AHP問題的研究及應(yīng)用*

徐永琳

(西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州 730030)

AHP問題的研究及應(yīng)用*

徐永琳

(西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州 730030)

層次分析法(AHP)是經(jīng)典的多屬性決策方法，在很多領(lǐng)域得到了應(yīng)用.研究AHP的基本理論，給出了確定權(quán)重的AHP方法，描述了采用AHP解決多目標(biāo)決策問題的方法和步驟，通過具體消費(fèi)者購房的實(shí)例，為消費(fèi)者的實(shí)際消費(fèi)決策提供科學(xué)合理的方法.

AHP;判斷矩陣;標(biāo)度;多目標(biāo)決策;權(quán)重

層次分析法(Analytic Hierarchy Process，簡稱AHP)是由美國運(yùn)籌學(xué)家，匹茲堡大學(xué)T.L.Saaty教授于20世紀(jì)70年代初期提出的，它通過構(gòu)造層次結(jié)構(gòu)和比率分析可以將各屬性上決策者定性的判斷與定量的方向結(jié)合起來，將各種因素層次化，并逐層比較多種關(guān)聯(lián)因素，為分析和預(yù)測事物的發(fā)展提供可定量依據(jù)，提供了人類決策思維活動(dòng)的有效性和機(jī)動(dòng)性.AHP的原理基于矩陣論和實(shí)驗(yàn)心理學(xué)研究，結(jié)構(gòu)明確、簡單易懂，能被各個(gè)領(lǐng)域的人快速掌握，使用AHP的關(guān)鍵點(diǎn)是使決策者形象化地使用屬性層次結(jié)構(gòu)來構(gòu)造復(fù)雜的多屬性決策問題成為可能，對于復(fù)雜和較大的遞階層次結(jié)構(gòu)問題，使用AHP更具有魯棒性［1］.

1 基本概念

定義1(有序集)若集合E中所有的元素都滿足自反性、對稱性和傳遞性，則稱E為有序集;若還滿足完備性，則稱為整體有序集，否則稱為局部有序集.

定義2E為有序集，?x，y∈E，記

定義3設(shè)H是帶有惟一最高元素c的有限的局部有序集，若它滿足如下條件，則稱H為一個(gè)遞階層次:

(1)存在H的一個(gè)劃分{Lk}(k=1，2，…，m)，其中L1={c}，每個(gè)劃分Lk稱為一個(gè)層次;

(2)對于每個(gè)x∈Lk(1≤k≤m-1)，X-非空且X-?Lk+1;

(3)對于x∈Lk(2≤k≤m)，X+非空，且X+?Lk-1.

定義4以每2個(gè)方案(或子目標(biāo))的相對重要性為元素的矩陣稱為判斷矩陣.判斷矩陣是層次分析法的核心.判斷矩陣的元素aij具有3條性質(zhì):(1)aii=1;(2)aij=1/aji;(3)aij=aik·akj.判斷矩陣的元素aij可以利用決策者的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)估計(jì)出來.

定義6［2］對于正互反矩陣A=(aij)n×n，若滿足aij×ajk=aik，則稱A為一致性矩陣.它滿足:

(1)若A一致，則AT也一致;

(2)A的每一行均為任意指定的另一行的正數(shù)倍，從而r(A)=1;

(3)A的最大特征根λmax=n，其余特征根皆為0;

(5)當(dāng)A為正互反判斷矩陣時(shí)，它的歸一化的右主特征向量w=(w1，w2，…，wn)T就是其排序權(quán)向量.

AHP的基本思想:將復(fù)雜問題分解為若干層次，在最低層次通過兩兩對比得出各因素的權(quán)重，經(jīng)過由低到高的層層分析計(jì)算，最后計(jì)算出各方案對總目標(biāo)的權(quán)數(shù)，權(quán)數(shù)最大的方案即為最優(yōu)方案.

