波、隨機(jī)控制以及計量經(jīng)濟(jì)學(xué)等)中有廣泛的應(yīng)用.關(guān)于矩陣跡的不等式也不斷地有新的成果出現(xiàn).關(guān)于正數(shù)的不等式，能推廣到矩陣的非常少，如:對于任意2個實數(shù)a，b有a2+b2≥2ab，而任意2個半正定Hermite矩陣A和B，A2+B2≥2AB一般不成立，重要原因是矩陣的乘法不具有交換性;又對2個半正定Hermite矩陣A與B，一般也不能由A≥B推出A2≥B2.不過，對于矩陣的跡，情況要好得多，這也是人們對研究矩陣跡不等式感興趣的另一個原因.

1 問題的提出

最近文獻(xiàn)［1-2］分別研究了將某些實數(shù)不等式推廣為矩陣跡和范數(shù)的不等式，其中2個不等式如下:

定理A［1］設(shè)A與B為n×n正定Hermite矩陣，則tr A2B-1+tr A-1B2≥tr A+tr B，當(dāng)且僅當(dāng)A=B時不等式取等號.

定理B［2］設(shè)A與B為m×m階正定Hermite矩陣，則

當(dāng)且僅當(dāng)A=B時不等式等號成立.

上述2個矩陣跡不等式是針對一對正定Hermite矩陣給出的，筆者進(jìn)一步研究上述不等式，將它推廣到n個矩陣的情形.

2 相關(guān)定義和引理

若λ1，λ2，…，λn為A的特征值，則

注1矩陣跡滿足線性性，即

引理1［4］(Neumann不等式)設(shè)A與B為n階Hermite陣，它們的特征值分別為λ1≥λ2≥…≥λn和 μ1≥μ2≥…≥μn，則

引理3［2］設(shè)a＞0，b＞0，則有an+bn≥akbn-k+an-kbk(1≤k≤n-1)成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.

3 主要結(jié)果及證明

引理2推廣到多個實數(shù)的情形也是成立的，于是得到下面的引理:

定理1設(shè)A1，A2，…，An為n個m×m正定Hermite矩陣，則

當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2=…=An時取等號.

證明令A(yù)k的特征值是λ1(Ak)≥λ2(Ak)≥…≥λm(Ak)＞0，k=1，2，…，n，則A-1k的特征值為

其中φi(Aj)為Aj對應(yīng)于λi(Aj)的某一組標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量(i=1，2，…，m;j=1，2，…，n).

將以上各不等式兩邊分別相加，并應(yīng)用由引理5，可得

又由引理5，(4)式第2個不等式等號成立當(dāng)且僅當(dāng)λi(A1)=λi(A2)=…=λi(An)，i=1，2，…，m.再由(3)式即得=，從而A2=A1.依次推得A3=A2，…，A1=An.因此，(2)式當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2=…=Am時取等號.證畢.

引理3推廣到多個實數(shù)的情形也是成立的，于是得到如下引理:

引理6設(shè)a1，a2，…，an＞0，則有++…+≤a+…+，1≤k≤n-1，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an等號成立.

證明用引理4可得

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時等號成立.

文獻(xiàn)［2］將an+bn≥akbn-k+an-kbk推廣到矩陣中得到跡的不等式tr An+tr Bn≥ t r AkBn-k+t r An-kBk，進(jìn)一步，將引理6推廣到矩陣中得到如下結(jié)果:

定理2設(shè)A1，A2，…，An為n個m×m正定Hermite矩陣，則

當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2=…=An時取等號(1≤k≤n-1).

證明因為A1，A2，…，An為正定Hermite陣，所以，…，也為正定Hermite陣.設(shè)Ai的特征值為λj(Ai)(i=1，2，…n;j=1，2，…，m)，并設(shè)φj(Ai)(i=1，2，…，n;j=1，2，…，m)為Ai的對應(yīng)于λj(Ai)的某一組標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量.由引理1和引理6得，

下面討論等號成立的充分必要條件.

(6)式成立等號當(dāng)且僅當(dāng)以上各充要條件均成立.而從引理6可知，(7)式成立等號當(dāng)且僅當(dāng)λi(A1)=λi(A2)=…=λi(An)，i=1，2，…，m，再結(jié)合以上各充要條件得(5)式等號成立當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2=…=An.證畢.

3 結(jié)語

在2個實數(shù)不等式的基礎(chǔ)上，將它推廣到矩陣的跡的不等式中.進(jìn)一步的工作是能否將這些實數(shù)不等式推廣到矩陣的范數(shù)、矩陣的奇異值、矩陣的特征值中.

［1］ 魏 禹，桂 楚，周其生.一個實數(shù)不等式在矩陣論中的推廣［J］.安慶師范學(xué)院學(xué)報，2011(4):101-103.

［2］ 胡 汭，周其生.關(guān)于正定矩陣冪的乘積的一些不等式［J］.安慶師范學(xué)院學(xué)報，2012(2):44-46.

［3］ 王松桂，吳密霞，賈忠貞.矩陣不等式［M］.第2版.北京:科學(xué)出版社，2006:129.

［4］ BHATIA R.Matrix Analysis［M］.New York:Springer，1997.

［5］ 匡繼昌.常用不等式［M］.第3版.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004:393.

［6］ FENG Tian-xiang，LIU Hong-xia.Several Results on the Trace of Hermite Positive Definite Symmetric Matrix［J］.數(shù)學(xué)雜志，2012(2):263-268.

［7］ WANG Bo-ying，ZHANG Fu-zhen.Trace and Eigenvalue Inequalities for Ordinary and Hadamard Products of Positive Semidefinite Hermitian Matrices［J］.SIAM Matrix Anal.Appl.，1995，16:1 173-1 183.

［8］ 張 瑞，周其生.關(guān)于Hermite矩陣跡的不等式的幾點注記［J］.安慶師范學(xué)院學(xué)報，2011(4):1-3.

(責(zé)任編輯 向陽潔)

Two Notes on the Inequalities of Positive Definite Hermite Matrix Trace

SONG yuan1，2，ZHOU Qi-sheng1
(1.School of Mathematics and Computational Science，Anqing Teachers’College，Anqing 246133，Anhui China; 2.Chuzhou Vacational and Technical College，Chuzhou 239000，Anhui China)

In this paper，we study the ineqeality’s problem for the trace of positive definite Hermite matrix.Based on two results of real inequalities，together with Neumann inequality，two inequalities of positive definite Hermite matrix trace are obtained.

inequality;positive definite Hermite matrix;trace

O151.21

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2013.02.005

1007-2985(2013)02-0022-04

2012-10-19

安徽省高校省級自然科學(xué)基金項目(KJ2012Z300)

宋 園(1982-)，女，安徽滁州人，滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院助講，在職碩士研究生，主要從事矩陣?yán)碚撗芯?