2 AHP的基本步驟

2.1 分析系統(tǒng)中各因素間的關(guān)系，建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)模型

首先將決策系統(tǒng)中各因素之間的關(guān)系條理化、層次化，在深入分析的基礎(chǔ)上按目標(biāo)層、準(zhǔn)則層、方案層劃分出各層次，建立一個(gè)有效合理的遞階層次結(jié)構(gòu)模型，對于成功解決問題具有決定性意義.

2.2 構(gòu)造正互反矩陣

構(gòu)造正互反矩陣是將每一層元素針對上一層因素所涉及的相互之間的重要性做出比較，將比較的數(shù)值直接用矩陣形式表示出來.正互反矩陣可以清楚地表示上一層因素支配的下層有關(guān)因素之間的相對重要性.構(gòu)造兩兩比較的判斷矩陣.選定上一層次中某個(gè)確定的準(zhǔn)則，對本層次的各個(gè)元素關(guān)于這個(gè)準(zhǔn)則的相對重要性進(jìn)行兩兩比較，選用合適的標(biāo)度對這些重要性程度進(jìn)行合理的賦值，從而構(gòu)造出一個(gè)階數(shù)與被比較元素?cái)?shù)目相同的判斷矩陣;在進(jìn)行兩兩比較時(shí)，假設(shè)專家組能夠比較在遞階結(jié)構(gòu)同一層次的任意2個(gè)元素Bi和Bj，并提供它們重要性比率的數(shù)值bij(這一層有n個(gè)元素).若元素Bi優(yōu)于Bj則bij＞1;相應(yīng)地，反過來的性質(zhì)也成立.根據(jù)判斷矩陣的互反性，對于一個(gè)由n個(gè)元素構(gòu)成的判斷矩陣只需給出其上(或下)三角的n(n-1)/2個(gè)判斷即可.判斷矩陣中的每個(gè)元素可通過表1給出的絕對數(shù)標(biāo)度產(chǎn)生［3］，從而計(jì)算出元素重要性的比率.表1中量化等級時(shí)所用1～9標(biāo)度的描述性解釋表示等級的級差是等間隔的，選擇1～9之間的整數(shù)及其倒數(shù)作為量化標(biāo)度的主要原因是它符合人們進(jìn)行判斷時(shí)的心理習(xí)慣.許多實(shí)驗(yàn)心理學(xué)研究亦表明，普通人在對一組事物的某種屬性同時(shí)作比較，并使判斷保持滿意的一致性時(shí)，所能正確辨別屬性的等級或事物的個(gè)數(shù)一般在5～9個(gè)之間［4］.

Saaty等取1～9且級差為1的離散數(shù)作為定性等級的量化值，并基本獲得社會(huì)認(rèn)同，得到廣泛應(yīng)用.

表1 絕對數(shù)標(biāo)度的基礎(chǔ)

2.3 計(jì)算元素相對權(quán)重并做一致性檢驗(yàn)

根據(jù)所得到的正互反矩陣，計(jì)算對于上一層因素而言的本層次各因素間的相對權(quán)重，通常采用和法、特征值法、方根法等求解相對權(quán)重.

(1)和法.對于一個(gè)一致的正互反矩陣A，它的每一列歸一化后就是相應(yīng)的權(quán)重向量.當(dāng)A不一致時(shí)每一列歸一化后近似于權(quán)重向量，和法就是采用這n個(gè)列向量的算術(shù)平均作為權(quán)重向量.

(2)幾何平均法.將A的每個(gè)列向量采用幾何平均，然后歸一化，得到的列向量就是權(quán)重向量.其公式是

(3)特征根法.它是用來求解A的特征根，Aw=λmaxw(λmax是A的最大特征根，w是相應(yīng)的特征向量)，得到的w經(jīng)歸一化后就可作為權(quán)重向量.

具體步驟:

成立時(shí)，則w=wq+1為所求A矩陣最大特征根λmax對應(yīng)的權(quán)重特征向量w，且

這幾種權(quán)重計(jì)算方法各有特點(diǎn)且可以相互轉(zhuǎn)化，最簡單易用的方法是矩陣行和歸一化方法，從擬合角度出發(fā)得到的最小二乘法、對數(shù)最小二乘法等也各具優(yōu)點(diǎn)，對數(shù)最小二乘法計(jì)算簡便，在模糊決策、群組判斷和殘缺判斷等問題中得到了應(yīng)用.在精確程度不高的情況下，和法、幾何平均法均可用來近似計(jì)算w和λmax［5］.由于相互比較矩陣可能具有不一致性，特征根法產(chǎn)生的結(jié)果考慮了這種因素，它較早被提出并得到廣泛應(yīng)用，Saaty建議使用特征根法［5-6］，它對AHP的發(fā)展有重要作用，對于具有模糊性的定性指標(biāo)的準(zhǔn)確量化和指標(biāo)權(quán)重的準(zhǔn)確賦值至今仍有較大的難度［7］.除此之外，其他權(quán)重計(jì)算方法還有最小偏差法(LDM)、梯度特征向量法(GEM)、非線性特征根法等.

2.4 一致性檢驗(yàn)

在構(gòu)造正互反判斷矩陣時(shí)，由于客觀事物的復(fù)雜性，主體認(rèn)識(shí)的局限性和多樣性，判斷經(jīng)常伴隨有誤差判斷矩陣一般不可能具有完全一致性，因此AHP方法要求對n階判斷矩陣作n(n-1)/2次兩兩比較，最終導(dǎo)出一個(gè)比較合理的反映決策者判斷的排序.Saaty等［5］總結(jié)出下述一致性檢驗(yàn)的方法步驟.

(ⅰ)計(jì)算一致性指標(biāo)CI(consistency index).

(ⅱ)查找相應(yīng)n的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI(random index).

RI是平均一致性指標(biāo)(通過查RI系數(shù)表可得).如果有CI偏差，那么偏差是否在滿意的一致性范圍，還需要引進(jìn)平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI.RI值見表2.

表2 平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI數(shù)值

(ⅲ)計(jì)算一致性比例CR(consistency ratio)，

當(dāng)正互反矩陣滿足CR＜0.1時(shí)，認(rèn)為正互反矩陣具有滿意的一致性.若檢驗(yàn)通過，特征向量(歸一化后)即為權(quán)向量;反之，當(dāng)CR≥0.1時(shí)，需要對正互反矩陣作適當(dāng)修正，以保持一定程度的一致性.

2.5 計(jì)算各層組合權(quán)重

決策最終需要各層元素對總準(zhǔn)則的相對權(quán)重，以便于對備選方案進(jìn)行抉擇.計(jì)算同一層次所有因素對于最高層(總目標(biāo))相對重要性的排序權(quán)值，稱為層次總排序，這一過程是由高層次到低層次逐層進(jìn)行的.最低層(方案層)得到的層次總排序，就是n個(gè)被評價(jià)方案的總排序.若上一層A包含m個(gè)因素A1，A2，…，Am，其層次總排序權(quán)值分別為a1，a2，…，am，下一層次B包含n個(gè)因素B1，B2，…，Bn，它們對于因素Aj的層次單排序的權(quán)重分別為b1j，b2j，…，bnj(當(dāng)Bk與Aj無關(guān)時(shí)，取bkj為0)，此時(shí)B層次的總排序由表3給出.若B層次某些因素對于Aj的一致性指標(biāo)為CIj，相應(yīng)地平均一致性指標(biāo)為RIj，則B層次總排序一致性比例為

AHP最終得到方案層各決策方案相對于總目標(biāo)的權(quán)重，并給出這一組合權(quán)重所依據(jù)整個(gè)遞階層次結(jié)構(gòu)所有判斷的總一致性指標(biāo)，從而決策者可以做出決策.

表3 權(quán)重合成方法

3 實(shí)例分析

欲購買一商品房，現(xiàn)有4個(gè)小區(qū)A，B，C，D可供選擇，主要考察房屋價(jià)格、周圍環(huán)境、學(xué)區(qū)、單位距離對消費(fèi)者購買房屋的影響，不考慮其他影響因素.采用AHP層次分析，其層次結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 商品房層次結(jié)構(gòu)

3.1 模型的建立與求解

圖1的思維過程可分為以下幾個(gè)步驟:

(ⅰ)建立層次分析結(jié)構(gòu)模型.將決策問題分解為3個(gè)層次，最上層為目標(biāo)層，即購買房屋，最下層為方案層，有小區(qū)A，B，C，D4個(gè)供選擇的小區(qū)，中間層為準(zhǔn)則層，有學(xué)區(qū)、房價(jià)、周圍環(huán)境、單位距離4個(gè)準(zhǔn)則，各層間的聯(lián)系用相連的直線表示，而層內(nèi)各因素基本上相對獨(dú)立.

(ⅱ)構(gòu)造成正互反矩陣.通過相互比較確定各準(zhǔn)則對于目標(biāo)的權(quán)重，以及各方案對于每一準(zhǔn)則的權(quán)重.

(ⅲ)將方案層對準(zhǔn)則層的權(quán)重及準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行綜合，最終確定方案層對目標(biāo)層的權(quán)重.

假設(shè)要比較某一層n個(gè)因素C1，C2，…，Cn對上一層某個(gè)因素O的影響，如房屋購買決策問題中比較學(xué)區(qū)等4個(gè)準(zhǔn)則在購買房屋這個(gè)目標(biāo)中的重要性.每次取2個(gè)因素Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj對O的影響之比，全部比較結(jié)果可用正互反矩陣

表示，例如用C1，…，C4依次表示學(xué)區(qū)、房價(jià)、周圍環(huán)境、單位距離4個(gè)準(zhǔn)則，則得如表4所示的矩陣.

在矩陣Z-C(表4)中，a12=3表示學(xué)區(qū)C1與房價(jià)C2，對選擇購買房屋這個(gè)目標(biāo)O的重要性之比為3∶1，a13=2表示學(xué)區(qū)C1與周圍環(huán)境C3之比為2∶1，a14=5，a23=2，a34=2.可以得出準(zhǔn)則層的重要性排列為C1，C2，C3，C4，即學(xué)區(qū)因素最重要，房價(jià)次之，周圍環(huán)境再次之，權(quán)重最小者為單位距離.

表4 矩陣Z－C

在矩陣C1-P(表5)中，考慮學(xué)區(qū)這一因素對于方案層的影響程度.由數(shù)據(jù)可得:a43=2表示學(xué)區(qū)這一因素對小區(qū)D與C的影響之比為2∶1;a12=2表示對小區(qū)A與B的影響之比為2∶1;a24=3表示對小區(qū)B與D的影響之比為3∶1.由此可知，學(xué)區(qū)因素對小區(qū)的影響為P1，P2，P4，P3，即對小區(qū)A影響最大，B次之，D再次之，C最小.

表5 矩陣C1-P

在矩陣C2-P(表6)中，考慮房價(jià)這一因素對于方案層的影響程度.由數(shù)據(jù)可得:a23=5表示房價(jià)這一因素對小區(qū)B與C的影響之比為5∶1;a34=1/7表示對小區(qū)C與D的影響之比為1∶7;a14=1/2表示對小區(qū)A與D的影響之比為1∶2;a13=5表示對小區(qū)A與C的影響之比為5∶1;a24=1/2表示對小區(qū)B與D的影響之比為1∶2.由此可知，房價(jià)這一因素對小區(qū)的影響為P4，P1，P2，P3，即對小區(qū)D影響最大，A次之，B再次之，C最小.

表6 矩陣C2－P

在矩陣C3-P(表7)中，考慮周圍環(huán)境這一因素對于方案層的影響程度.由數(shù)據(jù)可得:a23=5表示周圍環(huán)境因素對小區(qū)B與C的影響之比為5∶1;a34=1/7表示對小區(qū)C與D的影響之比為1∶7;a14=1/3表示對小區(qū)A與D的影響之比為1∶3;a12=3表示對小區(qū)A與B的影響之比為3∶1.由此可知，周圍環(huán)境因素對小區(qū)的影響為P4，P1，P2，P3，即對小區(qū)D影響最大，A次之，B再次之，C最小.

表7 矩陣C3－P

在矩陣C4-P(表8)中，考慮單位距離這一因素對于方案層的影響程度.由數(shù)據(jù)可得:a23=1/5表示單位距離因素對小區(qū)B與C的影響之比為1∶5;a34=7/1表示對小區(qū)C與D的影響之比為7∶1;a14=2/1表示對小區(qū)A與D的影響之比為2∶1;a12=1表示對小區(qū)A與B的影響之比為1∶1;a13=1/5表示對小區(qū)A與C的影響之比為1∶5;a24=2表示對小區(qū)B與D的影響之比為2∶1.由此可知，單位距離因素對小區(qū)的影響為P3，P1，P2，P4，即對小區(qū)C影響最大，A和B次之，D最小.

表8 矩陣C4－P

3.2模型的結(jié)果分析

利用單一準(zhǔn)則獲得的權(quán)值和各準(zhǔn)則所占比重計(jì)算出每個(gè)方案總的得分(權(quán)數(shù))，如表9所示.

表9 各方案總得分

由表9可知:小區(qū)A在總目標(biāo)中的總得分為0.370 09;小區(qū)B在總目標(biāo)中的總得分為0.246 368;小區(qū)C在總目標(biāo)中的總得分為0.113 891;小區(qū)D在總目標(biāo)中的總得分為0.269 651.

從最終的排序結(jié)果可以看出，A，B，C，D這4個(gè)小區(qū)所占權(quán)重的大小為P1＞P2＞P4＞P3，即在購買房屋時(shí)，最先考慮的是A小區(qū)，其次是B小區(qū)，再次是D小區(qū)，最后是C小區(qū).AHP定量結(jié)果計(jì)算出購房時(shí)的各種影響因素，以及在評價(jià)時(shí)決策的權(quán)重，為消費(fèi)者的選擇提供了有效且可靠的依據(jù).

［1］ PAULSON D，ZAHIR S.Consequences of Uncertainty in the Analytic Hierarchy Process:Asimulation Approach［J］.European Journal of Operational Research，1995，87(1):45-56.

［2］ 王蓮芬，許樹柏.層次分析法引論［M］.北京:中國人民大學(xué)出版社，1990.

［3］ 徐玖平，吳 巍.多屬性決策的理論與方法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2006:124.

［4］ MILLER G A.The Magical Number Seven，Plus or Minus Two:Some Limits on Our Capacity for Processing Information［J］.The Psychological Review，1956，63(2):81-97.

［5］ SAATY T L.The Analytic Hierarchy Process［M］.New York:McGraw-Hill，1980.

［6］ SAATY T L.Axiomatic Foundation of the Analytic Hierarchy Process［J］.Management Science，1986，23(7):851-855.

［7］ 蔡 兵.基于修正的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的教學(xué)質(zhì)量評估模型［J］.吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，32(1):67-70.

(責(zé)任編輯 向陽潔)

Some Problems of the AHP and Its Application

XU Yong-lin
(Mathematics and Computer College，North-Western Minorities University，Lanzhou 730030，China)

The analytic hierarchy process(AHP)is widely used in many fields as a classical multi attribute decision-making approach.Through studying the basic theory of AHP，the AHP method was given to determine weight.Method and procedure to solve multi-objective decision by AHP are described.Through the specific examples of property purchase，scientific methods to make consumption decision are presented.

analytic hierarchy process;judgment matrix;scale;multi-objective decision making;weight

C934

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2013.02.003

1007-2985(2013)02-0012-07

2012-12-11

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11161041);2011—2012年度校級中青年科研基金項(xiàng)目(12XB39);2013中央

高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目(31920130006)

徐永琳(1969-)，女，甘肅夏河人，西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院副教授，碩士，主要從事數(shù)學(xué)課程

與教學(xué)論、運(yùn)籌學(xué)研究.